Преобразование Лежандра

редактировать

В математике преобразование Лежандра - это интегральное преобразование, названное в честь математика Adrien-Marie Legendre, который использует полиномы Лежандра $P n (x) {\ displaystyle P_ {n} (x)}$ $P_n (x)$ в качестве ядер преобразования. Преобразование Лежандра является частным случаем преобразования Якоби.

Преобразование Лежандра функции $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ is

J n {f (x)} = f ~ (N) знак равно ∫ - 1 1 п N (Икс) е (Икс) dx {\ Displaystyle {\ mathcal {J}} _ {п} \ {е (х) \} = {\ тильда {f}} (п) = \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {n} (x) \ f (x) \ dx}

{\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {n} \ {f (x) \} = {\ tilde {f}} (n) = \ int _ {- 1} ^ {1} P_ { п} (х) \ f (x) \ dx}

Обратное преобразование Лежандра задается как

J n - 1 {f ~ (n)} знак равно е (Икс) знак равно ∑ N = 0 ∞ 2 N + 1 2 f ~ (N) п N (Икс) {\ Displaystyle {\ mathcal {J}} _ {n} ^ {- 1} \ {{ \ tilde {f}} (n) \} = f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2n + 1} {2}} {\ tilde {f}} ( n) P_ {n} (x)}

{\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {n} ^ {- 1} \ {{\ tilde {f}} (n) \} = f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} { \ frac {2n + 1} {2}} {\ tilde {f}} (n) P_ {n} (x)}

Связанное преобразование Лежандра

Связанное преобразование Лежандра определяется как

J n, m {f (x)} = f ~ (n, m) = ∫ - 1 1 (1 - x 2) - m / 2 P нм (x) f (x) dx {\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {n, m} \ {f (x) \} = { \ tilde {f}} (n, m) = \ int _ {- 1} ^ {1} (1-x ^ {2}) ^ {- m / 2} P_ {n} ^ {m} (x) \ f (x) \ dx}

{\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {n, m } \ {f (x) \} = {\ tilde {f}} (n, m) = \ int _ {- 1} ^ {1} (1-x ^ {2}) ^ {- m / 2} P_ {n} ^ {m} (x) \ f (x) \ dx}

Обратное преобразование Лежандра дается выражением

J n, m - 1 {f ~ (n, m)} = f (x) = ∑ n = 0 ∞ 2 n + 1 2 (п - м)! (п + м)! е ~ (N, м) (1 - x 2) m / 2 P нм (x) {\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {n, m} ^ {- 1} \ {{\ tilde {f} } (n, m) \} = f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2n + 1} {2}} {\ frac {(nm)!} {( n + m)!}} {\ tilde {f}} (n, m) (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} P_ {n} ^ {m} (x)}

{\ displaystyle {\ mathcal {J }} _ {n, m} ^ {- 1} \ {{\ tilde {f}} (n, m) \} = f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2n + 1} {2}} {\ frac {(нм)!} {(n + m)!}} {\ tilde {f}} (n, m) (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} P_ {n} ^ {m} (x) }

