пространство Ситтера - de Sitter space

редактировать

В математической физике, n-мерное пространство де Ситтера (часто сокращенно dS n) - это максимально симметричное лоренцево многообразие с постоянной положительной скалярной кривизной. Это лоренцев аналог n-сферы (с его канонической римановой метрикой ).

Основное применение пространства де Ситтера - его использование в общей теории относительности, где оно служит одной из простейших математических моделей Вселенной, согласующихся с наблюдаемым ускоряющимся расширением вселенная. В частности, пространство де Ситтера является максимально симметричным вакуумным решением уравнений поля Эйнштейна с положительной космологической постоянной Λ {\ displaystyle \ Lambda}\ Lambda (соответствует положительной плотности энергии вакуума и отрицательному давлению). Существует космологическое свидетельство того, что сама Вселенная асимптотически де Ситтер - см. вселенная де Ситтера.

пространство де Ситтера и пространство анти-де Ситтера названы в честь Виллема де Ситтера (1872–1934), профессор астрономии Лейденского университета и директор Лейденской обсерватории. Виллем де Ситтер и Альберт Эйнштейн тесно сотрудничали в Лейдене в 1920-х годах над пространственно-временной структурой нашей Вселенной. Пространство де Ситтера было независимо открыто примерно в то же время Туллио Леви-Чивита.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Свойства
  • 3 Статические координаты
  • 4 Плоское сечение
  • 5 Открытая нарезка
  • 6 Закрытая нарезка
  • 7 Нарезка dS
  • 8 См. Также
  • 9 Ссылки
  • 10 Дополнительная литература
  • 11 Внешние ссылки

Определение

Пространство де Ситтера можно определить как подмногообразие обобщенного пространства Минковского одного более высокого измерения. Возьмем пространство Минковского R со стандартной метрикой :

d s 2 = - d x 0 2 + ∑ i = 1 n d x i 2. {\ displaystyle ds ^ {2} = - dx_ {0} ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} dx_ {i} ^ {2}.}ds ^ {2} = - dx_ {0} ^ {2} + \ sum _ {{i = 1}} ^ {n } dx_ {i} ^ {2}.

пространство де Ситтера является подмногообразием описывается гиперболоидом одного листа

- x 0 2 + ∑ i = 1 nxi 2 = α 2 {\ displaystyle -x_ {0} ^ {2} + \ sum _ {i = 1 } ^ {n} x_ {i} ^ {2} = \ alpha ^ {2}}-x_ {0 } ^ {2} + \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} ^ {2} = \ alpha ^ {2}

где α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha - некоторая ненулевая константа с размерами длины. Метрика на пространстве де Ситтера - это метрика, индуцированная внешней метрикой Минковского. Индуцированная метрика невырожденная и имеет лоренцеву сигнатуру. (Обратите внимание, что если заменить α 2 {\ displaystyle \ alpha ^ {2}}\ alpha ^ {2} на - α 2 {\ displaystyle - \ alpha ^ {2}}- \ alpha ^ {2} в приведенном выше определении получается гиперболоид из двух листов. Индуцированная метрика в этом случае является положительно определенным, и каждый лист является копией гиперболического n- пространство. Подробное доказательство см. в геометрии пространства Минковского.)

пространство де Ситтера также может быть определено как фактор O (1, n) / O (1, n - 1) двух неопределенных ортогональных групп, что показывает, что это нериманово симметрическое пространство.

Топологически пространство де Ситтера R × S (так что если n ≥ 3, то пространство де Ситтера односвязно ).

