Теорема Сохоцкого – Племеля

редактировать

Сохоцкий –Теорема Племеля (польское написание - Сохоцкий) - это теорема из комплексного анализа, которая помогает в вычислении определенных интегралов. Его реальная версия (см. Ниже) часто используется в физике, хотя редко упоминается по имени. Теорема названа в честь Юлиана Сохоцкого, который доказал ее в 1868 году, и Иосипа Племеля, который заново открыл ее в качестве основного компонента своего решения проблемы Римана – Гильберта в 1908 году.

Содержание

1 Формулировка теоремы
2 Версия для действительной прямой
3 Доказательство реальной версии
4 Физическое приложение
5 См. Также
6 Ссылки

Формулировка теоремы

Пусть C - гладкая замкнутая простая кривая на плоскости, и $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ аналитическая функция на C. Обратите внимание, что интеграл типа Коши

ϕ (z) = 1 2 π i ∫ C φ (ζ) d ζ ζ - z, {\ displaystyle \ phi (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {C} {\ frac {\ varphi (\ zeta) \, d \ zeta} {\ zeta -z}},}

{\ displaystyle \ phi (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {C} {\ frac {\ varphi (\ zeta) \, d \ zeta} {\ zeta -z}},}

нельзя вычислить ни для какого z на кривой C. Однако на внутренней и внешней стороне кривой интеграл дает аналитические функции, которые будут обозначены $ϕ i {\ displaystyle \ phi _ {i}}$ $\ phi _ {i}$ внутри C и $ϕ e {\ displaystyle \ phi _ {e}}$ $\ phi _ {e}$ ou сторона. Формулы Сохоцкого – Племеля связывают предельные граничные значения этих двух аналитических функций в точке z на C и главное значение Коши $P {\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ интеграла:

lim w → z ϕ i (w) = 1 2 π i P ∫ C φ (ζ) d ζ ζ - z + 1 2 φ (z), {\ displaystyle \ lim _ {w \ to z} \ phi _ {i} (w) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} {\ mathcal {P}} \ int _ {C} {\ frac {\ varphi (\ zeta) \, d \ zeta} {\ zeta -z}} + {\ frac {1} {2}} \ varphi (z),}

{\ displaystyle \ lim _ {w \ to z} \ phi _ {i} (w) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} {\ mathcal {P}} \ int _ {C} { \ frac {\ varphi (\ zeta) \, d \ zeta} {\ zeta -z}} + {\ frac {1} {2}} \ varphi (z),}

lim w → z ϕ e (w) = 1 2 π i P ∫ C φ (ζ) d ζ ζ - z - 1 2 φ (z). {\ displaystyle \ lim _ {w \ to z} \ phi _ {e} (w) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} {\ mathcal {P}} \ int _ {C} {\ frac {\ varphi (\ zeta) \, d \ zeta} {\ zeta -z}} - {\ frac {1} {2}} \ varphi (z).}

{\ displaystyle \ lim _ {w \ to z} \ phi _ {e} (w) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} {\ mathcal {P}} \ int _ {C} {\ frac {\ varphi (\ zeta) \, d \ zeta} {\ zeta -z}} - {\ frac {1} {2}} \ varphi (z).}

Последующие обобщения ослабляют требования гладкости кривой C и функция φ.

Версия для действительной прямой

Особенно важна версия для интегралов по действительной прямой.

Пусть f будет комплексной -значной функцией, которая определена и непрерывна на действительной прямой, и пусть a и b будут действительными константами с $a < 0 < b {\displaystyle a<0$ ${\ displaystyle a <0 <b}$ . Тогда

lim ε → 0 + ∫ abf (x) x ± i ε dx = ∓ я π f (0) + P ∫ abf (x) xdx, {\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ { +}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {f (x)} {x \ pm i \ varepsilon}} \, dx = \ mp i \ pi f (0) + {\ mathcal {P }} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {f (x)} {x}} \, dx,}

{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {f (x)} {x \ pm i \ varepsilon}} \, dx = \ mp i \ pi f (0) + {\ mathcal {P}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {f (x)} {x}} \, dx,}

где $P {\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ обозначает главное значение Коши. (Обратите внимание, что в этой версии не используется аналитичность.)

Доказательство реальной версии

Простое доказательство состоит в следующем.

lim ε → 0 + ∫ abf (x) x ± i ε dx = ∓ i π lim ε → 0 + ∫ ab ε π (x 2 + ε 2) f (x) dx + lim ε → 0 + ∫ abx 2 x 2 + ε 2 f (x) xdx. {\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {f (x)} {x \ pm i \ varepsilon}} \, dx = \ mp i \ pi \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ varepsilon} {\ pi (x ^ {2} + \ varepsilon ^ {2 })}} f (x) \, dx + \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {x ^ {2}} {x ^ {2 } + \ varepsilon ^ {2}}} \, {\ frac {f (x)} {x}} \, dx.}

{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {f (x)} {x \ pm i \ varepsilon} } \, dx = \ mp i \ pi \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ varepsilon} {\ pi (x ^ {2} + \ varepsilon ^ {2})}} f (x) \, dx + \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {x ^ {2} } {x ^ {2} + \ varepsilon ^ {2}}} \, {\ frac {f (x)} {x}} \, dx.}

Для первого члена заметим, что ⁄ π (x + ε) является зарождающейся дельта-функцией и поэтому в пределе приближается к дельта-функции Дирака. Следовательно, первый член равен ∓iπ f (0).

Для второго члена отметим, что множитель ⁄ (x + ε) приближается к 1 при | x | ≫ ε, стремится к 0 при | x | ≪ ε, и точно симметричен относительно 0. Следовательно, в пределе он превращает интеграл в интеграл главного значения Коши.

Для простого доказательства сложной версии формулы и версии для полидоменов см.: Mohammed, Alip (февраль 2007 г.). «Проблема Римана, связанная с тором». Журнал математического анализа и приложений. 326 (1): 533–555. doi : 10.1016 / j.jmaa.2006.03.011.

Физическое приложение

В квантовой механике и квантовой теории поля, часто приходится вычислять интегралы вида

∫ - ∞ ∞ d E ∫ 0 ∞ dtf (E) exp ⁡ (- i E t) {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dE \, \ int _ {0} ^ {\ infty} dt \, f (E) \ exp (-iEt)}

\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dE \, \ int _ {0} ^ {\ infty} dt \, f (E) \ exp (-iEt)

где E - некоторая энергия, а t - время. Это выражение в том виде, в каком оно написано, не определено (поскольку интеграл по времени не сходится), поэтому его обычно модифицируют, добавляя отрицательный действительный коэффициент к t в экспоненте, а затем обнуляя его, то есть:

lim ε → 0 + ∫ - ∞ ∞ d E ∫ 0 ∞ dtf (E) exp ⁡ (- i E t - ε t) = - i lim ε → 0 + ∫ - ∞ ∞ f (E) E - i ε d E = π е (0) - я п ∫ - ∞ ∞ е (Е) Е d Е, {\ Displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ к 0 ^ {+}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dE \, \ int _ {0} ^ {\ infty} dt \, f (E) \ exp (-iEt- \ varepsilon t) = - i \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {f (E)} {Ei \ varepsilon}} \, dE = \ pi f (0) -i {\ mathcal {P}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {f (E)} {E}} \, dE,}

{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dE \, \ int _ {0} ^ {\ infty} dt \, f (E) \ exp (-iEt- \ varepsilon t) = - i \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {f (E)} {Ei \ varepsilon}} \, dE = \ pi f (0) -i {\ mathcal {P}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} { \ frac {f (E)} {E}} \, dE,}

где на последнем шаге используется действительная версия теоремы.

См. Также

Сингулярные интегральные операторы на замкнутых кривых (учет теоремы Сохоцкого – Племеля для единичной окружности и замкнутой жордановой кривой)
Соотношения Крамерса – Кронига
преобразование Гильберта

Ссылки

Weinberg, Steven (1995). Квантовая теория полей, Том 1: Основы. Cambridge Univ. Нажмите. ISBN 0-521-55001-7.Глава 3.1.
Мерцбахер, Ойген (1998). Квантовая механика. Wiley, John Sons, Inc. ISBN 0-471-88702-1.Приложение A, уравнение (A.19).
Henrici, Peter (1986). Прикладной и вычислительный комплексный анализ, т. 3. Willey, John Sons, Inc.
Plemelj, Josip (1964). Проблемы в понимании Римана и Клейна. Нью-Йорк: Interscience Publishers.
Гахов, Ф. Д. (1990), Краевые задачи. Перепечатка перевода 1966 года, Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6
Мусхелишвили, Н. И. (1949). Сингулярные интегральные уравнения, краевые задачи теории функций и их приложения к математической физике. Мельбурн: Департамент снабжения и развития лабораторий аэронавигационных исследований.
Бланшар, Брюнинг: математические методы в физике (Бирхаузер, 2003), пример 3.3.1 4
Сохоцкий Ю.В. (1873). Об определенных интегралах и функциях, используемых в разложениях в ряды. Санкт-Петербург.