Сингулярный интеграл

редактировать

В математике сингулярные интегралы занимают центральное место в гармоническом анализе и тесно связаны с изучением дифференциальных уравнений в частных производных. Вообще говоря, сингулярный интеграл - это интегральный оператор

T (f) (x) = ∫ K (x, y) f (y) dy, {\ displaystyle T (f) (x) = \ int K (x, y) f (y) \, dy,}T (f) (x) = \ int K (x, y) f (y) \, dy,

, ядерная функция которого K: R×R→ Rявляется сингулярной вдоль диагонали x = y. В частности, особенность такова, что | K (x, y) | имеет размер | x - y | асимптотически при | x - y | → 0. Поскольку такие интегралы в общем случае не могут быть абсолютно интегрируемыми, строгое определение должно определять их как предел интеграла по | y - x |>ε при ε → 0, но на практике это формальность. Обычно для получения результатов требуются дополнительные предположения, например их ограниченность на L (R ).

Содержание

  • 1 Преобразование Гильберта
  • 2 Сингулярные интегралы типа свертки
  • 3 Сингулярные интегралы несверточного типа
    • 3.1 Ядра Кальдерона – Зигмунда
    • 3.2 Сингулярные интегралы несверточного типа
    • 3.3 Операторы Кальдерона – Зигмунда
    • 3.4 Теорема T (b)
  • 4 См. Также
  • 5 Примечания
  • 6 Ссылки
  • 7 Внешние ссылки

Преобразование Гильберта

Типичный сингулярный интегральный оператор - это преобразование Гильберта H. Он задается сверткой против ядра K (x) = 1 / (πx) для x в R . Точнее,

H (f) (x) = 1 π lim ε → 0 ∫ | х - у |>ε 1 x - y f (y) d y. {\ Displaystyle Н (е) (х) = {\ гидроразрыва {1} {\ pi}} \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int _ {| ху |>\ varepsilon} {\ frac {1} { xy}} f (y) \, dy.}H(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{{\varepsilon \to 0}}\int _{{|x-y|>\ varepsilon}} {\ frac {1} {xy}} f (y) \, dy.

Самыми простыми аналогами более высокого измерения для них являются преобразования Рисса, которые заменяют K (x) = 1 / x на

K i (x) = xi | x | n + 1 {\ displaystyle K_ {i} (x) = {\ frac {x_ {i}} {| x | ^ {n + 1}}}}K_ {i} (x) = {\ frac {x_ {i}} {| x | ^ {{n + 1}}}}

где i = 1,…, n и xi {\ displaystyle x_ {i}}x_ {i} - i-й компонент x в R . Все эти операторы ограничены на L и удовлетворяют оценкам слабого типа (1, 1).

Сингулярные интегралы типа свертки

Сингулярный интеграл типа свертки - это оператор T, определяемый сверткой с ядром K, которое локально интегрируем на R \ {0}, в том смысле, что

T (f) (x) = lim ε → 0 ∫ | y - x |>ε K (x - y) f (y) d y. {\ Displaystyle Т (е) (х) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int _ {| yx |>\ varepsilon} K (xy) f (y) \, dy.}T(f)(x)=\lim _{{\varepsilon \to 0}}\int _{{|y-x|>\ varepsilon}} K (xy) f (y) \, dy.

(1)

Предположим, что ядро ​​удовлетворяет:

1. Условию размера для преобразования Фурье K

K ^ ∈ L ∞ (R n) {\ displaystyle {\ hat {K}} \ in L ^ {\ infty} (\ mathbf {R} ^ {n})}{\ hat {K }} \ in L ^ {\ infty } ({\ mathbf {R}} ^ {n})

2. Условие гладкости: для некоторого C>0,

sup y ≠ 0 ∫ | x |>2 | y | | K (x - y) - K (x) | dx ≤ C. {\ Displaystyle \ sup _ {y \ neq 0} \ int _ {| x |>2 | y |} | K (xy) -K (x) | \, dx \ leq C.}\sup _{{y\neq 0}}\int _{{|x|>2 | y |}} | K (xy) -K ( x) | \, dx \ leq C.

Тогда можно показать, что T ограничена на L (R ) и удовлетворяет оценке слабого типа (1, 1).

Свойство 1. необходимо для обеспечения свертки (1) с умеренным распределением p.v. K, заданный интегралом главного значения

p. v. K [ϕ] = lim ϵ → 0 + ∫ | х |>ϵ ϕ (Икс) К (Икс) dx {\ displaystyle \ operatorname {pv} \, \, K [\ phi] = \ lim _ {\ epsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {| x |>\ epsilon} \ phi (x) K (x) \, dx}\operatorname {p.v.}\,\,K[\phi ]=\lim _{{\epsilon \to 0^{+}}}\int _{{|x|>\ epsilon}} \ phi (x) K (x) \, dx

- это хорошо определенный множитель Фурье на Л.Нитере. свойств 1. или 2. обязательно легко проверить, и существует множество достаточных условий. Как правило, в приложениях имеется также условие отмены

∫ R 1 < | x | < R 2 K ( x) d x = 0, ∀ R 1, R 2>0 {\ displaystyle \ int _ {R_ {1} <|x|0}\int _{{R_{1}<|x|<R_{2}}}K(x)\,dx=0,\ \forall R_{1},R_{2}>0

, что довольно легко проверить. Это происходит автоматически, например, если K является нечетной функцией. Если, кроме того, предполагается 2. и следующее условие размера

sup R>0 ∫ R < | x | < 2 R | K ( x) | d x ≤ C, {\displaystyle \sup _{R>0} \ int _ {R <|x|<2R}|K(x)|\,dx\leq C,}\sup _{{R>0}} \ int _ {{R <|x|<2R}}|K(x)|\,dx\leq C,

, тогда это можно показать, что 1. следует.

Условие 2 гладкости также часто трудно проверить в принципе, можно использовать следующее достаточное условие ядра K:

  • K ∈ C 1 (R n ∖ {0}) {\ displaystyle K \ in C ^ {1} (\ mathbf {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \})}K \ in C ^ {1} ({\ mathbf {R}} ^ {n} \ setminus \ {0 \})
  • | ∇ K (x) | ≤ C | х | n + 1 {\ displaystyle | \ nabla K (x) | \ leq {\ frac {C} {| x | ^ {n + 1}}}}| \ nabla K (x) | \ leq {\ frac {C} { | x | ^ {{n + 1}}}}

Обратите внимание, что эти условия выполняются для преобразований Гильберта и Рисса, поэтому этот результат является расширением этого результата.

Сингулярные интегралы несверточного типа

Это еще более общие операторы. Однако, поскольку наши предположения настолько слабые, это не обязательно так, что эти операторы ограничены на L.

ядра Кальдерона – Зигмунда

Функция K: R×R→ Rназывается ядро Кальдерона - Зигмунда, если оно удовлетворяет следующим условиям для некоторых констант C>0 и δ>0.

(a) | К (х, у) | ≤ C | х - у | п {\ displaystyle (a) \ qquad | K (x, y) | \ leq {\ frac {C} {| x-y | ^ {n}}}}(a) \ qquad | K (x, y) | \ leq {\ frac {C} {| xy | ^ {n}}}
(b) | K (x, y) - K (x ′, y) | ≤ C | х - х ′ | δ (| x - y | + | x ′ - y |) n + δ всякий раз, когда | х - х ′ | ≤ 1 2 макс (| Икс - Y |, | Икс '- Y |) {\ Displaystyle (b) \ qquad | К (х, y) -K (x', y) | \ Leq {\ frac {C | x-x '| ^ {\ delta}} {{\ bigl (} | xy | + | x'-y | {\ bigr)} ^ {n + \ delta}}} {\ text {when}} | x- x '| \ leq {\ frac {1} {2}} \ max {\ bigl (} | xy |, | x'-y | {\ bigr)}}(b)\qquad |K(x,y)-K(x',y)|\leq {\frac {C|x-x'|^{\delta }}{{\bigl (}|x-y|+|x'-y|{\bigr)}^{{n+\delta }}}}{\text{ whenever }}|x-x'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|x-y|,|x'-y|{\bigr)}
(c) | K (x, y) - K (x, y ′) | ≤ C | y - y ′ | δ (| x - y | + | x - y ′ |) n + δ всякий раз, когда | y - y ′ | ≤ 1 2 макс (| Икс - Y '|, | Икс - Y |) {\ Displaystyle (с) \ qquad | К (х, y) -K (х, y') | \ Leq {\ frac {C | y-y '| ^ {\ delta}} {{\ bigl (} | xy | + | x-y' | {\ bigr)} ^ {n + \ delta}}} {\ text {when}} | y- y '| \ leq {\ frac {1} {2}} \ max {\ bigl (} | x-y' |, | xy | {\ bigr)}}(c)\qquad |K(x,y)-K(x,y')|\leq {\frac {C|y-y'|^{\delta }}{{\bigl (}|x-y|+|x-y'|{\bigr)}^{{n+\delta }}}}{\text{ whenever }}|y-y'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|x-y'|,|x-y|{\bigr)}

Сингулярные интегралы несверточного типа

T называется сингулярным интегральным оператором несверточного типа, ассоциированным с ядром Кальдерона – Зигмунда K, если

(g (x) T (f) (x) dx = (g (x) K (Икс, Y) е (Y) dydx, {\ Displaystyle \ int g (x) T (f) (x) \, dx = \ iint g (x) K (x, y) f (y) \, dy \, dx,}\ int g (x) T (f) (x) \, dx = \ iint g (x) K (x, y) f (y) \, dy \, dx,

, если f и g гладкие и не пересекаются. Такие операторы не должны быть ограничены на L

операторы Кальдерона – Зигмунда

Сингулярный интеграл несверточного типа T, связанный с ядром Кальдерона – Зигмунда K, называется оператором Кальдерона – Зигмунда, когда он ограничено на L, то есть существует C>0 такое, что

‖ T (f) ‖ L 2 ≤ C ‖ f ‖ L 2, {\ displaystyle \ | T (f) \ | _ {L ^ {2}} \ leq C \ | f \ | _ {L ^ {2}},}\ | T (f) \ | _ {{L ^ { 2}}} \ leq C \ | f \ | _ {{L ^ {2}}},

для всех гладких ƒ с компактным носителем.

Можно доказать, что такие операторы фактически также ограничены на всем L с 1 < p < ∞.

Теорема T (b)

Теорема T (b) предоставляет достаточные условия для сингулярный интегральный оператор должен быть оператором Кальдерона – Зигмунда, то есть для сингулярного интегрального оператора, связанного с ядром Кальдерона – Зигмунда, чтобы быть ограниченным на L. Чтобы сформулировать результат, мы должны сначала определить некоторые термины.

Нормализованная выпуклость - это гладкая функция φ на R, опирающаяся на шар радиуса 10 и центрированная в начале координат, такая что | ∂ φ (x) | ≤ 1 для всех мультииндексов | α | ≤ n + 2. Обозначим τ (φ) (y) = φ (y - x) и φ r (x) = rφ (x / r) для всех x в R <100.>и r>0. Оператор называется слабо ограниченным, если существует константа C такая, что

| ∫ T (τ x (φ r)) (y) τ x (ψ r) (y) d y | ≤ С р - n {\ displaystyle \ left | \ int T {\ bigl (} \ tau ^ {x} (\ varphi _ {r}) {\ bigr)} (y) \ tau ^ {x} (\ psi _ {r}) (y) \, dy \ right | \ leq Cr ^ {- n}}\ left | \ int T {\ bigl (} \ tau ^ {x} ( \ varphi _ {r}) {\ bigr)} (y) \ tau ^ {x} (\ psi _ {r}) (y) \, dy \ right | \ leq Cr ^ {{- n}}

для всех нормированных выступов φ и ψ. Функция называется аккретивной, если существует константа c>0 такая, что Re (b) (x) ≥ c для всех x в R . Обозначим через M b оператор умножения на функцию b.

Теорема T (b) утверждает, что сингулярный интегральный оператор T, связанный с ядром Кальдерона – Зигмунда, ограничен на L, если он удовлетворяет всем следующим трем условиям для некоторых ограниченных аккретивных функций b 1 и b 2:

(a) M b 2 TM b 1 {\ displaystyle M_ {b_ {2}} TM_ {b_ {1}}}M _ {{b_ {2}}} TM _ {{b_ {1}}} слабо ограничен;

(b) T (b 1) {\ displaystyle T (b_ {1})}T (b_ {1}) находится в BMO ;

(c) T t (b 2), {\ displaystyle T ^ {t} (b_ {2}),}T ^ {t} (b_ {2}), находится в BMO, где T - оператор транспонирования T.

См. Также

Примечания

  1. ^Stein, Elias (1993). «Гармонический анализ». Princeton University Press.
  2. ^ Графакос, Лукас (2004), "7", Классический и современный анализ Фурье, Нью-Джерси: Pearson Education, Inc.
  3. ^Дэвид; Semmes; Журне (1985). "Opérateurs de Calderón – Zygmund, fonctions para-accrétives et interpolation" (на французском). 1 . Revista Matemática Iberoamericana. стр. 1–56.

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-08 02:48:35
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте