В математической физике, n-мерное пространство де Ситтера (часто сокращенно dS n) - это максимально симметричное лоренцево многообразие с постоянной положительной скалярной кривизной. Это лоренцев аналог n-сферы (с его канонической римановой метрикой ).
Основное применение пространства де Ситтера - его использование в общей теории относительности, где оно служит одной из простейших математических моделей Вселенной, согласующихся с наблюдаемым ускоряющимся расширением вселенная. В частности, пространство де Ситтера является максимально симметричным вакуумным решением уравнений поля Эйнштейна с положительной космологической постоянной (соответствует положительной плотности энергии вакуума и отрицательному давлению). Существует космологическое свидетельство того, что сама Вселенная асимптотически де Ситтер - см. вселенная де Ситтера.
пространство де Ситтера и пространство анти-де Ситтера названы в честь Виллема де Ситтера (1872–1934), профессор астрономии Лейденского университета и директор Лейденской обсерватории. Виллем де Ситтер и Альберт Эйнштейн тесно сотрудничали в Лейдене в 1920-х годах над пространственно-временной структурой нашей Вселенной. Пространство де Ситтера было независимо открыто примерно в то же время Туллио Леви-Чивита.
Содержание
- 1 Определение
- 2 Свойства
- 3 Статические координаты
- 4 Плоское сечение
- 5 Открытая нарезка
- 6 Закрытая нарезка
- 7 Нарезка dS
- 8 См. Также
- 9 Ссылки
- 10 Дополнительная литература
- 11 Внешние ссылки
Определение
Пространство де Ситтера можно определить как подмногообразие обобщенного пространства Минковского одного более высокого измерения. Возьмем пространство Минковского R со стандартной метрикой :
пространство де Ситтера является подмногообразием описывается гиперболоидом одного листа
где - некоторая ненулевая константа с размерами длины. Метрика на пространстве де Ситтера - это метрика, индуцированная внешней метрикой Минковского. Индуцированная метрика невырожденная и имеет лоренцеву сигнатуру. (Обратите внимание, что если заменить на в приведенном выше определении получается гиперболоид из двух листов. Индуцированная метрика в этом случае является положительно определенным, и каждый лист является копией гиперболического n- пространство. Подробное доказательство см. в геометрии пространства Минковского.)
пространство де Ситтера также может быть определено как фактор O (1, n) / O (1, n - 1) двух неопределенных ортогональных групп, что показывает, что это нериманово симметрическое пространство.
Топологически пространство де Ситтера R × S (так что если n ≥ 3, то пространство де Ситтера односвязно ).
Свойства
группа изометрии пространства де Ситтера - это группа Лоренца O (1, n). Таким образом, метрика имеет n (n + 1) / 2 независимых векторных полей Киллинга и является максимально симметричной. Каждое максимально симметричное пространство имеет постоянную кривизну. Тензор кривизны Римана де Ситтера определяется выражением
пространство де Ситтера является многообразием Эйнштейна, поскольку тензор Риччи пропорционален метрике:
Это означает пространство де Ситтера является вакуумным решением уравнения Эйнштейна с космологической постоянной, заданной как
скалярная кривизна пространства де Ситтера равна задается формулой
Для случая n = 4 имеем Λ = 3 / α и R = 4Λ = 12 / α.
Статические координаты
Мы можем ввести статические координаты для де Ситтера:
где дает стандартное вложение (n - 2) -сферы в R . В этих координатах метрика де Ситтера принимает вид:
Обратите внимание, что существует космологический горизонт в .
Плоское сечение
Пусть
где . Затем в метрике координат отображается:
где - плоская метрика на .
Настройка , получаем конформно плоскую метрику:
Открытая нарезка
Пусть
где образуя со стандартной метрикой . Тогда метрика пространства де Ситтера имеет вид
где
- стандартная гиперболическая метрика.
Закрытая нарезка
Пусть
где s описывает . Тогда метрика выглядит так:
Изменение временной переменной на конформное время с помощью мы получаем метрику, конформно эквивалентную статической вселенной Эйнштейна:
Это позволяет найти диаграмму Пенроуза пространства де Ситтера.
dS-срез
Пусть
где s описывают . Тогда метрика выглядит так:
где
- метрика размерного Пространство де Ситтера с радиусом кривизны в открытых координатах среза. Гиперболическая метрика определяется выражением:
Это аналитическое продолжение открытых координат среза под , а также переключение и , потому что они меняют свою времениподобную / пространственноподобную природу.
См. Также
Ссылки
Дополнительная литература
- Qingming Cheng (2001) [1994], Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- Nomizu, Katsumi (1982), «Метрика Лоренца – Пуанкаре на верхней половине - пространство и его расширение ", 11 (3): 253–261, doi : 10.14492 / hokmj / 1381757803
- Coxeter, HSM (1943), «Геометрический фон для мира де Ситтера», American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 50 (4): 217–228, doi : 10.2307 / 2303924, JSTOR 2303924
- Susskind, L.; Линдесей, Дж. (2005), Введение в черные дыры, информация и революция теории струн: голографическая Вселенная, стр. 119 (11.5.25)
Внешние ссылки
- Упрощенное руководство по пространствам де Ситтера и анти-де Ситтеру Педагогическое введение в пространства де Ситтера и анти-де Ситтера. Основная статья упрощена, почти без математики. Приложение носит технический характер и предназначено для читателей с физическим или математическим образованием.