Интегральное преобразование

редактировать

Отображение, включающее интеграцию между функциональными пространствами

В математике интегральное преобразование отображает функцию из ее исходного функционального пространства в другое функциональное пространство посредством интегрирования, где некоторые свойства исходной функции можно было бы легче охарактеризовать и манипулировать, чем в исходном функциональном пространстве. Преобразованная функция обычно может быть отображена обратно в исходное функциональное пространство с помощью обратного преобразования.

Содержание

1 Общая форма
2 Мотивация к использованию
3 История
4 Пример использования
5 Таблица преобразований
6 Различные области
7 Общая теория
8 См. Также
9 Ссылки

Общая форма

Интегральное преобразование - это любое преобразование T следующего вида:

(T f) (u) = ∫ t 1 T 2 е (T) К (t, u) dt {\ displaystyle (Tf) (u) = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f (t) \, K (t, u) \, dt}

{\ displaysty le (Tf) (u) = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f (t) \, K (t, u) \, dt}

Входом этого преобразования является функция f, а выходом - другая функция Tf. Интегральное преобразование - это особый вид математического оператора.

. Существует множество полезных интегральных преобразований. Каждый определяется выбором функции K из двух переменных, ядерной функции, интегрального ядра или ядра преобразования.

Некоторым ядрам соответствует обратное ядро K (u, t), которое (грубо говоря) дает обратное преобразование:

f (t) = ∫ u 1 u 2 (T f) (u) K - 1 (u, t) du {\ displaystyle f (t) = \ int _ {u_ {1}} ^ {u_ {2}} (Tf) (u) \, K ^ {- 1} (u, t) \, du}

{\ displaystyle f (t) = \ int _ {u_ {1}} ^ {u_ {2}} (Tf) (u) \, K ^ {- 1} (u, t) \, du}

Симметричное ядро - это ядро, которое не изменяется при перестановке двух переменных; это ядерная функция K такая, что K (t, u) = K (u, t).

Мотивация к использованию

Если оставить в стороне математические обозначения, мотивацию интегральных преобразований легко понять. Есть много классов задач, которые трудно решить - или, по крайней мере, довольно громоздко с алгебраической точки зрения - в их исходных представлениях. Интегральное преобразование «отображает» уравнение из его исходной «области» в другую область. Управлять уравнением и решать его в целевой области может быть намного проще, чем манипулировать и решать в исходной области. Затем решение отображается обратно в исходную область с помощью обратного интегрального преобразования.

Существует множество приложений вероятности, которые полагаются на интегральные преобразования, такие как «ядро ценообразования» или стохастический коэффициент дисконтирования, или сглаживание данных, восстановленных из надежной статистики; см. ядро (статистика).

История

Предшественником преобразований был ряд Фурье для выражения функций через конечные интервалы. Позже было разработано преобразование Фурье, чтобы убрать требование конечных интервалов.

Используя ряд Фурье, практически любую практическую функцию времени (например, напряжение на выводах электронного устройства ) можно представить как сумму синусы и косинусы, каждый соответствующим образом масштабированный (умноженный на постоянный коэффициент), сдвинутый (опережающий или запаздывающий во времени) и «сжатый» или «растянутый» (увеличение или уменьшение частоты). Синусы и косинусы в ряду Фурье являются примером ортонормированного базиса.

Пример использования

В качестве примера применения интегральных преобразований рассмотрим преобразование Лапласа. Это метод, который отображает дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения в "временной" области в полиномиальные уравнения в так называемой "комплексной частоте. "домен. (Комплексная частота похожа на реальную, физическую частоту, но является более общей. В частности, мнимая составляющая ω комплексной частоты s = -σ + iω соответствует обычному понятию частоты, а именно скорости, с которой синусоида циклически повторяется, тогда как действительная составляющая σ комплексной частоты соответствует степени "затухания", то есть экспоненциальному уменьшению амплитуды.) Уравнение, составленное в терминах комплексной частоты, легко решается в комплексной частотной области (корни полиномиальных уравнений в комплексная частотная область соответствует собственным значениям во временной области), что приводит к "решению", сформулированному в частотной области. Используя обратное преобразование , то есть процедуру, обратную исходному преобразованию Лапласа, можно получить решение во временной области. В этом примере полиномы в комплексной частотной области (обычно встречающиеся в знаменателе) соответствуют степенным рядам во временной области, в то время как осевые сдвиги в комплексной частотной области соответствуют затуханию за счет убывания экспонент во временной области.

Преобразование Лапласа находит широкое применение в физике и особенно в электротехнике, где характеристические уравнения, описывающие поведение электрической цепи в комплексной частотной области, соответствуют линейным комбинациям экспоненциально масштабированных и сдвинутые во времени затухающие синусоиды во временной области. Другие интегральные преобразования находят особое применение в других научных и математических дисциплинах.

Другой пример использования - это ядро в интеграле по путям :

ψ (x, t) = ∫ - ∞ ∞ ψ (x ′, t ′) K (x, t; x ′, t ′) Dx ′. {\ displaystyle \ psi (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (x ', t') K (x, t; x ', t') dx '.}

\psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'.

Это означает, что общая амплитуда, которая должна прийти к $(x, t) {\ displaystyle (x, t)}$ $(x, t)$ [то есть, $ψ (x, t) {\ displaystyle \ psi (x, t)}$ $\ psi (x, t)$ ] - это сумма или интеграл по всем возможным значениям $x ′ {\ displaystyle x '}$ $x'$ полной амплитуды прибыть в точку $(x ′, t ′) {\ displaystyle (x ', t')}$ $(x',t')$ [то есть $ψ (x ′, t ′) {\ displaystyle \ psi (x ', t')}$ $\psi (x',t')$ ], умноженное на амплитуду, чтобы перейти от x 'к x [то есть $K (x, t; x ′, t ′) {\ displaystyle K (х, t; х ', t')}$ $K(x,t;x',t')$ . Его часто называют пропагатором данной системы. Это (физическое) ядро является ядром интегрального преобразования. Однако для каждой квантовой системы существует свое ядро.

Таблица преобразований

Таблица интегральных преобразований
Преобразование	Символ	K	f (t)	t1	t2	K	u1	u2
Преобразование Абеля		$2 tt 2 - u 2 {\ displaystyle {\ frac {2t} {\ sqrt {t ^ {2} -u ^ {2}}}}}$ $\ frac {2t} {\ sqrt {t ^ 2-u ^ 2}}$		u	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$	$- 1 π u 2 - t 2 ddu {\ displaystyle {\ frac {-1} {\ pi {\ sqrt {u ^ {2} \! - \! T ^ {2}}}}} {\ frac {d} {du}}}$ $\ frac {-1} {\ pi \ sqrt {u ^ 2 \! - \! t ^ 2}} \ frac {d } {du}$	t	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$
преобразование Фурье	$F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$	$e - 2 π iut {\ displaystyle e ^ {- 2 \ pi iut}}$ $e ^ {- 2 \ pi iut}$	$L 1 {\ displaystyle L_ {1}}$ $L_ {1}$	$- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$	$e 2 π iut {\ displaystyle e ^ {2 \ pi iut}}$ $e ^ {2 \ pi iut}$	$- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$
синусоидальное преобразование Фурье	$F s {\ displaystyle { \ mathcal {F}} _ {s}}$ $\ mathcal {F} _s$	$2 π sin ⁡ (ut) {\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ sin (ut)}$ $\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} \ sin (ut)$	на $[0, ∞) {\ displaystyle [0, \ infty)}$ $[0, \ infty)$ , с действительным знаком	$0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$	$2 π грех ⁡ (ut) {\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ sin (ut)}$ $\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} \ sin (ut)$	$0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$
косинусное преобразование Фурье	$F c {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c}}$ $\ mathcal {F} _c$	$2 π cos ⁡ (ut) {\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ cos (ut)}$ $\ sqrt {\ frac {2} {\ pi }} \ cos (ut)$	на $[0, ∞) {\ displaystyle [0, \ infty)}$ $[0, \ infty)$ , с действительным знаком	0	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$	$2 π cos ⁡ (ut) {\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ cos (ut)}$ $\ sqrt {\ frac {2} {\ pi }} \ cos (ut)$	0	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$
преобразование Ганкеля		$t J ν (ut) {\ displaystyle t \, J _ {\ nu} (ut)}$ $t \, J_ \ nu (ut)$		0	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$	$u J ν (ut) {\ displaystyle u \, J _ {\ nu} (ut)}$ $u \, J_ \ nu (ut)$	0	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$
преобразование Хартли	$H {\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal {H}}$	$cos ⁡ (ут) + грех ⁡ (ут) 2 π {\ displaystyle {\ frac {\ cos (ut) + \ sin (ut)} {\ sqrt {2 \ pi}}}}$ $\ frac {\ cos (ut) + \ sin (ut)} {\ sqrt {2 \ pi}}$		$- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$	$cos ⁡ (ut) + sin ⁡ (ut) 2 π {\ displaystyle {\ frac {\ cos (ut) + \ sin (ut)} {\ sqrt {2 \ pi}}}}$ $\ frac {\ cos (ut) + \ sin (ut)} {\ sqrt {2 \ pi}}$	$- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$
преобразование Эрмита	$H {\ displaystyle H}$ $H$	$e - x 2 H n (x) {\ displaystyle е ^ {- х ^ {2}} H_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle e ^ {- x ^ {2}} H_ {n} (x)}$		$- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$		$0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$
преобразование Гильберта	$H il {\ displaystyle {\ mathcal {H}} il}$ $\ mathcal {H} il$	$1 π 1 u - t {\ displaystyle {\ frac {1} { \ pi}} {\ frac {1} {ut}}}$ $\ frac {1} {\ pi} \ frac {1} {ut}$		$- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$	$1 π 1 u - t {\ displaystyle { \ frac {1} {\ pi}} {\ frac {1} {ut}}}$ $\ frac {1} {\ pi} \ frac {1} {ut}$	$- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$
преобразование Якоби	$J {\ Displaystyle J}$ $J$	$(1 - x) α (1 + x) β P N α, β (x) {\ displaystyle (1-x) ^ {\ alpha} \ (1 + x) ^ {\ beta} \ P_ {n} ^ {\ alpha, \ beta} (x)}$ ${\ displaystyle (1-x) ^ {\ alpha } \ (1 + x) ^ {\ beta} \ P_ {n} ^ {\ alpha, \ beta} (x)}$		$- 1 {\ displaystyle -1}$ $-1$	$1 {\ displaystyle 1}$ $1$		$0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$
преобразование Лагерра	$L {\ displaystyle L}$ $L$	$e - xx α L n α (x) {\ displaystyle e ^ {- x} \ x ^ { \ alp ha} \ L_ {n} ^ {\ alpha} (x)}$ ${\ displaystyle e ^ {- x} \ x ^ { \ alpha} \ L_ {n} ^ {\ alpha} (x)}$		$0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$		$0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$
преобразование Лапласа	$L {\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ mathcal {L}}$	e		0	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$	$eut 2 π i {\ displaystyle {\ frac {e ^ {ut}} {2 \ pi i}}}$ $\ гидроразрыв {e ^ {ut}} {2 \ pi i}$	$c - я ∞ {\ displaystyle c \! - \! i \ infty}$ $c\!-\!i\infty$	$c + i ∞ {\ displaystyle c \! + \! i \ infty}$ $c \! + \! I \ infty$
преобразование Лежандра	$J {\ displaystyle {\ mathcal {J}}}$ ${\ mathcal {J}}$	$P n (x) {\ displaystyle P_ {n} (x) \,}$ $P_ {n} (х) \,$		$- 1 {\ displaystyle -1}$ $-1$	$1 {\ displaystyle 1}$ $1$		$0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$
преобразование Меллина	$M {\ displaystyle {\ mathcal {M} }}$ ${\ mathcal {M}}$	t		0	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$	$t - u 2 π i {\ displaystyle {\ frac {t ^ {- u}} {2 \ pi i}} \,}$ $\ frac {t ^ {- u}} {2 \ pi i} \,$	$c - я ∞ {\ displaystyle c \! - \! i \ infty}$ $c\!-\!i\infty$	$c + i ∞ {\ displaystyle c \! + \! i \ infty}$ $c \! + \! I \ infty$
Двустороннее преобразование Лапласа.	$B {\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal {B}}$	e		$- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$	$eut 2 π i {\ displaystyle {\ fr ac {е ^ {ut}} {2 \ pi i}}}$ $\ гидроразрыв {e ^ {ut}} {2 \ pi i}$	$с - я ∞ {\ displaystyle c \! - \! i \ infty}$ $c\!-\!i\infty$	$c + i ∞ {\ displaystyle c \! + \! i \ infty}$ $c \! + \! I \ infty$
ядро Пуассона		$1 - r 2 1-2 r cos ⁡ θ + r 2 {\ displaystyle {\ frac {1-r ^ {2}} {1-2r \ cos \ theta + r ^ {2}}}}$ $\ frac { 1-r ^ 2} {1-2r \ cos \ theta + r ^ 2}$		0	2π
Преобразование Радона	Rƒ			$- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$
преобразование Вейерштрасса	$W {\ displaystyle {\ mathcal {W}}}$ ${\ mathcal {W}}$	$e - (u - t) 2 4 4 π {\ displaystyle {\ frac {e ^ {- {\ frac {(ut) ^ {2 }} {4}}}} {\ sqrt {4 \ pi}}} \,}$ $\ frac {e ^ {- \ frac {(ut) ^ 2} {4}}} {\ sqrt {4 \ pi}} \,$		$- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$	$∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$	$e (u - t) 2 4 я 4 π {\ displaystyle {\ frac {e ^ {\ frac {(ut) ^ {2}} {4}}} {i {\ sqrt {4 \ pi}}}}}$ $\ frac {e ^ {\ frac {(ut) ^ 2} {4}}} {i \ sqrt {4 \ pi}}$	$c - я ∞ {\ displaystyle c \! - \! i \ infty}$ $c\!-\!i\infty$	$c + i ∞ {\ displaystyle c \! + \! i \ infty}$ $c \! + \! I \ infty$

В пределах интегрирования для обратного преобразования c - константа, которая зависит от характера функции преобразования. Например, для одно- и двустороннего преобразования Лапласа c должно быть больше, чем самая большая действительная часть нулей функции преобразования.

Обратите внимание, что существуют альтернативные обозначения и соглашения для преобразования Фурье.

Различные области

Здесь интегральные преобразования определены для функций с действительными числами, но они могут быть определены в более общем плане для функций в группе.

Если вместо этого использовать функции на окружности (периодические функции), тогда ядра интегрирования будут бипериодическими функциями; свертка по функциям на окружности дает круговую свертку.
Если использовать функции в циклической группе порядка n ( $C n {\ displaystyle C_ {n}}$ $C_ {n}$ или $Z / n Z {\ displaystyle \ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z}}$ $\ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z }$ ), в качестве ядер интегрирования получают матрицы размера n × n; свертка соответствует циркулянтным матрицам.

Общая теория

Хотя свойства интегральных преобразований сильно различаются, у них есть некоторые общие свойства. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором, поскольку интеграл является линейным оператором, и фактически, если ядру разрешено быть обобщенной функцией, тогда все линейные операторы являются интегральными преобразуется (правильно сформулированная версия этого утверждения - теорема о ядре Шварца ).

Общая теория таких интегральных уравнений известна как теория Фредгольма. В этой теории под ядром понимается компактный оператор, действующий в банаховом пространстве функций. В зависимости от ситуации, ядро затем по-разному называется оператором Фредгольма, ядерным оператором или ядром Фредгольма.

См. Также

Ссылки

A. Д. Полянин, А. В. Манжиров, Справочник по интегральным уравнениям, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
R. KM Thambynayagam, The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers, McGraw-Hill, New York, 2011. ISBN 978-0-07-175184-1
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: The World of Mathematical Equations.