Свойства

группа изометрии пространства де Ситтера - это группа Лоренца O (1, n). Таким образом, метрика имеет n (n + 1) / 2 независимых векторных полей Киллинга и является максимально симметричной. Каждое максимально симметричное пространство имеет постоянную кривизну. Тензор кривизны Римана де Ситтера определяется выражением

R ρ σ μ ν = 1 α 2 (g ρ μ g σ ν - g ρ ν g σ μ). {\ Displaystyle R _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} = {1 \ over \ alpha ^ {2}} (g _ {\ rho \ mu} g _ {\ sigma \ nu} -g _ {\ rho \ nu} g_ {\ sigma \ mu}).}{\ displaystyle R _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} = {1 \ over \ alpha ^ {2}} (g _ {\ rho \ mu} g _ {\ sigma \ nu} -g _ {\ rho \ nu} g _ {\ sigma \ mu }).}

пространство де Ситтера является многообразием Эйнштейна, поскольку тензор Риччи пропорционален метрике:

R μ ν = n - 1 α 2 g μ ν {\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} = {\ frac {n-1} {\ alpha ^ {2}}} g _ {\ mu \ nu}}R _ {{\ mu \ nu}} = {\ frac {n-1} {\ alpha ^ {2}}} g _ {{\ mu \ nu}}

Это означает пространство де Ситтера является вакуумным решением уравнения Эйнштейна с космологической постоянной, заданной как

Λ = (n - 1) (n - 2) 2 α 2. {\ displaystyle \ Lambda = {\ frac {(n-1) (n-2)} {2 \ alpha ^ {2}}}.}\ Lambda = {\ frac {(n -1) (n-2)} {2 \ alpha ^ {2}}}.

скалярная кривизна пространства де Ситтера равна задается формулой

R = n (n - 1) α 2 = 2 nn - 2 Λ. {\ displaystyle R = {\ frac {n (n-1)} {\ alpha ^ {2}}} = {\ frac {2n} {n-2}} \ Lambda.}R = {\ frac {n (n-1)} {\ alpha ^ {2}}} = {\ frac {2n} {n-2}} \ Lambda.

Для случая n = 4 имеем Λ = 3 / α и R = 4Λ = 12 / α.

Статические координаты

Мы можем ввести статические координаты (t, r,…) {\ displaystyle (t, r, \ ldots)}(t, r, \ ldots) для де Ситтера:

x 0 = α 2 - r 2 sinh ⁡ (t / α) {\ displaystyle x_ {0} = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} -r ^ {2 }}} \ зп (т / \ альфа)}x_ { 0} = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} -r ^ {2}}} \ sinh (t / \ alpha)
х 1 = альфа 2 - р 2 ш ⁡ (т / альфа) {\ displaystyle x_ {1} = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} -r ^ {2}}} \ ch (t / \ alpha)}x_ {1} = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} - r ^ {2}}} \ cosh (t / \ alpha)
xi = rzi 2 ≤ i ≤ n. {\ displaystyle x_ {i} = rz_ {i} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad 2 \ leq i \ leq n.}x_ { i} = rz_ {i} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad 2 \ leq i \ leq n.

где zi {\ displaystyle z_ {i}}z_ {i} дает стандартное вложение (n - 2) -сферы в R . В этих координатах метрика де Ситтера принимает вид:

ds 2 = - (1 - r 2 α 2) dt 2 + (1 - r 2 α 2) - 1 dr 2 + r 2 d Ω n - 2 2. {\ displaystyle ds ^ {2} = - \ left (1 - {\ frac {r ^ {2}} {\ alpha ^ {2}}} \ right) dt ^ {2} + \ left (1 - {\ frac {r ^ {2}} {\ alpha ^ {2}}} \ right) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} d \ Omega _ {n-2} ^ {2}. }ds ^ {2} = - \ left (1 - {\ frac {r ^ {2}} {\ alpha ^ {2}}} \ right) dt ^ {2} + \ left (1 - {\ frac {r ^ {2}} {\ alpha ^ {2}}} \ right) ^ {{- 1}} dr ^ {2} + r ^ {2} d \ Omega _ {{n-2}} ^ {2}.

Обратите внимание, что существует космологический горизонт в r = α {\ displaystyle r = \ alpha}r = \ alpha .

