Тест производной

В исчислении в тесте производной используется производные от функции для определения критических точек функции и определения, является ли каждая точка локальным максимумом, локальным минимумом или седловая точка. Производные тесты также могут дать информацию о вогнутости функции.

Полезность производных для поиска экстремумов математически доказана теоремой Ферма о стационарных точках.

Содержание

• 1 Тест первой производной
  • 1.1 Точная формулировка Свойства монотонности
  • 1.2 Точное описание теста первой производной
  • 1.3 Применения
• 2 Тест второй производной (одна переменная)
  • 2.1 Доказательство теста второй производной
  • 2.2 Тест вогнутости
  • 2.3 Тест производной высшего порядка
  • 2.4 Пример
• 3 Случай с несколькими переменными
• 4 См. Также
• 5 Дополнительная литература
• 6 Внешние ссылки

Тест первой производной

Первый -производный тест исследует свойства функции монотонной (где функция - увеличение или уменьшение ), сосредотачиваясь на конкретной точке в ее области. Если функция «переключается» с увеличения на уменьшение в этой точке, тогда функция достигает наивысшего значения в этой точке. Точно так же, если функция «переключается» с уменьшения на увеличение в этой точке, тогда она достигнет наименьшего значения в этой точке. Если функция не может «переключиться» и продолжает увеличиваться или продолжает уменьшаться, то максимальное или наименьшее значение не достигается.

Можно исследовать монотонность функции без исчисления. Однако исчисление обычно полезно, потому что существуют достаточные условия, которые гарантируют указанные выше свойства монотонности, и эти условия применимы к подавляющему большинству функций, с которыми можно столкнуться.

Точное изложение свойств монотонности

Точно сформулировано, предположим, что f является непрерывной действительной -значной функцией действительной переменной, определенной на некоторой открытый интервал, содержащий точку x.

• Если существует положительное число r>0 такое, что f слабо возрастает на (x - r, x] и слабо убывает на [x, x + r), то f имеет локальный максимум в x. Это утверждение работает и наоборот: если x - точка локального максимума, то f слабо возрастает на (x - r, x] и слабо убывает на [x, x + r).
• Если есть существует положительное число r>0 такое, что f строго возрастает на (x - r, x] и строго возрастает на [x, x + r), то f строго возрастает на (x - r, x + r) и делает не иметь локального максимума или минимума в x.

Это утверждение является прямым следствием того, как определены локальные экстремумы. То есть, если x 0 является точкой локального максимума, то существует r>0 такое, что f (x) ≤ f (x 0) для x в (x - r, x + r), что означает, что f должно увеличиваться от x - r до x и должно уменьшаться от x до x + r, потому что f является непрерывным.

Обратите внимание, что в первых двух случаях f не требуется, чтобы оно строго увеличивалось или строго уменьшалось влево или вправо от x, в то время как в последних двух случаях требуется, чтобы f строго увеличивалось или строго уменьшалось. Причина в том, что при определении локального максимума и минимума неравенство не обязательно должно быть строгим: например, каждое значение постоянной функции считается как локальным максимумом, так и локальным минимумом.

Точная формулировка теста первой производной

Тест первой производной зависит от «теста увеличения-уменьшения», который, в конечном итоге, является следствием теоремы о среднем значении. Это прямое следствие способа определения производной и его связи с локальным уменьшением и увеличением функции в сочетании с предыдущим разделом.

Предположим, что f является действительной функцией действительной переменной, определенной на некотором интервале, содержащем критическую точку a. Далее предположим, что f является непрерывным в a и дифференцируемым на некотором открытом интервале, содержащем a, кроме, возможно, самого a.

• Если существует положительное число r>0 такое, что для любого x в (a - r, a) имеем f ′ (x) ≥ 0, а для каждого x в (a, a + r) имеем f ′ (X) ≤ 0, то f имеет локальный максимум в a.
• Если существует положительное число r>0 такое, что для каждого x в (a - r, a) ∪ (a, a + r) имеем f ′ (x)>0, то f строго возрастает в точке a и не имеет там ни локального максимума, ни локального минимума.
• Если ни одно из вышеперечисленных условий не выполняется, то проверка не выполняется. (Такое условие не является пустым ; есть функции, которые не удовлетворяют ни одному из первых трех условий, например, f (x) = x sin (1 / x)).

Опять же, в соответствии с комментариями в разделе о свойствах монотонности отметим, что в первых двух случаях неравенство не обязательно должно быть строгим, а в следующих двух требуется строгое неравенство.

Приложения

Тест первой производной полезен при решении задач оптимизации в физике, экономике и технике. В сочетании с теоремой об экстремальных значениях, ее можно использовать для поиска абсолютного максимума и минимума функции с действительным знаком, определенной на закрытом и ограниченном интервале.. В сочетании с другой информацией, такой как вогнутость, точки перегиба и асимптоты, его можно использовать для наброска графика функции.

Тест второй производной (одиночная переменная)

После установления критических точек функции, тест второй производной использует значение второй производной в этих точках, чтобы определить, являются ли такие точки локальным максимумом или локальным минимумом. Если функция f дважды- дифференцируема в критической точке x (т.е. точке, где f ′ (x) = 0), то:

• Если , то $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$имеет локальный максимум в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$.
• Если $f\; ″\; (x)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\; \text{'}(x)>0\}$, тогда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$имеет локальный минимум в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$.
• Если $f\; ″\; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\text{'}\; (x)\; =\; 0\}$, проверка неубедительна.

В последнем случае теорема Тейлора может использоваться для определения поведения f вблизи x с использованием старших производных.

Доказательство теста второй производной

Предположим, у нас есть $f\; ″\; (x)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\text{'}\; (x)>0\}$(доказательство для аналогично). По предположению $f\; \prime \; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(x)\; =\; 0\}$. Тогда

Таким образом, для достаточно малого h мы получаем

$f\; \prime \; (x\; +\; h)\; h>0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(x\; +\; h)\}\; \{h\}\}>0,\}$

, что означает, что if (интуитивно f уменьшается по мере приближения к $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$слева), и что $f\; \prime \; (x\; +\; h)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(x\; +\; h)>0\}$если $h>0\; \{\backslash \; displaystyle\; h>0\}$(интуитивно понятно, что f увеличивается по мере того, как мы от x). Теперь, согласно тесту первой производной, $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$имеет локальный минимум в $x\; \{\backslash \; displaysty\; le\; x\}$.

Тест на вогнутость

Связанное, но отдельное использование вторых производных состоит в том, чтобы определить, является ли функция вогнутой вверх или вогнутой вниз в точке. Однако он не предоставляет информацию о точках перегиба. В частности, дважды дифференцируемая функция f вогнута вверх, если $f\; ″\; (x)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\text{'}\; (x)>0\}$и вогнуть вниз, если . если $f\; (x)\; =\; x\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{4\}\}$, то $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$имеет нулевую вторую производную, но не является точкой перегиба, поэтому вторая производная сама по себе не дает достаточно информации, чтобы определить, является ли данная точка точкой перегиба.

Тест производной более высокого порядка

Тест производной более высокого порядка или общий тест производной может определить, являются ли критические точки функции максимумами, минимумами или точками перегиба для более широкого круга функций, чем проверка производной второго порядка. Как показано ниже, вторая -производный тест математически идентичен частному случаю n = 1 в более высоком тест производной rder.

Пусть f - вещественная, достаточно дифференцируемая функция на интервале $I\; \subset \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, пусть $c\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \backslash \; in\; I\}$, и пусть $n\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; 1\}$будет натуральное число. Также пусть все производные f в c равны нулю вплоть до n-й производной включительно, но при этом (n + 1) -я производная не равна нулю:

$f\; \prime \; (c)\; =\; \cdots \; =\; f\; (n)\; (с)\; знак\; равно\; 0\; и\; е\; (n\; +\; 1)\; (с)\; \ne \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(c)\; =\; \backslash \; cdots\; =\; f\; ^\; \{(n)\}\; (c)\; =\; 0\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{и\; \}\}\; \backslash \; quad\; f\; ^\; \{(n\; +\; 1)\}\; (c)\; \backslash \; neq\; 0.\}$

Есть четыре возможности: первые два случая, когда c - экстремум, вторые два случая, когда c - (локальное) седло. точка:

• Если n нечетное и , то c является локальным максимумом.
• Если n нечетное и $f\; (n\; +\; 1)\; (c)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(n\; +\; 1)\}\; (c)>0\}$, то c является локальным минимумом.
• Если n равно четное и , то c является строго убывающей точкой перегиба.
• Если n четно и $f\; (n\; +\; 1)\; (c)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(n\; +\; 1)\}\; (c)>0\}$, то c является строго возрастающей точкой перегиба.

Поскольку n должно быть четным или нечетным, этот аналитический тест классифицирует любую стационарную точку f, если в конечном итоге обнаруживается ненулевая производная.

Пример

Допустим, мы хотим выполнить общую проверку производной для функции $f\; (x)\; =\; x\; 6\; +\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{6\; \}\; +5\}$в точке $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$. Для этого мы вычисляем производные функции, а затем оцениваем их в интересующей точке, пока результат не станет отличным от нуля.

$f\; \prime \; (x)\; =\; 6\; x\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(x)\; =\; 6x\; ^\; \{5\}\}$, $f\; \prime \; (0)\; =\; 0;\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(0)\; =\; 0;\}$

$f\; ″\; (x)\; =\; 30\; x\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; f\text{'}\; \text{'}(x)\; =\; 30x\; ^\; \{4\}\}$, $f\; ″\; (0)\; =\; 0\; ;\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\text{'}\; (0)\; =\; 0;\}$

$f\; (3)\; (x)\; =\; 120\; x\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(3)\}\; (x)\; =\; 120x\; ^\; \{3\}\}$, $f\; (3)\; (0)\; =\; 0;\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(3)\}\; (0)\; =\; 0;\}$

$f\; (4)\; (x)\; =\; 360\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(4)\}\; (x)\; =\; 360x\; ^\; \{2\}\; \}$, $f\; (4)\; (0)\; =\; 0;\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(4)\}\; (0)\; =\; 0;\}$

$f\; (5)\; (x)\; =\; 720\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(5)\}\; (x)\; =\; 720x\}$, $f\; (5)\; (0)\; =\; 0;\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(5)\}\; (0)\; =\; 0;\}$

$f\; (6)\; (x)\; =\; 720\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(6)\}\; (x)\; =\; 720\}$, $f\; (\; 6)\; (0)\; =\; 720.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(6)\}\; (0)\; =\; 720.\}$

Как показано выше, в точке $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$, функция $x\; 6\; +\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{6\}\; +5\}$имеет все производные в 0, равные 0, за исключением 6-й производной, которая положительный. Таким образом, n = 5, и по тесту существует локальный минимум на уровне 0.

Многопараметрический случай

Для функции более чем одной переменной тест второй производной обобщается на тест на основе собственных значений функции матрицы Гессе в критической точке. В частности, если предположить, что все частные производные второго порядка функции f непрерывны в окрестности критической точки x, тогда, если все собственные значения гессиана в точке x положительны, то x является локальным минимумом. Если все собственные значения отрицательны, то x является локальным максимумом, а если некоторые из них положительны, а некоторые отрицательны, то точка является седловой точкой. Если матрица Гессе сингулярна, то проверка второй производной неубедительна.

См. Также

• теорему Ферма (стационарные точки)
• Максимумы и минимумы
• Условия Каруша – Куна – Таккера
• Фазовая линия - практически идентичная диаграмма, используемая при исследовании обыкновенные дифференциальные уравнения
• Гессиан с краями
• Оптимизация (математика)
• Дифференцируемость
• Выпуклая функция
• Тест второй частной производной
• Седловая точка
• Точка перегиба
• Стационарная точка

Далее чтение

• Чан, Альфа С. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (Третье изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. Стр. 231–267. ISBN 0-07-010813-7.
• Марсден, Джерролд ; Вайнштейн, Алан (1985). Исчисление I (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 139–199. ISBN 0-387-90974-5.
• Шокли, Джеймс Э. (1976). Краткое исчисление: с приложениями в социальных науках (2-е изд.). Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. С. 77–109. ISBN 0-03-089397-6.
• Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: Ранние трансцендентальные знания (6-е изд.). Брукс Коул Сэнджэдж Обучение. ISBN 978-0-495-01166-8.
• Уиллард, Стивен (1976). Исчисление и его приложения. Бостон: Prindle, Weber Schmidt. С. 103–145. ISBN 0-87150-203-8.

Внешние ссылки

• «Второй производный тест» в Mathworld
• Вогнутость и второй производный тест
• Использование Томасом Симпсоном второй производной Тест для поиска максимумов и минимумов при конвергенции