Некоторые Пары преобразований Лежандра

$f (x) {\ displaystyle f (x) \,}$ $е (х) \,$	$f ~ (n) {\ displaystyle {\ tilde {f}} (n) \,}$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}} (n) \,}$
$xn {\ displaystyle x ^ {n} \,}$ ${\ displaystyle x ^ {n} \,}$	$2 n + 1 (n!) 2 (2 n + 1)! {\ displaystyle {\ frac {2 ^ {n + 1} (n!) ^ {2}} {(2n + 1)!}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {n + 1} (n!) ^ {2}} {(2n + 1)! }}}$
$eax {\ displaystyle e ^ {ax} \,}$ ${\ displaystyle e ^ {ax} \,}$	$2 π a I n + 1/2 (a) {\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {a}}} I_ {n + 1/2} (a)}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {a}}} I_ {n + 1 / 2} (а)}$
$eiax {\ displaystyle е ^ {iax} \,}$ ${\ displaystyle e ^ {iax} \,}$	$2 π ain J n + 1/2 (a) {\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {a}}} i ^ {n} J_ { п + 1/2} (а)}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {a}}} i ^ { n} J_ {n + 1/2} (a)}$
$xf (x) {\ displaystyle xf (x) \,}$ ${\ displaystyle xf (x) \,}$	$1 2 n + 1 [(n + 1) f ~ (n + 1) + nf ~ (n - 1)] {\ displaystyle {\ frac {1} {2n + 1}} [(n + 1) {\ tilde {f}} (n + 1) + n {\ tilde {f}} ( n-1)]}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2n + 1}} [(n + 1) {\ tilde {f}} (n +1) + n {\ тильда {f}} (n-1)]}$
$(1 - x 2) - 1/2 {\ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {- 1/2} \,}$ ${\ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ { -1/2} \,}$	$π P n 2 (0) {\ displaystyle \ pi P_ {n} ^ {2} (0)}$ ${\ displaystyle \ pi P_ {n} ^ {2} (0)}$
$[2 (a - x)] - 1 {\ displaystyle [2 (ax)] ^ {- 1} \,}$ ${\ displaystyle [2 (ax)] ^ {- 1} \,}$	$Q N (a) {\ displaystyle Q_ {n} (a)}$ ${\ displaystyle Q_ {n} (a)}$
$(1-2 Ax + a 2) - 1/2, \| а \| < 1 {\displaystyle (1-2ax+a^{2})^{-1/2},\ \|a\|<1\,}$ ${\ displaystyle (1-2ax + a ^ {2}) ^ {- 1/2}, \ \| a \| <1\,}$	$2 a n (2 n + 1) - 1 {\ displaystyle 2a ^ {n} (2n + 1) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle 2a ^ {n} (2n + 1) ^ {- 1}}$
$(1-2 a x + a 2) - 3/2, \| а \| < 1 {\displaystyle (1-2ax+a^{2})^{-3/2},\ \|a\|<1\,}$ ${\ displaystyle (1-2ax + a ^ {2}) ^ {- 3/2}, \ \| a \| <1 \,}$	$2 an (1 - a 2) - 1 {\ displaystyle 2a ^ {n} (1-a ^ {2}) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle 2a ^ {n} (1-a ^ {2}) ^ {- 1}}$
$∫ 0 atb - 1 dt (1 - 2 xt + t 2) 1/2, \| а \| < 1 b>0 {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {t ^ {b-1} \, dt} {(1-2xt + t ^ {2}) ^ {1/2} }}, \ \| a \| <1\ b>0 \,}$ $\int _{0}^{a}{\frac {t^{b-1}\,dt}{(1-2xt+t^{2})^{1/2}}},\ \|a\|<1\ b>0 \,$	$2 an + b (2 n + 1) (n + b) {\ displaystyle {\ frac {2a ^ {n + b}} {(2n + 1) (n + b)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2a ^ {n + b}} {(2n + 1) (n + b)}}}$
$ddx [(1 - x 2) ddx] f (x) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ гидроразрыва {d} {dx}} \ справа] е (х) \,}$ ${\ displaystyle {\ frac {d} {dx }} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {d} {dx}} \ right] f (x) \,}$	$- n (n + 1) f ~ (n) {\ displaystyle -n (n + 1) {\ tilde { f}} (n)}$ ${\ displaystyle -n (n + 1) {\ tilde {f }} (п)}$
${ddx [(1 - x 2) ddx]} kf (x) {\ displaystyle \ left \ {{\ frac {d} {dx}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {d} {dx}} \ right] \ right \} ^ {k} f (x) \,}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ frac {d} {dx}} \ left [(1-x ^ {2 }) {\ frac {d} {dx}} \ right] \ right \} ^ {k} f (x) \,}$	$(- 1) knk (n + 1) kf ~ (n) {\ displaystyle (-1) ^ {k} n ^ {k} (n + 1) ^ {k} {\ tilde {f}} (n)}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {k} n ^ {k} (n + 1) ^ {k} {\ тильда {f}} (n)}$
$f (x) 4 - ddx [(1 - х 2) ddx] е (х) {\ displaystyle {\ frac {f (x)} {4}} - {\ frac {d} {dx}} \ left [(1-x ^ {2}) { \ frac {d} {dx}} \ right] f (x) \,}$ ${\ displaystyle {\ frac {f (x)} {4}} - {\ frac {d} {dx}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {d} {dx }} \ right] е (х) \,}$	$(n + 1 2) 2 f ~ (n) {\ displaystyle \ left (n + {\ frac {1} {2}) } \ right) ^ {2} {\ tilde {f}} (n)}$ ${\ displaystyle \ left (n + {\ frac { 1} {2}} \ right) ^ {2} {\ tilde {f}} (n)}$
$ln ⁡ (1 - Икс) {\ Displaystyle \ пер (1-х) \,}$ ${\ displaystyle \ ln (1-x) \,}$	${2 (пер ⁡ 2-1), п = 0-2 п (п + 1), п>0 {\ Displaystyle { \ begin {cases} 2 (\ ln 2-1), n = 0 \\ - {\ frac {2} {n (n + 1)}}, n>0 \ end {cases}} \,}$ ${\begin{cases}2(\ln 2-1),n=0\\-{\frac {2}{n(n+1)}},n>0 \ end {cases}} \,$
$f (x) ∗ g (x) {\ displaystyle f (x) * g (x) \,}$ ${\ displaystyle f (x) * g (x) \,}$	$f ~ (n) g ~ (n) {\ displaystyle {\ тильда {f}} (n) {\ тильда {g}} (n)}$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}} (n) {\ tilde {g}} (n)}$
$∫ - 1 xf (t) dt {\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {x} f (t) \, dt \,}$ ${\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {x} f (t) \, dt \,}$	${е ~ (0) - е ~ (1), n = 0 f ~ (n - 1) - f ~ (n + 1) 2 n + 1, n>1 {\ displaystyle { \ begin {cases} {\ tilde {f}} (0) - {\ tilde {f}} (1), n = 0 \\ {\ frac {{\ tilde {f}} (n-1) - { \ tilde {f}} (n + 1)} {2n + 1}}, n>1 \ end {cases}} \,}$ ${\begin{cases}{\tilde {f}}(0)-{\tilde {f}}(1),n=0\\{\frac {{\tilde {f}}(n-1)-{\tilde {f}}(n+1)}{2n+1}},n>1 \ end {cases}} \,$
$ddxg (x), g (x), g (x) Знак равно ∫ - 1 xf (t) dt {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} g (x), \ g (x) = \ int _ {- 1} ^ {x} f (t) \, dt}$ ${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} g (x), \ g (х) = \ int _ {- 1} ^ {x} f (t) \, dt}$	$g (1) - ∫ - 1 1 г (Икс) ddx п N (х) dx {\ displaystyle g (1) - \ int _ {- 1} ^ {1} g (x) {\ frac {d} {dx}} P_ {n} (x) \, dx}$ ${\ displaystyle g (1) - \ int _ {- 1} ^ {1} g (x) {\ frac {d} {dx}} P_ {n} (x) \, dx}$

Ссылки