Плоское сечение

Пусть

x 0 = α зп ⁡ (т / α) + р 2 эт / α / 2 α, {\ Displaystyle x_ {0} = \ альфа \ зп (т / \ альфа) + г ^ {2} е ^ {т / \ альфа} / 2 \ альфа,}x_ {0} = \ alpha \ sinh (t / \ alpha) + r ^ {2} e ^ {{t / \ alpha}} / 2 \ alpha,
Икс 1 знак равно α cosh ⁡ (t / α) - r 2 et / α / 2 α, {\ displaystyle x_ {1} = \ alpha \ cosh (t / \ alpha) -r ^ {2} е ^ {т / \ альфа} / 2 \ альфа,}x_ {1} = \ alpha \ cosh (t / \ alpha) -r ^ {2} e ^ {{t / \ alpha} } / 2 \ alpha,
xi = et / α yi, 2 ≤ i ≤ n {\ displaystyle x_ {i} = e ^ {t / \ alpha} y_ {i}, \ qquad 2 \ leq i \ leq n}x_ {i} = e ^ {{t / \ alpha}} y_ {i}, \ qquad 2 \ leq i \ leq n

где r 2 = ∑ iyi 2 {\ displaystyle r ^ {2} = \ sum _ {i} y_ {i} ^ {2} }r ^ {2} = \ sum _ {i} y_ {i} ^ {2} . Затем в метрике координат (t, yi) {\ displaystyle (t, y_ {i})}(t, y_ {i}) отображается:

ds 2 = - dt 2 + e 2 t / α dy 2 {\ displaystyle ds ^ {2} = - dt ^ {2} + e ^ {2t / \ alpha} dy ^ {2}}ds ^ {{2}} = - dt ^ {{2}} + e ^ {{2t / \ alpha}} dy ^ {{2}}

где dy 2 = ∑ idyi 2 {\ displaystyle dy ^ {2 } = \ sum _ {i} dy_ {i} ^ {2}}dy ^ {2} = \ sum _ {i} dy_ {i} ^ {2} - плоская метрика на yi {\ displaystyle y_ {i}}y_ {i} .

Настройка ζ = ζ ∞ - α e - t / α {\ displaystyle \ zeta = \ zeta _ {\ infty} - \ alpha e ^ {- t / \ alpha}}{\ displaystyle \ zeta = \ zeta _ {\ infty} - \ alpha e ^ {- t / \ alpha}} , получаем конформно плоскую метрику:

ds 2 = α 2 (ζ ∞ - ζ) 2 (dy 2 - d ζ 2) {\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {\ alpha ^ {2}} {(\ zeta _ {\ infty} - \ zeta) ^ {2}}} (dy ^ {2} -d \ zeta ^ {2})}{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {\ alpha ^ {2}} {(\ zeta _ {\ infty} - \ zeta) ^ {2}}} ( dy ^ {2} -d \ zeta ^ {2})}

Открытая нарезка

Пусть

x 0 = α sinh ⁡ (t / α) cosh ⁡ ξ, {\ displaystyle x_ {0} = \ alpha \ sinh (t / \ alpha) \ cosh \ xi,}x_ {0} = \ alpha \ sinh (t / \ alpha) \ cosh \ xi,
x 1 = α сш ⁡ (т / α), {\ Displaystyle x_ {1} = \ альфа \ сш (т / \ альфа),}x_ {1} = \ alpha \ cosh (t / \ alpha),
xi = α zi sinh ⁡ (т / α) зп ξ, 2 ≤ я ≤ n {\ displaystyle x_ {i} = \ alpha z_ {i} \ sinh (t / \ alpha) \ sinh \ xi, \ qquad 2 \ leq i \ leq n}x_ {i} = \ alpha z_ {i} \ sinh (t / \ alpha) \ sinh \ xi, \ qquad 2 \ leq i \ leq n

где ∑ izi 2 = 1 {\ displaystyle \ sum _ {i} z_ {i} ^ {2} = 1}\ sum _ {i} z_ {i} ^ {2} = 1 образуя S n - 2 {\ displaystyle S ^ {n-2}}S ^ {{n-2}} со стандартной метрикой ∑ idzi 2 = d Ω n - 2 2 {\ displaystyle \ sum _ {i} dz_ {i} ^ {2} = d \ Omega _ {n-2} ^ {2} }\ sum _ {i} dz_ {i} ^ {2} = d \ Omega _ {{n-2}} ^ {2} . Тогда метрика пространства де Ситтера имеет вид

ds 2 = - dt 2 + α 2 sinh 2 ⁡ (t / α) d H n - 1 2, {\ displaystyle ds ^ {2} = - dt ^ {2 } + \ alpha ^ {2} \ sinh ^ {2} (t / \ alpha) dH_ {n-1} ^ {2},}ds ^ { 2} = - dt ^ {2} + \ alpha ^ {2} \ sinh ^ {2} (t / \ alpha) dH _ {{n-1}} ^ {2},

где

d H n - 1 2 = d ξ 2 + зп 2 ⁡ (ξ) d Ω N - 2 2 {\ Displaystyle dH_ {n-1} ^ {2} = d \ xi ^ {2} + \ sinh ^ {2} (\ xi) d \ Omega _ {n -2} ^ {2}}{\ displaystyle dH_ {n-1} ^ { 2} = d \ xi ^ {2} + \ sinh ^ {2} (\ xi) d \ Omega _ {n-2} ^ {2}}

- стандартная гиперболическая метрика.

Закрытая нарезка

Пусть

x 0 = α sinh ⁡ (t / α), {\ displaystyle x_ {0} = \ alpha \ sinh (t / \ alpha),}x_ {0} = \ alpha \ sinh (t / \ alpha),
xi знак равно α cosh ⁡ (t / α) zi, 1 ≤ i ≤ n {\ displaystyle x_ {i} = \ alpha \ cosh (t / \ alpha) z_ {i}, \ qquad 1 \ leq i \ leq n}x_ { я} = \ альфа \ с osh (t / \ alpha) z_ {i}, \ qquad 1 \ leq i \ leq n

где zi {\ displaystyle z_ {i}}z_ {i} s описывает S n - 1 {\ displaystyle S ^ {n-1}}S ^ {{n-1}} . Тогда метрика выглядит так:

d s 2 = - d t 2 + α 2 ch 2 ⁡ (t / α) d Ω n - 1 2. {\ displaystyle ds ^ {2} = - dt ^ {2} + \ alpha ^ {2} \ cosh ^ {2} (t / \ alpha) d \ Omega _ {n-1} ^ {2}.}ds ^ {2} = - dt ^ {2} + \ alpha ^ {2} \ cosh ^ {2} (t / \ alpha) d \ Omega _ {{n- 1}} ^ {2}.

Изменение временной переменной на конформное время с помощью tan ⁡ (η / 2) = tanh ⁡ (t / 2 α) {\ displaystyle \ tan (\ eta / 2) = \ tanh (t / 2 \ alpha)}\ tan (\ eta / 2) = \ tanh (t / 2 \ alpha) мы получаем метрику, конформно эквивалентную статической вселенной Эйнштейна:

ds 2 = α 2 cos 2 ⁡ η (- d η 2 + d Ω n - 1 2). {\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {\ alpha ^ {2}} {\ cos ^ {2} \ eta}} (- d \ eta ^ {2} + d \ Omega _ {n-1} ^ {2}).}ds ^ {2} = {\ frac {\ alpha ^ {2}} {\ cos ^ {2} \ eta}} (- d \ eta ^ {2} + d \ Omega _ {{n-1}} ^ {2}).

Это позволяет найти диаграмму Пенроуза пространства де Ситтера.

dS-срез

Пусть

x 0 = α грех ⁡ (χ / α) зп ⁡ (т / α) сп ⁡ ξ, {\ Displaystyle х_ {0} = \ альфа \ грех (\ чи / \ альфа) \ зп (т / \ альфа) \ сш \ хи, }x_ {0} = \ alpha \ sin (\ chi / \ alpha) \ sinh (t / \ alpha) \ cosh \ xi,
Икс 1 знак равно α соз ⁡ (χ / α), {\ Displaystyle x_ {1} = \ альфа \ соз (\ хи / \ альфа),}x_ {1} = \ alpha \ cos (\ chi / \ alpha),
х 2 = α грех ⁡ (χ / α) сш ⁡ (т / α), {\ Displaystyle x_ {2} = \ альфа \ грех (\ хи / \ альфа) \ сш (т / \ альфа),}x_ {2} = \ alpha \ sin (\ chi / \ alpha) \ cosh (t / \ alpha),
хи = α zi грех ⁡ (χ / α) зп ⁡ (т / α) зп ⁡ ξ, 3 ≤ я ≤ n {\ Displaystyle x_ {i} = \ альфа z_ {я} \ грех (\ чи / \ альфа) \ зп (т / \ альфа) \ зп \ xi, \ qquad 3 \ leq i \ leq n}x_ {i } = \ alpha z_ {i} \ sin (\ chi / \ alpha) \ sinh (t / \ alpha) \ sinh \ xi, \ qquad 3 \ leq i \ leq n

где zi {\ displaystyle z_ {i}}z_ {i} s описывают S n - 3 {\ displaystyle S ^ {n-3}}S ^ {{n-3}} . Тогда метрика выглядит так:

ds 2 = d χ 2 + sin 2 ⁡ (χ / α) dsd S, α, n - 1 2, {\ displaystyle ds ^ {2} = d \ chi ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ chi / \ alpha) ds_ {dS, \ alpha, n-1} ^ {2},}ds ^ {2} = d \ chi ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ chi / \ alpha) ds _ {{dS, \ alpha, n-1}} ^ {2},

где

dsd S, α, n - 1 2 = - dt 2 + α 2 зп 2 ⁡ (т / α) d ЧАС N - 2 2 {\ Displaystyle ds_ {dS, \ альфа, n-1} ^ {2} = - dt ^ {2} + \ alpha ^ {2} \ sinh ^ {2} (t / \ alpha) dH_ {n-2} ^ {2}}ds _ {{dS, \ alpha, n-1}} ^ {2} = - dt ^ {2} + \ alpha ^ {2} \ sinh ^ { 2} (t / \ alpha) dH _ {{n-2}} ^ {2}

- метрика n - 1 {\ displaystyle n-1}n-1 размерного Пространство де Ситтера с радиусом кривизны α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha в открытых координатах среза. Гиперболическая метрика определяется выражением:

d H n - 2 2 = d ξ 2 + sh 2 ⁡ ξ d Ω n - 3 2. {\ displaystyle dH_ {n-2} ^ {2} = d \ xi ^ {2} + \ sinh ^ {2} \ xi d \ Omega _ {n-3} ^ {2}.}dH _ {{n-2}} ^ {2} = d \ xi ^ {2} + \ sinh ^ {2} \ xi d \ Omega _ {{n-3 }} ^ {2}.

Это аналитическое продолжение открытых координат среза под (t, ξ, θ, ϕ 1, ϕ 2, ⋯, ϕ n - 3) → (i χ, ξ, it, θ, ϕ 1, ⋯, ϕ n - 4) {\ displaystyle (t, \ xi, \ theta, \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ cdots, \ phi _ {n-3}) \ to (i \ chi, \ xi, it, \ theta, \ phi _ {1}, \ cdots, \ phi _ {n-4})}(t, \ xi, \ theta, \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ cdots, \ phi _ {{n-3}}) \ to (i \ chi, \ xi, it, \ theta, \ phi _ {1}, \ cdots, \ phi _ {{n-4}}) , а также переключение x 0 {\ displaystyle x_ {0}}x_ {0} и x 2 {\ displaystyle x_ {2}}x_ {2} , потому что они меняют свою времениподобную / пространственноподобную природу.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-17 04:44:54
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте