Обозначение Кнута со стрелкой вверх

редактировать

В математике нотация Кнута со стрелкой вверх - это метод записи очень больших целых чисел, введенный Дональдом Кнутом в 1976 году.

В своей статье 1947 года Р.Л. Гудстайн ввел конкретную последовательность операций, которые теперь называются гипероперациями. Гудштейн также предложил греческие названия тетрация, пентация и т. Д. Для расширенных операций за пределами возведения в степень. Запускается последовательность с одноместной операцией (далее функция правопреемником с п = 0), и продолжает с бинарными операциями в дополнение ( п = 1), умножение ( п = 2), возведение в степень ( п = 3), тетрация ( п = 4), пентации ( n = 5) и т. д.

Для представления гиперопераций использовались различные обозначения. Одно из таких обозначений. Другая нотация - это инфиксная нотация, удобная для ASCII. Обозначение известно как «обозначение квадратных скобок». ${\ Displaystyle H_ {п} (а, б)}$ $H_ {n} (а, б)$ ${\ displaystyle a [n] b}$ ${\ displaystyle a [n] b}$ ${\ displaystyle a [n] b}$ ${\ displaystyle a [n] b}$

Обозначение Кнута со стрелкой вверх является альтернативным обозначением. Он получается заменой в квадратных скобках обозначений на стрелки. ${\ displaystyle \ uparrow}$ $\стрелка вверх$ ${\ Displaystyle [п]}$ $[n]$ ${\ displaystyle n-2}$ $п-2$

Например:

единственная стрелка представляет возведение в степень (повторное умножение) ${\ displaystyle \ uparrow}$ $\стрелка вверх$

{\ displaystyle 2 \ uparrow 4 = H_ {3} (2,4) = 2 [3] 4 = 2 \ times (2 \ times (2 \ times 2)) = 2 ^ {4} = 16}

{\ displaystyle 2 \ uparrow 4 = H_ {3} (2,4) = 2 [3] 4 = 2 \ times (2 \ times (2 \ times 2)) = 2 ^ {4} = 16}

двойная стрелка представляет собой тетрацию (повторное возведение в степень) ${\ displaystyle \ uparrow \ uparrow}$ $\ вверх \ вверх$

{\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow 4 = H_ {4} (2,4) = 2 [4] 4 = 2 \ uparrow (2 \ uparrow (2 \ uparrow 2)) = 2 ^ {2 ^ {2 ^ { 2}}} = 2 ^ {16} = 65536}

{\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow 4 = H_ {4} (2,4) = 2 [4] 4 = 2 \ uparrow (2 \ uparrow (2 \ uparrow 2)) = 2 ^ {2 ^ {2 ^ { 2}}} = 2 ^ {16} = 65536}

тройная стрелка представляет пентацию (повторное тетрирование) ${\ displaystyle \ uparrow \ uparrow \ uparrow}$ ${\ displaystyle \ uparrow \ uparrow \ uparrow}$

{\ displaystyle {\ begin {align} 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4 = H_ {5} (2,4) = 2 [5] 4 amp; = 2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ вверх 2)) \\ amp; = 2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow 2)) \\ amp; = 2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ uparrow 4) \\ amp; = \ underbrace { 2 \ uparrow (2 \ uparrow (2 \ uparrow \ dots))} \\ amp; 2 \ uparrow \ uparrow 4 {\ t_dv {копии}} 2 \\\ конец {выровнены}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4 = H_ {5} (2,4) = 2 [5] 4 amp; = 2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ вверх 2)) \\ amp; = 2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow 2)) \\ amp; = 2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ uparrow 4) \\ amp; = \ underbrace { 2 \ uparrow (2 \ uparrow (2 \ uparrow \ dots))} \\ amp; 2 \ uparrow \ uparrow 4 {\ t_dv {копии}} 2 \\\ конец {выровнены}}}

Общее определение обозначения стрелки вверх следующее (для): ${\ Displaystyle а \ geq 0, п \ geq 1, б \ geq 0}$ ${\ Displaystyle а \ geq 0, п \ geq 1, б \ geq 0}$

{\ displaystyle a \ uparrow ^ {n} b = H_ {n + 2} (a, b) = a [n + 2] b}

{\ displaystyle a \ uparrow ^ {n} b = H_ {n + 2} (a, b) = a [n + 2] b}

Здесь обозначено n стрелок, например, ${\ displaystyle \ uparrow ^ {n}}$ $\ uparrow ^ {n}$

{\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 3 = 2 \ uparrow ^ {4} 3}

{\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 3 = 2 \ uparrow ^ {4} 3}

СОДЕРЖАНИЕ

1 Введение
2 Обозначения
- 2.1 Запись обозначений, направленных вверх, в терминах степеней
  - 2.1.1 Использование тетрации
3 Обобщения
4 Определение
5 Таблицы значений
- 5.1 Вычисление 0 ↑ ⁿ b
- 5.2 Вычисление 2 ↑ ⁿ b
- 5.3 Вычисление 3 ↑ ⁿ b
- 5.4 Вычисление 4 ↑ ⁿ b
- 5.5 Вычисление 10 ↑ ⁿ b
6 См. Также
7 Примечания
8 ссылки
9 Внешние ссылки

Вступление

В гипероператор естественно расширить арифметические операции из того и умножения следующим образом.

Добавление с помощью натурального числа определяются как итерированное приращение:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} H_ {1} (a, b) = a [1] b = a + b = amp; a + \ underbrace {1 + 1 + \ dots +1} \\ amp; b {\ t_dv {копии из}} 1 \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} H_ {1} (a, b) = a [1] b = a + b = amp; a + \ underbrace {1 + 1 + \ dots +1} \\ amp; b {\ t_dv {копии из}} 1 \ end {matrix}}}

Умножение на натуральное число определяется как повторное сложение :

{\ displaystyle {\ begin {matrix} H_ {2} (a, b) = a [2] b = a \ times b = amp; \ underbrace {a + a + \ dots + a} \\ amp; b {\ t_dv {копирует of}} a \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} H_ {2} (a, b) = a [2] b = a \ times b = amp; \ underbrace {a + a + \ dots + a} \\ amp; b {\ t_dv {копирует of}} a \ end {matrix}}}

Например,

{\ displaystyle {\ begin {matrix} 3 \ times 4 amp; = amp; \ underbrace {3 + 3 + 3 + 3} amp; = amp; 12 \\ amp;amp; 4 {\ t_dv {копии}} 3 \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} 3 \ times 4 amp; = amp; \ underbrace {3 + 3 + 3 + 3} amp; = amp; 12 \\ amp;amp; 4 {\ t_dv {копии}} 3 \ end {matrix}}}

Возведение в степень для естественной степени определяется как повторное умножение, которое Кнут обозначил одной стрелкой вверх: ${\ displaystyle b}$ $б$

{\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow b = H_ {3} (a, b) = a [3] b = a ^ {b} = amp; \ underbrace {a \ times a \ times \ dots \ times a} \\ amp; b {\ t_dv {копии}} a \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow b = H_ {3} (a, b) = a [3] b = a ^ {b} = amp; \ underbrace {a \ times a \ times \ dots \ times a} \\ amp; b {\ t_dv {копии}} a \ end {matrix}}}

Например,

{\ displaystyle {\ begin {matrix} 4 \ uparrow 3 = 4 ^ {3} = amp; \ underbrace {4 \ times 4 \ times 4} amp; = amp; 64 \\ amp; 3 {\ t_dv {копии}} 4 \ end { матрица}}}

{\ begin {matrix} 4 \ uparrow 3 = 4 ^ {3} = amp; \ underbrace {4 \ times 4 \ times 4} amp; = amp; 64 \\ amp; 3 {\ t_dv {копии}} 4 \ end {matrix}}

Тетрация определяется как повторное возведение в степень, которое Кнут обозначил «двойной стрелкой»:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow \ uparrow b = H_ {4} (a, b) = a [4] b = amp; \ underbrace {a ^ {a ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {a}}}}}}} amp; = amp; \ underbrace {a \ uparrow (a \ uparrow (\ dots \ uparrow a))} \\ amp; b {\ t_dv {копии }} a amp;amp; b {\ t_dv {копии}} a \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow \ uparrow b = H_ {4} (a, b) = a [4] b = amp; \ underbrace {a ^ {a ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {a}}}}}}} amp; = amp; \ underbrace {a \ uparrow (a \ uparrow (\ dots \ uparrow a))} \\ amp; b {\ t_dv {копии }} a amp;amp; b {\ t_dv {копии}} a \ end {matrix}}}

Например,

{\ displaystyle {\ begin {matrix} 4 \ uparrow \ uparrow 3 = amp; \ underbrace {4 ^ {4 ^ {4}}} amp; = amp; \ underbrace {4 \ uparrow (4 \ uparrow 4)} amp; = amp; 4 ^ {256} amp; \ приблизительно amp; 1.34078079 \ times 10 ^ {154} amp; \\ amp; 3 {\ t_dv {копии}} 4 amp;amp; 3 {\ t_dv {копии}} 4 \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} 4 \ uparrow \ uparrow 3 = amp; \ underbrace {4 ^ {4 ^ {4}}} amp; = amp; \ underbrace {4 \ uparrow (4 \ uparrow 4)} amp; = amp; 4 ^ {256} amp; \ приблизительно amp; 1.34078079 \ times 10 ^ {154} amp; \\ amp; 3 {\ t_dv {копии}} 4 amp;amp; 3 {\ t_dv {копии}} 4 \ end {matrix}}}

Выражения оцениваются справа налево, поскольку операторы определены как правоассоциативные.

Согласно этому определению,

{\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow 2 = 3 ^ {3} = 27}

3 \ uparrow \ uparrow 2 = 3 ^ {3} = 27

{\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow 3 = 3 ^ {3 ^ {3}} = 3 ^ {27} = 7 625 597 484 987}

{\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow 3 = 3 ^ {3 ^ {3}} = 3 ^ {27} = 7 625 597 484 987}

{\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow 4 = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {3}}} = 3 ^ {3 ^ {27}} = 3 ^ {7625597484987} \ приблизительно 1,2580143 \ times 10 ^ {3638334640024}}

3 \ uparrow \ uparrow 4 = 3 ^ {3 ^ {3 ^ 3}} = 3 ^ {3 ^ {27}} = 3 ^ {7625597484987} \ приблизительно 1,2580143 \ раз 10 ^ {3638334640024}

{\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow 5 = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {3 ^ {3}}}} = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {27}}} = 3 ^ {3 ^ {7625597484987} } \ приблизительно 3 ^ {1.2580143 \ times 10 ^ {3638334640024}}}

{\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow 5 = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {3 ^ {3}}}} = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {27}}} = 3 ^ {3 ^ {7625597484987} } \ приблизительно 3 ^ {1.2580143 \ times 10 ^ {3638334640024}}}

и т.п.

Это уже приводит к некоторым довольно большим числам, но последовательность гипероператоров на этом не заканчивается.

Пентация, определяемая как повторная тетрация, представлена «тройной стрелкой»:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = H_ {5} (a, b) = a [5] b = amp; \ underbrace {a _ {} \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow (\ dots \ uparrow \ uparrow a))} \\ amp; b {\ t_dv {копии}} a \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = H_ {5} (a, b) = a [5] b = amp; \ underbrace {a _ {} \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow (\ dots \ uparrow \ uparrow a))} \\ amp; b {\ t_dv {копии}} a \ end {matrix}}}

Гексация, определяемая как повторная пентация, представлена «четверной стрелкой»:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = H_ {6} (a, b) = a [6] b = amp; \ underbrace {a _ {} \ uparrow \ uparrow \ uparrow ( a \ uparrow \ uparrow \ uparrow (\ dots \ uparrow \ uparrow \ uparrow a))} \\ amp; b {\ t_dv {копии}} a \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = H_ {6} (a, b) = a [6] b = amp; \ underbrace {a _ {} \ uparrow \ uparrow \ uparrow ( a \ uparrow \ uparrow \ uparrow (\ dots \ uparrow \ uparrow \ uparrow a))} \\ amp; b {\ t_dv {копии}} a \ end {matrix}}}

и так далее. Общее правило состоит в том, что оператор -стрелка расширяется до правоассоциативной серии операторов () -стрелки. Символично, ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ displaystyle n-1}$ $п-1$

{\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ \ underbrace {\ uparrow _ {} \ uparrow \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n} \ b = \ underbrace {a \ \ underbrace {\ uparrow \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n-1} \ (\ \ underbrace {\ uparrow _ {} \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n-1 } \ (\ dots \ \ underbrace {\ uparrow _ {} \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n-1} \ a))} _ {b {\ text {копии}} a } \ end {matrix}}}

{\ begin {matrix} a \ \ underbrace {\ uparrow _ {} \ uparrow \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n} \ b = \ underbrace {a \ \ underbrace {\ uparrow \! \! \ точки \! \! \ uparrow} _ {n-1} \ (\ \ underbrace {\ uparrow _ {} \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n-1} \ ( \ dots \ \ underbrace {\ uparrow _ {} \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n-1} \ a))} _ {b {\ text {копии}} a} \ end {матрица}}

Примеры:

{\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 2 = 3 \ uparrow \ uparrow 3 = 3 ^ {3 ^ {3}} = 3 ^ {27} = 7,625,597,484,987}

3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow2 = 3 \ uparrow \ uparrow3 = 3 ^ {3 ^ 3} = 3 ^ {27} = 7,625,597,484,987

{\ displaystyle {\ begin {matrix} 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 3 = 3 \ uparrow \ uparrow (3 \ uparrow \ uparrow 3) = 3 \ uparrow \ uparrow (3 \ uparrow 3 \ uparrow 3) = amp; \ underbrace {3 _ {} \ uparrow 3 \ uparrow \ dots \ uparrow 3} \\ amp; 3 \ uparrow 3 \ uparrow 3 {\ t_dv {копии}} 3 \ end {matrix}} {\ begin {matrix} = amp; \ underbrace { 3 _ {} \ uparrow 3 \ uparrow \ dots \ uparrow 3} \\ amp; {\ t_dv {7 625 597 484 987 копий 3}} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} = amp; \ underbrace {3 ^ {3 ^ { 3 ^ {3 ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {3}}}}}}}} \\ amp; {\ t_dv {7 625 597 484 987 копий 3}} \ end {matrix} }}

{\ begin {matrix} 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 3 = 3 \ uparrow \ uparrow (3 \ uparrow \ uparrow 3) = 3 \ uparrow \ uparrow (3 \ uparrow 3 \ uparrow 3) = amp; \ underbrace {3_ { } \ uparrow 3 \ uparrow \ dots \ uparrow 3} \\ amp; 3 \ uparrow 3 \ uparrow 3 {\ t_dv {копии}} 3 \ end {matrix}} {\ begin {matrix} = amp; \ underbrace {3_ {} \ uparrow 3 \ uparrow \ dots \ uparrow 3} \\ amp; {\ t_dv {7 625 597 484 987 копий 3}} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} = amp; \ underbrace {3 ^ {3 ^ {3 ^ { 3 ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {3}}}}}}}} \\ amp; {\ t_dv {7 625 597 484 987 копий 3}} \ end {matrix}}

Обозначение

В таких выражениях, как обозначение возведения в степень, обычно пишется показатель степени как надстрочный индекс к основному числу. Но многие среды, такие как языки программирования и электронная почта с обычным текстом, не поддерживают надстрочный набор. Люди приняли линейные обозначения для таких сред; стрелка вверх предлагает «возвести в степень». Если набор символов не содержит стрелки вверх, вместо нее используется каретка (^). ${\ displaystyle a ^ {b}}$ $а ^ {b}$ ${\ displaystyle b}$ $б$ ${\ displaystyle a}$ $а$ ${\ displaystyle a \ uparrow b}$ $а \ вверх б$

Обозначение надстрочного индекса плохо поддается обобщению, что объясняет, почему Кнут предпочел работать с встроенной нотацией. ${\ displaystyle a ^ {b}}$ $а ^ {b}$ ${\ displaystyle a \ uparrow b}$ $а \ вверх б$

${\ displaystyle a \ uparrow ^ {n} b}$ $а \ вверх ^ {п} б$ это более короткое альтернативное обозначение n вверх. Итак. ${\ displaystyle a \ uparrow ^ {4} b = a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$ $a \ uparrow ^ {4} b = a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b$

Стрелы Кнута стали довольно популярными, возможно, потому, что это более сильный логотип, чем например. ${\ displaystyle \ uparrow ^ {n}}$ $\ uparrow ^ {n}$ ${\ Displaystyle [п]}$ $[n]$

Написание нотации со стрелкой вверх в терминах степеней

Попытка написать, используя знакомую нотацию надстрочного индекса, дает башню силы. ${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow b}$ $а \ вверх \ вверх б$

Например:

{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow 4 = a \ uparrow (a \ uparrow (a \ uparrow a)) = a ^ {a ^ {a ^ {a}}}}

a \ uparrow \ uparrow 4 = a \ uparrow (a \ uparrow (a \ uparrow a)) = a ^ {a ^ {a ^ {a}}}

Если b - переменная (или слишком большая), башня мощности может быть написана точками и примечанием, указывающим высоту башни.

{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow b = \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}}} _ {b}}

a \ uparrow \ uparrow b = \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {b}

Продолжая эти обозначения, можно было бы записать стопку таких энергетических башен, каждая из которых описывает размер той, что находится над ней. ${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$ $а \ вверх \ вверх \ вверх б$

{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4 = a \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow a)) = \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {. {. {. a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {a}}}}

a \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4 = a \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow a)) = \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}} }}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a }}}}}} _ {a}}}

Опять же, если b - переменная или слишком большая, стек может быть записан с использованием точек и примечания, указывающего его высоту.

{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ left. \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} b}

a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ left. \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} b

Кроме того, можно было бы записать с использованием нескольких столбцов таких стеков башен власти, каждый столбец описывает количество башен власти в стеке слева от него: ${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$ $а \ вверх \ вверх \ вверх \ вверх б$

{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4 = a \ uparrow \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow \ uparrow a)) = \ left. \ left. \ left. \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ { a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} а}

a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4 = a \ uparrow \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow \ uparrow a)) = \ left. \ left. \ left. \ underbrace { a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. { a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \ } а

И вообще:

{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ underbrace {\ left. \ left. \ left. \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ underbrace {a ^ { a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ cdots \ right \} a} _ {b}}

a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ underbrace {\ left. \ left. \ left. \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ cdots \ right \} a} _ {b}

Это может выполняться бесконечно, чтобы представить как повторное возведение в степень повторного возведения в степень для любых a, n и b (хотя это явно становится довольно громоздким). ${\ displaystyle a \ uparrow ^ {n} b}$ $а \ вверх ^ {п} б$

Использование тетрации

Тетрация нотация позволяет нам сделать эти диаграммы немного проще в том же время используя геометрическое представление (мы могли бы назвать эту тетрацию башню). ${\ displaystyle ^ {b} а}$ $^ {b} а$

{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow b = {} ^ {b} a}

а \ вверх \ вверх б = {} ^ {б} а

{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {a}.}.}.} a} a} _ {b}}

a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {a}.}.}.} a} a} _ {b}

{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ left. \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {a}.}.}.} a} a} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {a}.}.}.} a} a} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} b}

a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ left. \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {a}.}.}.} a} a} _ {\ underbrace {^ {^ {^ { ^ {^ {a}.}.}.} a} a} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} b

Наконец, в качестве примера четвертое число Аккермана можно представить как: ${\ displaystyle 4 \ uparrow ^ {4} 4}$ $4 \ uparrow ^ {4} 4$

{\ displaystyle \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.}.}. } 4} 4} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {4}}} = \ underbrace {^ {^ {^ {^ { ^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.}.} 4} 4} _ {^ {^ {^ {4 } 4} 4} 4}}}

\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {4}}} = \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4 }.}.}.} 4} 4} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {^ {^ {^ {4} 4} 4} 4}}

Обобщения

Некоторые числа настолько велики, что несколько стрелок в нотации Кнута, направленной вверх, становятся слишком громоздкими; тогда полезен оператор n -стрелки (а также для описаний с переменным количеством стрелок) или, что эквивалентно, гипероператоры. ${\ displaystyle \ uparrow ^ {n}}$ $\ uparrow ^ {n}$

Некоторые числа настолько велики, что даже этих обозначений недостаточно. Обозначения конвея затем могут быть использованы: цепочка из трех элементов эквивалентна с другими обозначениями, но цепь из четырех или более является еще более мощным.

{\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow ^ {n} b amp; = amp; a [n + 2] b amp; = amp; a \ to b \ to n \\ {\ t_dv {(Knuth)}} amp;amp; {\ t_dv {( гипероперация)}} amp;amp; {\ t_dv {(Конвей)}} \ end {matrix}}}

{\ begin {matrix} a \ uparrow ^ {n} b amp; = amp; a [n + 2] b amp; = amp; a \ to b \ to n \\ {\ t_dv {(Knuth)}} amp;amp; {\ t_dv {(гипероперация)} } amp;amp; {\ t_dv {(Конвей)}} \ end {matrix}}

${\ displaystyle 6 \ uparrow \ uparrow 4}$ ${\ displaystyle 6 \ uparrow \ uparrow 4}$ =, Так как = =, Таким образом, результат выходит с ${\ displaystyle \ underbrace {6 ^ {6 ^ {. ^ {. ^ {. ^ {6}}}}}}} _ {4}}$ ${\ displaystyle \ underbrace {6 ^ {6 ^ {. ^ {. ^ {. ^ {6}}}}}}} _ {4}}$ ${\ displaystyle 6 \ uparrow \ uparrow 4}$ ${\ displaystyle 6 \ uparrow \ uparrow 4}$ ${\ displaystyle 6 ^ {6 ^ {6 ^ {6}}}}$ ${\ displaystyle 6 ^ {6 ^ {6 ^ {6}}}}$ ${\ displaystyle 6 ^ {6 ^ {46,656}}}$ ${\ displaystyle 6 ^ {6 ^ {46,656}}}$ ${\ displaystyle \ underbrace {6 ^ {6 ^ {. ^ {. ^ {. ^ {6}}}}}}} _ {4}}$ ${\ displaystyle \ underbrace {6 ^ {6 ^ {. ^ {. ^ {. ^ {6}}}}}}} _ {4}}$

${\ displaystyle 10 \ uparrow (3 \ times 10 \ uparrow (3 \ times 10 \ uparrow 15) +3)}$ ${\ displaystyle 10 \ uparrow (3 \ times 10 \ uparrow (3 \ times 10 \ uparrow 15) +3)}$ = или (Петиллион) ${\ displaystyle \ underbrace {100000... 000} _ {\ underbrace {300000... 003} _ {\ underbrace {300000... 003} _ {15}}}}$ ${\ displaystyle \ underbrace {100000... 000} _ {\ underbrace {300000... 003} _ {\ underbrace {300000... 003} _ {15}}}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {3 \ times 10 ^ {3 \ times 10 ^ {15}} + 3}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {3 \ times 10 ^ {3 \ times 10 ^ {15}} + 3}}$

Примечание: Phi = = = ${\ displaystyle \ leftarrow 1 [1]}$ ${\ displaystyle \ leftarrow 1 [1]}$ ${\ displaystyle \ leftarrow 1}$ ${\ displaystyle \ leftarrow 1}$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$

Определение

Без ссылки на гипероперацию операторы стрелки вверх могут быть формально определены следующим образом:

{\ displaystyle a \ uparrow ^ {n} b = {\ begin {cases} a ^ {b}, amp; {\ text {if}} n = 1; \\ 1, amp; {\ text {if}} ngt; 1 {\ text {and}} b = 0; \\ a \ uparrow ^ {n-1} (a \ uparrow ^ {n} (b-1)), amp; {\ text {в противном случае}} \ end {case }}}

{\ displaystyle a \ uparrow ^ {n} b = {\ begin {cases} a ^ {b}, amp; {\ text {if}} n = 1; \\ 1, amp; {\ text {if}} ngt; 1 {\ text {and}} b = 0; \\ a \ uparrow ^ {n-1} (a \ uparrow ^ {n} (b-1)), amp; {\ text {в противном случае}} \ end {case }}}

для всех целых чисел с. ${\ displaystyle a, b, n}$ $а, б, п$ ${\ Displaystyle а \ geq 0, п \ geq 1, б \ geq 0}$ ${\ Displaystyle а \ geq 0, п \ geq 1, б \ geq 0}$

Это определение использует возведение в степень как базовый случай, а тетрацию как повторное возведение в степень. Это эквивалентно последовательности гиперопераций, за исключением того, что в ней пропущены еще три основные операции: последовательность, сложение и умножение. ${\ displaystyle (a \ uparrow ^ {1} b = a \ uparrow b = a ^ {b})}$ $(a \ uparrow ^ {1} b = a \ uparrow b = a ^ {b})$ ${\ displaystyle (a \ uparrow ^ {2} b = a \ uparrow \ uparrow b)}$ $(a \ uparrow ^ {2} b = a \ uparrow \ uparrow b)$

В качестве альтернативы можно выбрать умножение в качестве базового случая и выполнять итерацию оттуда. Тогда возведение в степень становится повторным умножением. Формальное определение будет ${\ displaystyle (a \ uparrow ^ {0} b = a \ times b)}$ ${\ displaystyle (a \ uparrow ^ {0} b = a \ times b)}$

{\ displaystyle a \ uparrow ^ {n} b = {\ begin {cases} a \ times b, amp; {\ text {if}} n = 0; \\ 1, amp; {\ text {if}} ngt; 0 {\ text {and}} b = 0; \\ a \ uparrow ^ {n-1} (a \ uparrow ^ {n} (b-1)), amp; {\ text {в противном случае}} \ end {case} }}

{\ displaystyle a \ uparrow ^ {n} b = {\ begin {cases} a \ times b, amp; {\ text {if}} n = 0; \\ 1, amp; {\ text {if}} ngt; 0 {\ text {and}} b = 0; \\ a \ uparrow ^ {n-1} (a \ uparrow ^ {n} (b-1)), amp; {\ text {в противном случае}} \ end {case} }}

для всех целых чисел с. ${\ displaystyle a, b, n}$ $а, б, п$ ${\ Displaystyle а \ geq 0, п \ geq 0, б \ geq 0}$ ${\ Displaystyle а \ geq 0, п \ geq 0, б \ geq 0}$

Обратите внимание, однако, что Кнут не определил «стрелку на ноль» (). Можно было бы расширить обозначение на отрицательные индексы (n ≥ -2) таким образом, чтобы согласовать со всей последовательностью гиперопераций, за исключением запаздывания в индексации: ${\ displaystyle \ uparrow ^ {0}}$ $\ uparrow ^ {0}$

{\ displaystyle H_ {n} (a, b) = a [n] b = a \ uparrow ^ {n-2} b {\ text {for}} n \ geq 0.}

{\ displaystyle H_ {n} (a, b) = a [n] b = a \ uparrow ^ {n-2} b {\ text {for}} n \ geq 0.}

Операция со стрелкой вверх является правоассоциативной операцией, то есть понимается как вместо. Если двусмысленность не является проблемой, скобки иногда опускаются. ${\ displaystyle a \ uparrow b \ uparrow c}$ ${\ displaystyle a \ uparrow b \ uparrow c}$ ${\ Displaystyle а \ вверх (б \ вверх с)}$ ${\ Displaystyle а \ вверх (б \ вверх с)}$ ${\ displaystyle (a \ uparrow b) \ uparrow c}$ $(a \ вверх b) \ вверх c$

Таблицы значений

Вычисление 0 ↑ ⁿ b

Вычисление результатов в ${\ displaystyle 0 \ uparrow ^ {n} b = H_ {n + 2} (0, b) = 0 [n + 2] b}$ ${\ displaystyle 0 \ uparrow ^ {n} b = H_ {n + 2} (0, b) = 0 [n + 2] b}$

0, когда n = 0

1, когда n = 1 и b = 0

0, когда n = 1 и b gt; 0

1, когда n gt; 1 и b четно (включая 0)

0, когда n gt; 1 и b нечетно

Вычисление 2 ↑ ⁿ b

Вычисления можно переформулировать в терминах бесконечной таблицы. Мы помещаем числа в верхнюю строку и заполняем левый столбец значениями 2. Чтобы определить число в таблице, возьмите число сразу слева, затем найдите требуемое число в предыдущей строке в позиции, заданной номер только что взят. ${\ displaystyle 2 \ uparrow ^ {n} b}$ ${\ displaystyle 2 \ uparrow ^ {n} b}$ ${\ displaystyle 2 ^ {b}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {b}}$

Значения = = = 2 → b → n ${\ displaystyle 2 \ uparrow ^ {n} b}$ ${\ displaystyle 2 \ uparrow ^ {n} b}$ ${\ displaystyle H_ {n + 2} (2, b)}$ ${\ displaystyle H_ {n + 2} (2, b)}$ ${\ Displaystyle 2 [п + 2] б}$ ${\ Displaystyle 2 [п + 2] б}$
б ⁿ	1	2	3	4	5	6	формула
1	2	4	8	16	32	64	${\ displaystyle 2 ^ {b}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {b}}$
2	2	4	16	65536	${\ displaystyle 2 ^ {65 \, 536} \ приблизительно 2,0 \ times 10 ^ {19 \, 728}}$ $2 ^ {65 \, 536} \ приблизительно 2,0 \ times 10 ^ {19 \, 728}$	${\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {65 \, 536}} \ приблизительно 10 ^ {6.0 \ times 10 ^ {19 \, 727}}}$ $2 ^ {2 ^ {65 \, 536}} \ приблизительно 10 ^ {6.0 \ times 10 ^ {19 \, 727}}$	${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow b}$ ${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow b}$
3	2	4	65536	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ t_dv {копии}} 2 \ end {matrix}}}$ ${\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ t_dv {копии}} 2 \ end {matrix}}$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\\ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ t_dv {копии}} 2 \ конец {матрица}}}$ ${\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\\ underbrace {2_ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ t_dv {копии}} 2 \ end {matrix }}$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\\ подкладка {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\\ подкладка {2 _ {} ^ {2 ^ { {} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ t_dv {копии}} 2 \ end {matrix}}}$ ${\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\\ underbrace {2_ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\\ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ t_dv {копии}} 2 \ end {matrix}}$	${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$ ${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$
4	2	4	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ t_dv {копии}} 2 \ end {matrix}}}$ ${\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ t_dv {копии}} 2 \ end {matrix}}$				${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$ ${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

Таблица такая же, как у функции Аккермана, за исключением сдвига и и добавления 3 ко всем значениям. ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ displaystyle b}$ $б$

Вычисление 3 ↑ ⁿ b

Мы помещаем числа в верхнюю строку и заполняем левый столбец значениями 3. Чтобы определить число в таблице, возьмите число сразу слева, затем найдите требуемое число в предыдущей строке в позиции, заданной номер только что взят. ${\ displaystyle 3 ^ {b}}$ ${\ displaystyle 3 ^ {b}}$

Значения = = = 3 → b → n ${\ displaystyle 3 \ uparrow ^ {n} b}$ ${\ displaystyle 3 \ uparrow ^ {n} b}$ ${\ displaystyle H_ {n + 2} (3, b)}$ ${\ displaystyle H_ {n + 2} (3, b)}$ ${\ Displaystyle 3 [п + 2] Ь}$ ${\ Displaystyle 3 [п + 2] Ь}$
б ⁿ	1	2	3	4	5	формула
1	3	9	27	81 год	243	${\ displaystyle 3 ^ {b}}$ ${\ displaystyle 3 ^ {b}}$
2	3	27	7 625 597 484 987	${\ displaystyle 3 ^ {7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987}}$ $3 ^ {7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987}$	${\ displaystyle 3 ^ {3 ^ {7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987}}}$ ${\ displaystyle 3 ^ {3 ^ {7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987}}}$	${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow b}$ ${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow b}$
3	3	7 625 597 484 987	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {3 _ {} ^ {3 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {3}}}}}}} \\ 7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987 {\ t_dv {копии}} 3 \ end {matrix}}}$ ${\ begin {matrix} \ underbrace {3 _ {} ^ {3 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {3}}}}}}} \\ 7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987 {\ t_dv {копии}} 3 \ end {matrix}}$			${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$ ${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$
4	3	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {3 _ {} ^ {3 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {3}}}}}}} \\ 7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987 {\ t_dv {копии}} 3 \ end {matrix}}}$ ${\ begin {matrix} \ underbrace {3 _ {} ^ {3 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {3}}}}}}} \\ 7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987 {\ t_dv {копии}} 3 \ end {matrix}}$				${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$ ${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

Вычисление 4 ↑ ⁿ b

Мы помещаем числа в верхнюю строку и заполняем левый столбец значениями 4. Чтобы определить число в таблице, возьмите число сразу слева, затем найдите требуемое число в предыдущей строке в позиции, заданной номер только что взят. ${\ displaystyle 4 ^ {b}}$ ${\ displaystyle 4 ^ {b}}$

Значения = = = 4 → b → n ${\ displaystyle 4 \ uparrow ^ {n} b}$ ${\ displaystyle 4 \ uparrow ^ {n} b}$ ${\ displaystyle H_ {n + 2} (4, b)}$ ${\ displaystyle H_ {n + 2} (4, b)}$ ${\ Displaystyle 4 [п + 2] Ь}$ ${\ Displaystyle 4 [п + 2] Ь}$
б ⁿ	1	2	3	4	5	формула
1	4	16	64	256	1024	${\ displaystyle 4 ^ {b}}$ ${\ displaystyle 4 ^ {b}}$
2	4	256	${\ displaystyle 1.3407807930 \ times 10 ^ {154}}$ ${\ displaystyle 1.3407807930 \ times 10 ^ {154}}$	${\ displaystyle 4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154}}}$ ${\ displaystyle 4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154}}}$	${\ displaystyle 4 ^ {4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154}}}}$ ${\ displaystyle 4 ^ {4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154}}}}$	${\ displaystyle 4 \ uparrow \ uparrow b}$ ${\ displaystyle 4 \ uparrow \ uparrow b}$
3	4	${\ displaystyle 4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154}}}$ ${\ displaystyle 4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154}}}$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {4 _ {} ^ {4 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {4}}}}}}} \\ 4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154}} {\ t_dv {копии}} 4 \ end {matrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {4 _ {} ^ {4 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {4}}}}}}} \\ 4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154}} {\ t_dv {копии}} 4 \ end {matrix}}}$			${\ displaystyle 4 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$ ${\ displaystyle 4 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$
4	4	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {4 _ {} ^ {4 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {4}}}}}}} \\\ подкладка {4 _ {} ^ {4 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {4}}}}}}} \\ 4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154} } {\ t_dv {копии}} 4 \ end {matrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {4 _ {} ^ {4 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {4}}}}}}} \\\ подкладка {4 _ {} ^ {4 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {4}}}}}}} \\ 4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154} } {\ t_dv {копии}} 4 \ end {matrix}}}$				${\ displaystyle 4 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$ ${\ displaystyle 4 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

Вычисление 10 ↑ ⁿ b

Мы помещаем числа в верхнюю строку и заполняем левый столбец значениями 10. Чтобы определить число в таблице, возьмите число сразу слева, затем найдите требуемое число в предыдущей строке в позиции, заданной номер только что взят. ${\ displaystyle 10 ^ {b}}$ $10 ^ б$

Значения = = = 10 → b → n ${\ displaystyle 10 \ uparrow ^ {n} b}$ ${\ displaystyle 10 \ uparrow ^ {n} b}$ ${\ displaystyle H_ {n + 2} (10, b)}$ ${\ displaystyle H_ {n + 2} (10, b)}$ ${\ displaystyle 10 [n + 2] b}$ ${\ displaystyle 10 [n + 2] b}$
б ⁿ	1	2	3	4	5	формула
1	10	100	1,000	10 000	100 000	${\ displaystyle 10 ^ {b}}$ $10 ^ б$
2	10	10 000 000 000	${\ displaystyle 10 ^ {10,000,000,000}}$ $10 ^ {10,000,000,000}$	${\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {10,000,000,000}}}$ $10 ^ {10 ^ {10,000,000,000}}$	${\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {10 ^ {10,000,000,000}}}}$ $10 ^ {10 ^ {10 ^ {10,000,000,000}}}$	${\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow b}$ ${\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow b}$
3	10	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\ 10 {\ t_dv {копии}} 10 \ end {matrix}}}$ ${\ begin {matrix} \ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\ 10 {\ t_dv {копии}} 10 \ end {matrix}}$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\\ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\ 10 {\ t_dv {копии}} 10 \ конец {матрица}}}$ ${\ begin {matrix} \ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\\ underbrace {10_ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\ 10 {\ t_dv {копии}} 10 \ end {матрицы }}$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\\ подгузник {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\\ подгузник {10 _ {} ^ {10 ^ { {} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\ 10 {\ t_dv {копии}} 10 \ end {matrix}}}$ ${\ begin {matrix} \ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\\ underbrace {10_ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\\ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\ 10 {\ t_dv {копии}} 10 \ end {matrix}}$		${\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$ ${\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$
4	10	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {10}.}.}.} 10} 10} \\ 10 {\ t_dv {копии}} 10 \ end {matrix }}}$ ${\ begin {matrix} \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {10}.}.}.} 10} 10} \\ 10 {\ t_dv {копии}} 10 \ end {matrix}}$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {10}.}.}.} 10} 10} \\\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {10 }.}.}.} 10} 10} \\ 10 {\ t_dv {копии}} 10 \ end {matrix}}}$ ${\ begin {matrix} \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {10}.}.}.} 10} 10} \\\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {10}.}.}.}.} 10} 10} \\ 10 {\ t_dv {копий}} 10 \ end {matrix}}$			${\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$ ${\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

Для 2 ≤ b ≤ 9 числовой порядок чисел является лексикографическим порядком, где n является наиболее значимым числом, поэтому для номеров этих 8 столбцов числовой порядок просто построчный. То же самое относится к числам в 97 столбцах с 3 ≤ b ≤ 99, и если мы начнем с n = 1, даже для 3 ≤ b ≤ 9,999,999,999. ${\ displaystyle 10 \ uparrow ^ {n} b}$ ${\ displaystyle 10 \ uparrow ^ {n} b}$

Смотрите также

Примечания

^ Имейте в виду, что Кнут не определял оператора. ${\ displaystyle \ uparrow ^ {0}}$ $\ uparrow ^ {0}$
^ ^a ^b Подробнее см. Степень нуля.
^ ^a ^b Подробнее см. Ноль в степени нуля.

использованная литература

внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. "Нотация Кнута, направленная вверх". MathWorld.
Роберт Мунафо, Большие числа: высшие гипероператоры

Обозначение Кнута со стрелкой вверх

Написание нотации со стрелкой вверх в терминах степеней

Использование тетрации

Вычисление 0 ↑ n b

Вычисление 2 ↑ n b

Вычисление 3 ↑ n b

Вычисление 4 ↑ n b

Вычисление 10 ↑ n b

Вычисление 0 ↑ ⁿ b

Вычисление 2 ↑ ⁿ b

Вычисление 3 ↑ ⁿ b

Вычисление 4 ↑ ⁿ b

Вычисление 10 ↑ ⁿ b