Алгебраическое многообразие

редактировать
Скрученная кубика - проективное алгебраическое многообразие.

Алгебраические многообразия - центральные объекты изучения алгебраической геометрии, подполя математики. Классически алгебраическое разнообразие определяется как набор решений системы полиномиальных уравнений над действительными или комплексными числами. Современные определения обобщают эту концепцию несколькими различными способами, пытаясь сохранить геометрическую интуицию, лежащую в основе первоначального определения.

Соглашения относительно определения алгебраического разнообразия немного отличаются. Например, некоторые определения требуют, чтобы алгебраическое многообразие было неприводимым, что означает, что это не объединение двух меньших множеств, которые закрыты в Топология Зарисского. Согласно этому определению, неприводимые алгебраические многообразия называются алгебраическими множествами . Другие соглашения не требуют сводимости.

фундаментальная теорема алгебры устанавливает связь между алгеброй и геометрией, показывая, что монический многочлен ( алгебраический объект) в одной переменной с комплексными числовыми коэффициентами определяется набором его корней (геометрический объект) в комплексной плоскости. Обобщая этот результат, Nullstellensatz Гильберта обеспечивает фундаментальное соответствие между идеалами колец многочленов и алгебраическими множествами. Используя Nullstellensatz и связанные с ним результаты, математики установили строгое соответствие между вопросами алгебраических множеств и вопросами теории колец. Это соответствие является определяющей чертой алгебраической геометрии.

Многие алгебраические многообразия являются многообразиями, но алгебраическое многообразие может иметь особые точки, а многообразие - нет. Алгебраические многообразия можно охарактеризовать их размерностью. Алгебраические многообразия размерности один называются алгебраическими кривыми, а алгебраические многообразия размерности два называются алгебраическими поверхностями.

В контексте современной схемы теории, алгебраическое многообразие над field представляет собой интегральную (неприводимую и редуцированную) схему над тем полем, морфизм структуры которой разделен и имеет конечный тип.

Содержание

  • 1 Обзор и определения
    • 1.1 Аффинные многообразия
    • 1.2 Проективные многообразия и квазипроективные многообразия
    • 1.3 Абстрактные многообразия
      • 1.3.1 Существование неквазипроективных абстрактных алгебраических многообразий
  • 2 Примеры
    • 2.1 Подмногообразие
    • 2.2 Аффинное разнообразие
      • 2.2.1 Пример 1
      • 2.2.2 Пример 2
      • 2.2.3 Пример 3
    • 2.3 Проективное разнообразие
      • 2.3.1 Пример 1
      • 2.3.2 Пример 2
    • 2.4 Неаффинный и непроективный пример
  • 3 Основные результаты
  • 4 Изоморфизм алгебраических многообразий
  • 5 Обсуждение и обобщения
  • 6 Алгебраические многообразия
  • 7 См. Также
  • 8 Сноски
  • 9 Ссылки

Обзор и определения

Аффинное разнообразие над алгебраически замкнутым полем концептуально является самым простым типом разнообразия для определения, что и будет сделано в этом разделе. Далее аналогичным образом можно определить проективные и квазипроективные многообразия. Наиболее общее определение многообразия получается путем склеивания меньших квазипроективных многообразий. Не очевидно, что таким образом можно построить действительно новые образцы разновидностей, но Нагата привел пример такой новой разновидности в 1950-х годах.

Аффинные многообразия

Для алгебраически замкнутого поля K и натурального числа n, пусть A будет аффинным n-пространством над K. Многочлены f в кольце K [x 1,..., x n ] можно рассматривать как K-значные функции на A путем оценки f в точках в A, т. е. путем выбора значений в K для каждого x i. Для каждого набора S многочленов в K [x 1,..., x n ] определите геометрическое место нулей Z (S) как набор точек в A, на котором функции из S одновременно обращаются в нуль, то есть

Z (S) = {x ∈ A n ∣ f (x) = 0 для всех f ∈ S}. {\ Displaystyle Z (S) = \ left \ {x \ in \ mathbf {A} ^ {n} \ mid f (x) = 0 {\ text {для всех}} f \ in S \ right \}.}Z (S) = \ left \ {x \ in \ mathbf {A} ^ {n} \ mid f (x) = 0 {\ text {для всех}} f \ in S \ right \}.

Подмножество V из A называется аффинным алгебраическим множеством, если V = Z (S) для некоторого S. Непустое аффинное алгебраическое множество V называется неприводимым, если его нельзя записать как объединение двух собственных алгебраических подмножеств. Неприводимое аффинное алгебраическое множество также называется аффинным многообразием . (Многие авторы используют фразу аффинное многообразие для обозначения любого аффинного алгебраического множества, неприводимого или нет)

Аффинным многообразиям можно придать естественную топологию, объявив замкнутые множества быть в точности аффинными алгебраическими множествами. Эта топология называется топологией Зарисского.

Для подмножества V в A мы определяем I (V) как идеал всех полиномиальных функций, исчезающих на V:

I ( V) = {f ∈ K [x 1,…, xn] ∣ f (x) = 0 для всех x ∈ V}. {\ displaystyle I (V) = \ left \ {f \ in K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] \ mid f (x) = 0 {\ text {для всех}} x \ in V \ right \}.}{\ displaystyle I (V) = \ left \ {f \ в K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] \ mid f (x) = 0 {\ text {для всех}} x \ in V \ right \}.}

Для любого аффинного алгебраического множества V, координатное кольцо или структурное кольцо множества V является частным кольца многочленов по этот идеал.

Проективные многообразия и квазипроективные многообразия

Пусть k - алгебраически замкнутое поле, а P - проективное n-пространство над k. Пусть f in k [x 0,..., x n ] будет однородным многочленом степени d. Определение f для точек в P в однородных координатах не является четко определенным. Однако, поскольку f однороден, это означает, что f (λx 0,..., λx n) = λ f (x 0,..., x n), имеет смысл спросить, обращается ли f в нуль в точке [x 0 :...: x n ]. Для каждого множества S однородных многочленов определите геометрическое место нулей S как множество точек в P, на которых функции из S обращаются в нуль:

Z (S) = {x ∈ P n ∣ f (x) = 0 для всех f ∈ S}. {\ Displaystyle Z (S) = \ {x \ in \ mathbf {P} ^ {n} \ mid f (x) = 0 {\ text {для всех}} f \ in S \}.}Z (S) = \ {x \ in \ mathbf {P} ^ {n} \ mid f (x) = 0 {\ text {для всех}} f \ in S \}.

A подмножество V из P называется проективным алгебраическим множеством, если V = Z (S) для некоторого S. Неприводимое проективное алгебраическое множество называется проективным многообразием .

Проективным многообразия также снабжены топологией Зарисского, объявляя все алгебраические множества замкнутыми.

Для подмножества V в P, пусть I (V) будет идеалом, порожденным всеми однородными многочленами, равными нулю на V. Для любого проективного алгебраического множества V координатное кольцо кольца V является фактором кольца многочленов по этому идеалу.

A квазипроективное многообразие является открытым подмножеством Зарисского проективного многообразия. Обратите внимание, что каждое аффинное многообразие квазипроективно. Отметим также, что дополнение алгебраического множества в аффинном многообразии является квазипроективным многообразием; в контексте аффинных многообразий такое квазипроективное многообразие обычно называют не многообразием, а конструктивным множеством.

абстрактными многообразиями

В классической алгебраической геометрии все многообразия были по определению квазипроективные многообразия, что означает, что они были открытыми подмногообразиями замкнутых подмногообразий проективного пространства. Например, в главе 1 Хартсхорна многообразие над алгебраически замкнутым полем определяется как квазипроективное многообразие, но начиная с главы 2 и далее термин разнообразие (также называемый абстрактное разнообразие ) относится к более общему объекту, который локально является квазипроективным разнообразием, но при рассмотрении в целом не обязательно является квазипроективным; т.е. он может не иметь вложения в проективное пространство. Итак, классически определение алгебраического многообразия требовало вложения в проективное пространство, и это вложение использовалось для определения топологии на многообразии и регулярных функций на многообразии. Недостатком такого определения является то, что не все разновидности имеют естественные вложения в проективное пространство. Например, согласно этому определению продукт P× Pне является разновидностью, пока он не вложен в проективное пространство; обычно это делается с помощью встраивания Сегре. Однако любое многообразие, допускающее одно вложение в проективное пространство, допускает множество других, составляя вложение с вложением Веронезе. Следовательно, многие понятия, которые должны быть внутренними, такие как концепция регулярной функции, не являются очевидными.

Самая ранняя успешная попытка абстрактного определения алгебраического многообразия без вложения была сделана Андре Вейлем. В его Основах алгебраической геометрии Вейль определил абстрактное алгебраическое многообразие, используя оценки. Клод Шевалле дал определение схемы , которая служила той же цели, но была более общей. Однако определение схемы, данное Александром Гротендиком, является еще более общим и получило самое широкое признание. На языке Гротендика абстрактное алгебраическое многообразие обычно определяется как интегральная, разделенная схема конечного типа над алгебраически замкнутым полем, хотя некоторые авторы опускают неприводимости, или редуцируемости, или условию отделенности, или допускать, чтобы лежащее в основе поле не было алгебраически замкнутым. Классические алгебраические многообразия - это квазипроективные интегральные разделенные схемы конечного типа над алгебраически замкнутым полем.

Существование неквазипроективных абстрактных алгебраических многообразий

Один из первых примеров неквазипроективного алгебраического многообразия дал Нагата. Пример Нагаты не был полным (аналог компактности), но вскоре после этого он обнаружил алгебраическую поверхность, которая была полной и непроективной. С тех пор были найдены и другие примеры.

Примеры

Подмножество

A Подмножество - это подмножество разнообразия, которое само по себе является разновидностью (в отношении структуры, вызванной окружающим разнообразием). Например, каждое открытое подмножество разнообразия - это разнообразие. См. Также закрытое погружение.

Nullstellensatz Гильберта говорит, что замкнутые подмногообразия аффинного или проективного многообразия находятся во взаимно однозначном соответствии с первичными идеалами или однородными первичными идеалами координатного кольца этого многообразия.

Аффинное разнообразие

Пример 1

Пусть k = C, и A будет двумерным аффинным пробел над C . Полиномы в кольце C [x, y] можно рассматривать как комплексные функции на A, вычисляя их в точках в A . Пусть подмножество S из C [x, y] содержит единственный элемент f (x, y):

f (x, y) = x + y - 1. {\ displaystyle f (x, y) = x + y-1.}f(x,y)=x+y-1.

Геометрическое положение нулей f (x, y) - это множество точек в A, на которых эта функция обращается в нуль: это множество всех пар комплексных чисел (x, y) таких, что y = 1 - x. Это называется линией на аффинной плоскости. (В классической топологии, исходящей из топологии комплексных чисел, комплексная прямая - это вещественное многообразие размерности два.) Это множество Z (f):

Z (f) = { (x, 1 - x) ∈ C 2}. {\ displaystyle Z (f) = \ {(x, 1-x) \ in \ mathbf {C} ^ {2} \}.}Z (f) = \ {(x, 1-x) \ in \ mathbf {C} ^ {2} \}.

Таким образом, подмножество V = Z (f) из A - это алгебраическое множество. Множество V не пусто. Оно неприводимо, так как не может быть записано как объединение двух собственных алгебраических подмножеств. Таким образом, это аффинное алгебраическое многообразие.

Пример 2

Пусть k = C, а A будет двумерным аффинным пространством над C . Полиномы в кольце C [x, y] можно рассматривать как комплексные функции на A, вычисляя их в точках в A . Пусть подмножество S из C [x, y] содержит единственный элемент g (x, y):

g (x, y) = x 2 + y 2 - 1. {\ displaystyle g ( x, y) = x ^ {2} + y ^ {2} -1.}g ( x, y) = x ^ {2} + y ^ {2} -1.

Геометрическое положение нулей g (x, y) - это множество точек в A, на которых это функция обращается в нуль, то есть множество точек (x, y) таких, что x + y = 1. Поскольку g (x, y) является абсолютно неприводимым полиномом, это алгебраическое многообразие. Набор его реальных точек (то есть точек, для которых x и y - действительные числа) известен как единичный круг ; это название также часто дают всему разнообразию.

Пример 3

Следующий пример не является ни гиперповерхностью, ни линейным пространством, ни отдельной точкой. Пусть A будет трехмерным аффинным пространством над C . Множество точек (x, x, x) для x в C является алгебраическим многообразием, а точнее алгебраической кривой, не содержащейся ни в какой плоскости. Это витая кубическая, показанная на рисунке выше. Это может быть определено уравнениями

y - x 2 = 0 z - x 3 = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} yx ^ {2} = 0 \\ zx ^ {3} = 0 \ end {align}}}{\ begin {выравнивается} yx ^ {2} = 0 \\ zx ^ {3} = 0 \ end { выровнено}}

Неприводимость этого алгебраического множества требует доказательства. Один из подходов в этом случае - проверить, что проекция (x, y, z) → (x, y) инъективна на множестве решений и что ее образ является неприводимой плоской кривой.

Для более сложных примеров всегда может быть дано аналогичное доказательство, но может потребоваться сложное вычисление: сначала вычисление по базису Грёбнера для вычисления размерности, а затем случайная линейная замена переменных (не всегда нужен); затем вычисление базиса Грёбнера для другого мономиального упорядочения, чтобы вычислить проекцию и доказать, что она в общем инъективна и что ее изображение является гиперповерхностью и, наконец, полиномиальная факторизация, чтобы доказать неприводимость изображения.

Проективное многообразие

A проективное многообразие - замкнутое подмногообразие проективного пространства. То есть это нулевое геометрическое место набора однородных многочленов, которые порождают простой идеал.

Пример 1

Кривая аффинной плоскости y = x - x. Соответствующая проективная кривая называется эллиптической кривой.

Плоская проективная кривая - это геометрическое место нулей неприводимого однородного многочлена от трех неопределенностей. Проективная линия Pявляется примером проективной кривой; ее можно рассматривать как кривую на проективной плоскости P = {[x, y, z]}, определяемую x = 0. В качестве другого примера сначала рассмотрим аффинную кубическую кривую

y 2 = х 3 - х. {\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -x.}{ \ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -x.}

в двумерном аффинном пространстве (над полем характеристики, отличной от двух). Ему соответствует кубическое однородное полиномиальное уравнение:

y 2 z = x 3 - xz 2, {\ displaystyle y ^ {2} z = x ^ {3} -xz ^ {2},}{\ displaystyle y ^ {2} z = x ^ {3} -xz ^ {2},}

которое определяет кривая в P называется эллиптической кривой. Кривая имеет род один (формула рода ); в частности, она не изоморфна проективной прямой P, которая имеет нулевой род. Использование рода для различения кривых очень просто: фактически, род является первым инвариантом, который используется для классификации кривых (см. Также построение модулей алгебраических кривых ).

Пример 2

Пусть V - конечномерное векторное пространство. Грассманово многообразие Gn(V) - это множество всех n-мерных подпространств в V. Это проективное многообразие: оно вкладывается в проективное пространство посредством вложения Плюккера :

{G n (V) ↪ P (∧ N V) ⟨b 1,…, bn⟩ ↦ [b 1 ∧ ⋯ ∧ bn] {\ displaystyle {\ begin {cases} G_ {n} (V) \ hookrightarrow \ mathbf {P} \ left (\ wedge ^ {n} V \ right) \\\ langle b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \ rangle \ mapsto [b_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge b_ {n}] \ end {case}}}{\ displaystyle {\ begin {cases} G_ {n} ( V) \ hookrightarrow \ mathbf {P} \ left (\ wedge ^ {n} V \ right) \\\ langle b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \ rangle \ mapsto [b_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge b_ {n}] \ end {ases}}

где b i - любой набор линейно независимых векторов в V, ∧ n V {\ displaystyle \ wedge ^ {n} V}\ wedge ^ {n} V - n-я внешняя степень числа V, а скобка [w] означает линию, натянутую на ненулевой вектор w.

Грассманово многообразие имеет естественное векторное расслоение (или локально свободный пучок в другой терминологии), называемое тавтологическим расслоением, что важно при изучении характеристических классов, таких как классы Черна.

Неаффинный и непроективный пример

Алгебраическое многообразие не может быть ни аффинным, ни проективным. В качестве примера пусть X = P× Aи p: X → A проекция. Это алгебраическое многообразие, поскольку оно является продуктом многообразий. Это не аффинно, поскольку P - замкнутое подмногообразие X (как нулевое множество p), но аффинное многообразие не может содержать проективное многообразие положительной размерности как замкнутое подмногообразие. Она также не проективна, поскольку на X существует непостоянная регулярная функция ; а именно, стр.

Другим примером неаффинного непроективного многообразия является X = A - (0, 0) (см. морфизм разновидностей # Примеры.)

Основные результаты

  • Аффинное алгебраическое множество V является многообразием тогда и только тогда, когда I (V) является простым идеалом ; эквивалентно, V является многообразием тогда и только тогда, когда его координатное кольцо является областью целостности.
  • Каждое непустое аффинное алгебраическое множество может быть однозначно записано как конечное объединение алгебраических многообразий (где ни одно из многообразий в разложении не является подмножество любого другого).
  • Размер разновидности может быть определен различными эквивалентными способами. Подробнее см. Размерность алгебраического многообразия.
  • Произведение конечного числа алгебраических многообразий (над алгебраически замкнутым полем) является алгебраическим многообразием.

Изоморфизм алгебраических многообразий

Пусть V 1, V 2 - алгебраические многообразия. Мы говорим, что V 1 и V 2 изоморфны, и пишем V 1 ≅ V 2, если там являются регулярными отображениями φ: V 1 → V 2 и ψ: V 2 → V 1 такие, что композиции ψ ∘ φ и φ ∘ ψ являются тождественными отображениями на V 1 и V 2 соответственно.

Обсуждение и обобщения

Приведенные выше основные определения и факты позволяют заниматься классической алгебраической геометрией. Чтобы иметь возможность делать больше - например, иметь дело с разновидностями над полями, которые не алгебраически замкнуты - требуются некоторые фундаментальные изменения. Современное понятие многообразия значительно более абстрактно, чем приведенное выше, хотя и эквивалентно в случае многообразий над алгебраически замкнутыми полями. Абстрактное алгебраическое многообразие - это особый вид схемы; Обобщение схем с геометрической стороны позволяет расширить соответствие, описанное выше, на более широкий класс колец. Схема - это локально окольцованное пространство, такое, что каждая точка имеет окрестность, которая, как локально окольцованное пространство, изоморфна спектру кольца. По сути, многообразие над k - это схема, структурный пучок которой является пучком k-алгебр со свойством, что все кольца R, которые встречаются выше, являются областями целостности и все являются конечно порожденными k-алгебрами, то есть они являются факторами полиномиальных алгебр по простым идеалам.

. Это определение работает над любым полем k. Он позволяет склеивать аффинные многообразия (вдоль общих открытых множеств), не беспокоясь о том, можно ли поместить полученный объект в какое-то проективное пространство. Это также приводит к трудностям, поскольку можно ввести несколько патологические объекты, например аффинная линия с нулем удвоена. Такие объекты обычно не считаются разновидностями и исключаются путем требования разделения схем, лежащих в основе разновидности. (Строго говоря, существует также третье условие, а именно, что в приведенном выше определении требуется только конечное число аффинных фрагментов.)

Некоторые современные исследователи также снимают ограничение на разнообразие, имеющее область целостности аффинных карт, и, говоря о разнообразии, требуется только, чтобы аффинные карты имели тривиальное нильрадикальное.

A полное разнообразие - это такое разнообразие, что любая карта из открытого подмножества неособой кривой в нее можно однозначно продолжить на всю кривую. Всякое проективное многообразие полно, но не наоборот.

Эти разновидности были названы "разновидностями в смысле Серра", поскольку для них была написана основополагающая статья Серра FAC о когомологиях пучков. Они остаются типичными объектами для начала изучения алгебраической геометрии, даже если более общие объекты также используются во вспомогательных целях.

Один из способов, который ведет к обобщениям, - разрешить приводимые алгебраические множества (и поля k, которые не являются алгебраически замкнутыми), поэтому кольца R могут не быть областями целостности. Более существенная модификация состоит в том, чтобы разрешить нильпотенты в связке колец, то есть кольца, которые не уменьшены . Это одно из нескольких обобщений классической алгебраической геометрии, встроенных в теорию схем Гротендика.

Разрешение нильпотентных элементов в кольцах связано с отслеживанием «множественности» в алгебраической геометрии. Например, замкнутая подсхема аффинной линии, определяемая x = 0, отличается от подсхемы, определенной x = 0 (начало координат). В более общем смысле, слой морфизма схем X → Y в точке Y может не уменьшаться, даже если X и Y уменьшены. С геометрической точки зрения это говорит о том, что слои хороших отображений могут иметь нетривиальную «бесконечно малую» структуру.

Существуют и другие обобщения, называемые алгебраическими пространствами и стеками.

Алгебраические многообразия

Алгебраическое многообразие - это алгебраическое многообразие, которое также является m-мерным многообразием., а значит, любой достаточно маленький локальный фрагмент изоморфен k. Эквивалентно многообразие гладкое (без особых точек). Когда k - действительные числа, R, алгебраические многообразия называются многообразиями Нэша. Алгебраические многообразия можно определить как нулевое множество конечного набора аналитических алгебраических функций. Проективные алгебраические многообразия являются эквивалентным определением для проективных многообразий. Сфера Римана является одним из примеров.

См. Также

Сноски

Список литературы

В этой статье использован материал из Изоморфизм многообразий на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

Последняя правка сделана 2021-06-10 22:36:01
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте