Преобразование Рисса

В математической теории гармонического анализа, то Рисса преобразования представляют собой семейство обобщений преобразование Гильберта в евклидовых пространствах размерности d  gt; 1. Они представляют собой тип сингулярного интегрального оператора, а это означает, что они получают с помощью свертки одной функции с другая функция, имеющая особенность в начале координат. В частности, преобразования Рисса комплекснозначной функции на R ^d определяются следующим образом:

${\ Displaystyle R_ {J} е (х) = c_ {d} \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ int _ {\ mathbf {R} ^ {d} \ backslash B _ {\ epsilon} (x)} {\ гидроразрыва {(x_ {j} -t_ {j}) f (t)} {| xt | ^ {d + 1}}} \, dt}$

( 1)

для j  = 1,2,..., d. Константа c d является размерной нормализацией, задаваемой формулой

${\ displaystyle c_ {d} = {\ frac {1} {\ pi \ omega _ {d-1}}} = {\ frac {\ Gamma [(d + 1) / 2]} {\ pi ^ {( d + 1) / 2}}}.}$

где ω d −1 - объем единичного ( d  - 1) -шара. Предел записывается по-разному, часто как главное значение или как свертка с умеренным распределением.

${\ displaystyle K (x) = {\ frac {1} {\ pi \ omega _ {d-1}}} \, pv {\ frac {x_ {j}} {| x | ^ {d + 1}} }.}$

Преобразования Рисса возникают при изучении свойств дифференцируемости гармонических потенциалов в теории потенциала и гармоническом анализе. В частности, они возникают при доказательстве неравенства Кальдерона-Зигмунда ( Gilbarg amp; Trudinger 1983, §9.4).

• 1 Свойства множителя
• 2 Связь с лапласианом
• 3 См. Также
• 4 ссылки

Преобразования Рисса задаются множителем Фурье. Действительно, преобразование Фурье от R J ƒ дается

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (R_ {j} f) (x) = - я {\ frac {x_ {j}} {| x |}} ({\ mathcal {F}} f) (x).}$

В этой форме преобразования Рисса рассматриваются как обобщения преобразования Гильберта. Ядро представляет собой распределение, которое является однородным нулевой степени. Частным следствием этого последнего наблюдения является то, что преобразование Рисса определяет ограниченный линейный оператор из L ² ( R ^d) в себя.

Это свойство однородности можно также выразить более прямо без помощи преобразования Фурье. Если σ s - растяжение на R ^d скаляром s, то есть σ s x  =  sx, то σ s определяет действие на функции через откат :

${\ displaystyle \ sigma _ {s} ^ {*} f = f \ circ \ sigma _ {s}.}$

Преобразования Рисса коммутируют с σ s:

${\ displaystyle \ sigma _ {s} ^ {*} (R_ {j} f) = R_ {j} (\ sigma _ {x} ^ {*} f).}$

Точно так же преобразования Рисса коммутируют с переводами. Пусть τ a - перенос на R ^d вдоль вектора a ; то есть τ a ( x) =  x  +  a. затем

${\ displaystyle \ tau _ {a} ^ {*} (R_ {j} f) = R_ {j} (\ tau _ {a} ^ {*} f).}$

В качестве последнего свойства удобно рассматривать преобразования Рисса как единый векторный объект R ƒ = ( R 1 ƒ,..., R d ƒ). Рассмотрим поворот ρ в R ^d. Вращение действует на пространственные переменные и, следовательно, на функции через откат. Но он также может воздействовать на пространственный вектор R ƒ. Свойство окончательного преобразования утверждает, что преобразование Рисса эквивариантно по отношению к этим двум действиям; то есть,

${\ Displaystyle \ rho ^ {*} R_ {j} [(\ rho ^ {- 1}) ^ {*} f] = \ sum _ {k = 1} ^ {d} \ rho _ {jk} R_ { k} f.}$

Эти три свойства фактически характеризуют преобразование Рисса в следующем смысле. Пусть T = ( T 1,..., T d) - d -набор линейных ограниченных операторов из L ² ( R ^d) в L ² ( R ^d) такой, что

• T работает со всеми расширениями и переводами.
• T эквивариантен относительно поворотов.

Тогда для некоторой константы C, T = CR.

Несколько неточно преобразование Рисса дает первые частные производные решения уравнения ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle {(- \ Delta) ^ {\ frac {1} {2}} u = f},}$

где Δ - лапласиан. Таким образом, преобразование Рисса можно записать как: ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle {Rf = \ nabla (- \ Delta) ^ {- {\ frac {1} {2}}} f}}$

В частности, нужно также иметь

${\ displaystyle R_ {i} R_ {j} \ Delta u = - {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}},}$

так что преобразования Рисса дают возможность восстановить информацию обо всем гессиане функции из знания только ее лапласиана.

Теперь это уточнено. Предположим, что это функция Шварца. Тогда действительно, благодаря явному виду множителя Фурье, мы имеем ${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle R_ {i} R_ {j} (\ Delta u) = - {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}}.}$

Тождество обычно неверно в смысле распределений. Например, если это закаленное распределение таким образом, что, то можно только заключить, что ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ Delta u \ in L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {d})}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} = - R_ {i} R_ {j} \ Delta u + P_ {ij} (x)}$

для некоторого полинома. ${\ displaystyle P_ {ij}}$

• Преобразование Гильберта
• Ядро Пуассона
• Потенциал Рисса

• Gilbarg, D.; Трудингер, Нил (1983), Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Нью-Йорк: Springer, ISBN   3-540-41160-7.
• Стейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций, Princeton University Press.
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах, Princeton University Press, ISBN   0-691-08078-X.
• Аркоцци, Н. (1998), Преобразование Рисса на сферах и компактных группах Ли, Нью-Йорк: Springer, ISSN   0004-2080..