В математике сингулярные интегралы занимают центральное место в гармоническом анализе и тесно связаны с изучением дифференциальных уравнений в частных производных. Вообще говоря, сингулярный интеграл - это интегральный оператор
, ядерная функция которого K: R×R→ Rявляется сингулярной вдоль диагонали x = y. В частности, особенность такова, что | K (x, y) | имеет размер | x - y | асимптотически при | x - y | → 0. Поскольку такие интегралы в общем случае не могут быть абсолютно интегрируемыми, строгое определение должно определять их как предел интеграла по | y - x |>ε при ε → 0, но на практике это формальность. Обычно для получения результатов требуются дополнительные предположения, например их ограниченность на L (R ).
Содержание
- 1 Преобразование Гильберта
- 2 Сингулярные интегралы типа свертки
- 3 Сингулярные интегралы несверточного типа
- 3.1 Ядра Кальдерона – Зигмунда
- 3.2 Сингулярные интегралы несверточного типа
- 3.3 Операторы Кальдерона – Зигмунда
- 3.4 Теорема T (b)
- 4 См. Также
- 5 Примечания
- 6 Ссылки
- 7 Внешние ссылки
Преобразование Гильберта
Типичный сингулярный интегральный оператор - это преобразование Гильберта H. Он задается сверткой против ядра K (x) = 1 / (πx) для x в R . Точнее,
Самыми простыми аналогами более высокого измерения для них являются преобразования Рисса, которые заменяют K (x) = 1 / x на
где i = 1,…, n и - i-й компонент x в R . Все эти операторы ограничены на L и удовлетворяют оценкам слабого типа (1, 1).
Сингулярные интегралы типа свертки
Сингулярный интеграл типа свертки - это оператор T, определяемый сверткой с ядром K, которое локально интегрируем на R \ {0}, в том смысле, что
| | (1) |
Предположим, что ядро удовлетворяет:
1. Условию размера для преобразования Фурье K
2. Условие гладкости: для некоторого C>0,
Тогда можно показать, что T ограничена на L (R ) и удовлетворяет оценке слабого типа (1, 1).
Свойство 1. необходимо для обеспечения свертки (1) с умеренным распределением p.v. K, заданный интегралом главного значения
- это хорошо определенный множитель Фурье на Л.Нитере. свойств 1. или 2. обязательно легко проверить, и существует множество достаточных условий. Как правило, в приложениях имеется также условие отмены
, что довольно легко проверить. Это происходит автоматически, например, если K является нечетной функцией. Если, кроме того, предполагается 2. и следующее условие размера
, тогда это можно показать, что 1. следует.
Условие 2 гладкости также часто трудно проверить в принципе, можно использовать следующее достаточное условие ядра K:
Обратите внимание, что эти условия выполняются для преобразований Гильберта и Рисса, поэтому этот результат является расширением этого результата.
Сингулярные интегралы несверточного типа
Это еще более общие операторы. Однако, поскольку наши предположения настолько слабые, это не обязательно так, что эти операторы ограничены на L.
ядра Кальдерона – Зигмунда
Функция K: R×R→ Rназывается ядро Кальдерона - Зигмунда, если оно удовлетворяет следующим условиям для некоторых констант C>0 и δ>0.
Сингулярные интегралы несверточного типа
T называется сингулярным интегральным оператором несверточного типа, ассоциированным с ядром Кальдерона – Зигмунда K, если
, если f и g гладкие и не пересекаются. Такие операторы не должны быть ограничены на L
операторы Кальдерона – Зигмунда
Сингулярный интеграл несверточного типа T, связанный с ядром Кальдерона – Зигмунда K, называется оператором Кальдерона – Зигмунда, когда он ограничено на L, то есть существует C>0 такое, что
для всех гладких ƒ с компактным носителем.
Можно доказать, что такие операторы фактически также ограничены на всем L с 1 < p < ∞.
Теорема T (b)
Теорема T (b) предоставляет достаточные условия для сингулярный интегральный оператор должен быть оператором Кальдерона – Зигмунда, то есть для сингулярного интегрального оператора, связанного с ядром Кальдерона – Зигмунда, чтобы быть ограниченным на L. Чтобы сформулировать результат, мы должны сначала определить некоторые термины.
Нормализованная выпуклость - это гладкая функция φ на R, опирающаяся на шар радиуса 10 и центрированная в начале координат, такая что | ∂ φ (x) | ≤ 1 для всех мультииндексов | α | ≤ n + 2. Обозначим τ (φ) (y) = φ (y - x) и φ r (x) = rφ (x / r) для всех x в R <100.>и r>0. Оператор называется слабо ограниченным, если существует константа C такая, что
для всех нормированных выступов φ и ψ. Функция называется аккретивной, если существует константа c>0 такая, что Re (b) (x) ≥ c для всех x в R . Обозначим через M b оператор умножения на функцию b.
Теорема T (b) утверждает, что сингулярный интегральный оператор T, связанный с ядром Кальдерона – Зигмунда, ограничен на L, если он удовлетворяет всем следующим трем условиям для некоторых ограниченных аккретивных функций b 1 и b 2:
(a) слабо ограничен;
(b) находится в BMO ;
(c) находится в BMO, где T - оператор транспонирования T.
См. Также
Примечания
- ^Stein, Elias (1993). «Гармонический анализ». Princeton University Press.
- ^ Графакос, Лукас (2004), "7", Классический и современный анализ Фурье, Нью-Джерси: Pearson Education, Inc.
- ^Дэвид; Semmes; Журне (1985). "Opérateurs de Calderón – Zygmund, fonctions para-accrétives et interpolation" (на французском). 1 . Revista Matemática Iberoamericana. стр. 1–56.
Ссылки
- Кальдерон, А. П. ; Зигмунд, А. (1952), «О существовании некоторых сингулярных интегралов», Acta Mathematica, 88(1): 85–139, doi : 10.1007 / BF02392130, ISSN 0001-5962, MR 0052553, Zbl 0047.10201.
- Calderon, AP ; Зигмунд, A. (1956), «О сингулярных интегралах», American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 78 (2): 289– 309, doi : 10.2307 / 2372517, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372517, MR 0084633, Zbl 0072.11501.
- Койфман, Рональд ; Мейер, Ив (1997), Вейвлеты: Кальдерон-Зигмунд и полилинейные операторы, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 48, Cambridge University Press, стр. Xx + 315, ISBN 0-521-42001-6, MR 1456993, Zbl 0916.42023.
- Михлин, Соломон Г. (1948), «Сингулярные интегральные уравнения», УМН, 3 (25): 29–112, MR 0027429 (на Рус. ).
- Михлин, Соломон Г. (1965), Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, 83, Оксфорд - Лондон - Эдинбург - Нью-Йорк Город - Париж - Франкфурт : Pergamon Press, стр. XII + 255, MR 0185399, Zbl 0129.07701.
- Михлин, Соломон Г. ; Прёссдорф, Зигфрид (1986), Сингулярные интегральные операторы, Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк : Springer Verlag, стр. 528, ISBN 0-387-15967-3, MR 0867687, Zbl 0612.47024, (Европейское издание: ISBN 3-540-15967-3 ).
- Штейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций, Princeton Mathematical Series, 30, Princeton, NJ : Princeton University Press, стр. XIV + 287, ISBN 0-691-08079-8, MR 0290095, Zbl 0207.13501
Внешние ссылки