Самолет Минковского

редактировать

В математике самолет Минковского (названный в честь Германа Минковского ) является одним из самолеты Бенца (остальные - самолет Мёбиуса и самолет Лагерра ).

Содержание

1 Классическая реальная плоскость Минковского
2 Аксиомы плоскости Минковского
- 2.1 Минимальная модель
- 2.2 Конечные плоскости Минковского
3 Микелевы плоскости Минковского
4 См. Также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Классический реальный самолет Минковского

классический самолет Минковского: 2d / 3d-модель

Применение псевдоевклидова расстояния $d (P 1, P 2) = (x 1 ′ - x 2 ′) 2 - (y 1 ′ - y 2 ′) 2 {\ displaystyle d (P_ {1}, P_ {2}) = (x '_ {1} -x '_ {2}) ^ {2} - (y' _ {1} -y '_ {2}) ^ {2}}$ $d(P_1,P_2)=(x'_1-x'_2)^2-(y'_1-y'_2)^2$ по двум точкам $P i = (xi ′, Yi ′) {\ displaystyle P_ {i} = (x '_ {i}, y' _ {i})}$ $P_i=(x'_i,y'_i)$ (вместо евклидова расстояния) мы получаем геометрию гипербол, потому что псевдоевклидова окружность ${P ∈ R 2 | d (P, M) = r} {\ displaystyle \ {P \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ | \ d (P, M) = r \}}$ $\ {P \ in \ R ^ 2 \ | \ d (P, M) = r \}$ равно гипербола со средней точкой $M {\ displaystyle M}$ $M$ .

преобразованием координат $xi = xi ′ + yi ′ {\ displaystyle x_ {i} = x '_ {i} + y '_ {i}}$ $x_i=x'_i+y'_i$ , $yi = xi ′ - yi ′ {\ displaystyle y_ {i} = x' _ {i} -y '_ {i}}$ $y_i=x'_i-y'_i$ , псевдоевклидово расстояние можно переписать как $d (P 1, P 2) = (x 1 - x 2) (y 1 - y 2) {\ displaystyle d (P_ {1}, P_ {2}) = (x_ {1 } -x_ {2}) (y_ {1} -y_ {2})}$ $d (P_1, P_2) = (x_1-x_2) (y_1-y_2)$ . Тогда гиперболы будут иметь асимптоты, параллельные осям координат без штриховки.

Следующее пополнение (см. Плоскости Мёбиуса и Лагерра) гомогенизирует геометрию гипербол:

P: = (R ∪ {∞}) 2 = R 2 ∪ ({∞} × R) ∪ (R × {∞}) ∪ {(∞, ∞)}, ∞ ∉ R {\ displaystyle {\ mathcal {P}}: = (\ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}) ^ {2} = \ mathbb {R} ^ {2} \ cup (\ {\ infty \} \ times \ mathbb {R}) \ cup (\ mathbb {R} \ times \ {\ infty \}) \ \ cup \ {(\ infty, \ infty) \} \, \ \ infty \ notin \ mathbb {R}}

{\ mathcal P}: = (\ mathbb {R} \ cup \ {\ inft y \}) ^ {2} = \ mathbb {R} ^ {2} \ cup (\ {\ infty \} \ times \ mathbb {R}) \ cup (\ mathbb {R} \ times \ {\ infty \ }) \ \ cup \ {(\ infty, \ infty) \} \, \ \ infty \ notin \ mathbb {R}

, набор точек,

Z: = {{(x, y) ∈ R 2 | y = a x + b} ∪ {(∞, ∞)} | a, b ∈ R, a ≠ 0} {\ displaystyle {\ mathcal {Z}}: = \ {\ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ | \ y = ax + b \} \ cup \ {(\ infty, \ infty) \} \ | \ a, b \ in \ mathbb {R}, a \ neq 0 \}}

{\ mathcal Z}: = \ {\ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ | \ y = ax + b \} \ cup \ {(\ infty, \ infty) \} \ | \ a, b \ in \ mathbb {R}, a \ neq 0 \}

∪ {{(x, y) ∈ R 2 | y = a x - b + c, x ≠ b} ∪ {(b, ∞), (∞, c)} | a, b, c ∈ R, a ≠ 0}, {\ displaystyle \ cup \ {\ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ | y = {\ frac {a} {xb }} + c, x \ neq b \} \ cup \ {(b, \ infty), (\ infty, c) \} \ | \ a, b, c \ in \ mathbb {R}, a \ neq 0 \},}

\ cup \ {\ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ | y = {\ frac {a} {xb}} + c, x \ neq b \} \ cup \ {(b, \ infty), (\ infty, c) \} \ | \ a, b, c \ in \ mathbb {R}, a \ neq 0 \},

набор циклов .

структура инцидентности $(P, Z, ∈) {\ displaystyle ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}, \ in)}$ $({{\ mathcal P}}, {{ \ mathcal Z}}, \ in)$ называется классической реальной плоскостью Минковского .

. Набор точек состоит из $R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R } ^ {2}}$ $\R^2$ , две копии $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ и точка $(∞, ∞) {\ displaystyle ( \ infty, \ infty)}$ $(\ infty, \ infty)$ .

Любая строка $y = ax + b, a ≠ 0 {\ displaystyle y = ax + b, a \ neq 0}$ $y = ax + b, a \ neq 0$ завершается точкой $(∞, ∞) {\ displaystyle (\ infty, \ infty)}$ $(\ infty, \ infty)$ , любая гипербола $y = ax - b + c, a ≠ 0 {\ displaystyle y = {\ frac {a } {xb}} + c, a \ neq 0}$ $y = {\ frac {a} {xb}} + c, a \ neq 0$ двумя точками $(b, ∞), (∞, c) {\ displaystyle (b, \ infty), (\ infty, c)}$ $(b, \ infty), (\ infty, c)$ (см. рисунок).

Две точки $(x 1, y 1) ≠ (x 2, y 2) {\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) \ neq (x_ {2}, y_ { 2})}$ $(x_ {1}, y_ {1}) \ neq (x_ {2}, y_ {2})$ не может быть соединен циклом тогда и только тогда, когда $x 1 = x 2 {\ displaystyle x_ {1} = x_ {2}}$ $x_ {1} = x_ {2}$ или $y 1 = y 2 {\ displaystyle y_ {1} = y_ {2}}$ $y_ {1} = y_ {2}$ .

Мы определяем: две точки $P 1, P 2 {\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$ $P_ {1}, P_ {2 }$ являются (+) - параллельными ( $P 1 ∥ + P 2 {\ displaystyle P_ {1} \ parallel _ {+} P_ {2}}$ $P_ {1} \ parallel _ {+} P_ {2}$ ), если $x 1 = x 2 {\ displaystyle x_ {1} = x_ {2}}$ $x_ {1} = x_ {2}$ и (-) - параллельно ( $P 1 ∥ - P 2 {\ displaystyle P_ {1} \ parallel _ {-} P_ {2}}$ $P_ {1} \ parallel _ {-} P_ {2}$ ), если $y 1 = y 2 {\ displaystyle y_ {1} = y_ {2}}$ $y_ {1} = y_ {2}$ .. Оба эти отношения являются отношениями эквивалентности на множестве точек.

Две точки $P 1, P 2 {\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$ $P_ {1}, P_ {2 }$ называются параллельными ( $P 1 ∥ P 2 {\ displaystyle P_ {1} \ parallel P_ {2}}$ $P_ {1} \ parallel P_ {2}$ ) если $P 1 ∥ + P 2 {\ displaystyle P_ {1} \ parallel _ {+} P_ {2 }}$ $P_ {1} \ parallel _ {+} P_ {2}$ или $P 1 ∥ - P 2 {\ displaystyle P_ {1} \ parallel _ {-} P_ {2}}$ $P_ {1} \ parallel _ {-} P_ {2}$ .

Из определения выше мы находим:

Лемма :

Для любой пары непараллельных точек $A, B {\ displaystyle A, B}$ $A, B$ существует ровно одна точка $C {\ displaystyle C}$ $C$ с $A ∥ + C ∥ - B {\ displaystyle A \ parallel _ {+} C \ parallel _ {-} B}$ $A \ parallel _ {+} C \ parallel _ {-} B$ .
для любой точки $P {\ displaystyle P}$ $P$ и любой цикл $z {\ displaystyle z}$ $z$ существует ровно две точки $A, B ∈ z {\ displaystyle A, B \ in z}$ $A, B \ in z$ с $A ∥ + P ∥ - B {\ displaystyle A \ parallel _ {+} P \ parallel _ {-} B}$ $A \ parallel _ {+} P \ parallel _ {-} B$ .
Для любых трех точек $A {\ displaystyle A}$ $A$ , $B {\ displaystyle B}$ $B$ , $C {\ displaystyle C}$ $C$ , попарно непараллельно, существует ровно один цикл $z {\ отображается tyle z}$ $z$ , который содержит $A, B, C {\ displaystyle A, B, C}$ $A, B, C$ .
Для любого цикла $z {\ displaystyle z}$ $z$ , любая точка $P ∈ z {\ displaystyle P \ in z}$ $P \ in z$ и любая точка $Q, P ∦ Q {\ displaystyle Q, P \ not \ parallel Q}$ $Q, P \ not \ parallel Q$ и $Q ∉ z {\ displaystyle Q \ notin z}$ $Q \ notin z$ существует ровно один цикл $z ′ {\ displaystyle z '}$ $z'$ такой, что $z ∩ Z ′ = {P} {\ displaystyle z \ cap z '= \ {P \}}$ $z\cap z'=\{P\}$ , то есть $z {\ displaystyle z}$ $z$ касается $z ′ {\ Displaystyle z '}$ $z'$ в точке P.

Подобно классическим плоскостям Мёбиуса и Лагерра, плоскости Минковского можно описать как геометрию плоских сечений подходящей квадрики. Но в этом случае квадрика живет в проективном 3-пространстве: классическая вещественная плоскость Минковского изоморфна геометрии плоских сечений гиперболоида одного листа (невырожденная квадрика индекса 2).

Аксиомы плоскости Минковского

Пусть $(P, Z; ∥ +, ∥ -, ∈) {\ displaystyle \ left ({\ mathcal {P}}, { \ mathcal {Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in \ right)}$ $\ left ({{\ mathcal P}}, {{\ mathcal Z}} ; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in \ right)$ - структура инцидентности с набором $P {\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ точек, множество $Z {\ displaystyle {\ mathcal {Z}}}$ ${\ mathcal Z}$ циклов и два отношения эквивалентности $∥ + {\ displaystyle \ parallel _ {+}}$ $\ parallel _ {+}$ ((+) - параллельно) и $∥ - {\ displaystyle \ parallel _ {-}}$ $\ parallel _ {-}$ ((-) - параллельно) на множестве $P {\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ . Для $P ∈ P {\ displaystyle P \ in {\ mathcal {P}}}$ $P \ in {\ mathcal P }$ мы определяем: $P ¯ +: = {Q ∈ P | Q ∥ + P} {\ displaystyle {\ overline {P}} _ {+}: = \ left \ {\ left.Q \ in {\ mathcal {P}} \ \ right | \ Q \ parallel _ {+} P \ right \}}$ $\ overline {P} _ {+}: = \ left \ {\ left.Q \ in {\ mathcal P} \ \ right | \ Q \ parallel _ {+} P \ right \}$ и $P ¯ -: = {Q ∈ P | Q ∥ - P} {\ displaystyle {\ overline {P}} _ {-}: = \ left \ {\ left.Q \ in {\ mathcal {P}} \ \ right | \ Q \ parallel _ {-} P \ right \}}$ $\ overline {P} _ {-}: = \ left \ {\ left.Q \ in {\ mathcal P} \ \ right | \ Q \ parallel _ {-} P \ right \}$ . Класс эквивалентности $P ¯ + {\ displaystyle {\ overline {P}} _ {+}}$ $\ overline {P} _ {+}$ или $P ¯ - {\ displaystyle {\ overline {P}} _ {- }}$ $\ overline {P} _ {-}$ называется (+) - генератор и (-) - генератор соответственно. (Для космической модели классической плоскости Минковского образующей является линия на гиперболоиде.). Две точки $A, B {\ displaystyle A, B}$ $A, B$ называются параллельными ( $A ∥ B {\ displaystyle A \ parallel B}$ $A \ parallel B$ ), если $A ∥ + B {\ displaystyle A \ parallel _ {+} B}$ $A \ parallel _ {+} B$ или $A ∥ - B {\ displaystyle A \ parallel _ {-} B}$ $A \ parallel _ {-} B$ .

Структура инцидентности $M: = (P, Z; ∥ +, ∥ -, ∈) {\ displaystyle { \ mathfrak {M}}: = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in)}$ ${{\ mathfrak M}}: = ({{\ mathcal P}}, {{\ mathcal Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in)$ называется плоскостью Минковского, если выполняются следующие аксиомы:.

аксиомы Минковского-c1-c2

аксиомы Минковского-c3-c4

C1: для любой пары непараллельных точек $A, B {\ displaystyle A, B}$ $A, B$ есть ровно одна точка $C {\ displaystyle C}$ $C$ с $A ∥ + C ∥ - B {\ displaystyle A \ parallel _ {+} C \ parallel _ {-} B}$ $A \ parallel _ {+} C \ parallel _ {-} B$ .
C2: для любой точки $P {\ displaystyle P}$ $P$ и любого цикла $z {\ displaystyle z}$ $z$ ровно две точки $A, B ∈ z {\ displaystyle A, B \ in z}$ $A, B \ in z$ с $A ∥ + P ∥ - B {\ displaystyle A \ parallel _ {+} P \ parallel _ {-} B}$ $A \ parallel _ {+} P \ parallel _ {-} B$ .
C3: для любого три точки $A, B, C {\ displaystyle A, B, C}$ $A, B, C$ , попарно непараллельные, существует ровно один цикл $z {\ displaystyle z}$ $z$ который содержит $A, B, C {\ displaystyle A, B, C}$ $A, B, C$ .
C4: для любого цикла $z {\ displaystyle z}$ $z$ , любая точка $P ∈ z {\ displaystyle P \ in z}$ $P \ in z$ и любая точка $Q, P ∦ Q {\ displaystyle Q, P \ not \ parallel Q}$ $Q, P \ not \ parallel Q$ и $Q ∉ z {\ displaystyle Q \ notin z}$ $Q \ notin z$ существует ровно один цикл $z ′ {\ displaystyle z '}$ $z'$ такой, что $z ∩ z ′ = {P} { \ displaystyle z \ cap z '= \ {P \}}$ $z\cap z'=\{P\}$ , т.е. $z {\ displaystyle z}$ $z$ касается $z ′ {\ displaystyle z'}$ $z'$ в точке $P {\ displaystyle P}$ $P$ .
C5: любой цикл содержит не менее 3 точек. Есть по крайней мере один цикл $z {\ displaystyle z}$ $z$ и точка $P {\ displaystyle P}$ $P$ не в $z {\ displaystyle z}$ $z$ .

Для исследований полезны следующие утверждения о параллельных классах (эквивалентные C1, C2 соответственно).

C1 ′ : для любых двух точек

A, B {\ displaystyle A, B}

A, B

мы имеем

| A ¯ + ∩ B ¯ - | = 1 {\ displaystyle \ left | {\ overline {A}} _ {+} \ cap {\ overline {B}} _ {-} \ right | = 1}

\ left | \ overline {A} _ {+} \ cap \ над чертой {B} _ {-} \ right | = 1

C2 ′ : для любой точки

P {\ displaystyle P}

P

и любой цикл

z {\ displaystyle z}

z

имеем:

| P ¯ + ∩ z | = 1 = | P ¯ - ∩ z | {\ displaystyle \ left | {\ overline {P}} _ {+} \ cap z \ right | = 1 = \ left | {\ overline {P}} _ {-} \ cap z \ right |}

\ left | \ overline {P} _ {+} \ cap z \ right | = 1 = \ left | \ overline {P} _ {-} \ cap z \ right |

Первые следствия аксиом:

Лемма: Для плоскости Минковского $M {\ displaystyle {\ mathfrak {M}}}$ ${{\ mathfrak M}}$ верно следующее

a) Любая точка содержится как минимум в одном цикле.

б) Любой генератор содержит не менее 3 точек.

в) Две точки могут быть соединены циклом тогда и только тогда, когда они не параллельны.

Аналогично плоскостям Мёбиуса и Лагерра мы получаем связь с линейной геометрией через вычеты.

Для самолета Минковского $M = (P, Z; ∥ +, ∥ -, ∈) {\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in)}$ ${{\ mathfrak M}} = ({{\ mathcal P}}, {{\ mathcal Z} }; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in)$ и $P ∈ P {\ displaystyle P \ in {\ mathcal {P}} }$ $P \ in {\ mathcal P }$ определим локальную структуру

AP: = (P ∖ P ¯, {z ∖ {P ¯} | P ∈ z ∈ Z} ∪ {E ∖ P ¯ | E ∈ E ∖ { P ¯ +, P ¯ -}}, ∈) {\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {P}: = ({\ mathcal {P}} \ setminus {\ overline {P}}, \ {z \ setminus \ {{\ overline {P}} \} \ | \ P \ in z \ in {\ mathcal {Z}} \} \ cup \ {E \ setminus {\ overline {P}} \ | \ E \ in {\ mathcal {E}} \ setminus \ {{\ overline {P}} _ {+}, {\ overline {P}} _ {-} \} \}, \ in)}

{\ mathfrak A} _ {P}: = ({\ mathcal P} \ setminus \ overline {P}, \ {z \ setminus \ {\ overline {P} \} \ | \ P \ in z \ in {\ mathcal Z} \} \ cup \ {E \ setminus \ overline {P} \ | \ E \ in {{\ mathcal E}} \ setminus \ {\ overline {P} _ {+}, \ overline {P} _ {-} \} \}, \ in)

и назовите его остаток в точке P .

Для классической плоскости Минковского $A (∞, ∞) {\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {(\ infty, \ infty)}}$ ${\ mathfrak A} _ {{(\ infty, \ infty)}}$ - вещественная аффинная плоскость $R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\R^2$ .

Непосредственным следствием аксиом от C1 до C4 и C1 ′, C2 ′ являются следующие две теоремы.

Теорема : для плоскости Минковского $M = (P, Z; ∥ +, ∥, ∈) {\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = ({\ mathcal {P}}, { \ mathcal {Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel, \ in)}$ ${{\ mathfrak M}} = ({{\ mathcal P}}, {{\ mathcal Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel, \ in)$ любой остаток является аффинной плоскостью.

Теорема : Пусть будет $M = (P, Z; ∥ +, ∥ -, ∈) {\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in)}$ ${{\ mathfrak M}} = ({{\ mathcal P}}, {{\ mathcal Z} }; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in)$ структура инцидентности с двумя отношениями эквивалентности $∥ + {\ displaystyle \ parallel _ {+ }}$ $\ parallel _ {+}$ и $∥ - {\ displaystyle \ parallel _ {-}}$ $\ parallel _ {-}$ в наборе $P {\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ баллов (см. Выше).

M {\ displaystyle {\ mathfrak {M}}}

{{\ mathfrak M}}

является плоскостью Минковского тогда и только тогда, когда для любой точки

P {\ displaystyle P}

P

остаток

AP {\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {P}}

{\ mathfrak A} _ {P}

- аффинная плоскость.

Минимальная модель

Плоскость Минковского: минимальная модель

минимальная модель самолета Минковского может быть установлена на множестве $K ¯: = {0, 1, ∞} {\ displaystyle {\ overline {K}}: = \ {0,1, \ infty \} }$ $\ overline {K}: = \ {0,1, \ infty \}$ из трех элементов:

$P: = K ¯ 2 {\ displaystyle {\ mathcal {P}}: = {\ overline {K}} ^ {2} \ qquad}$ ${\ mathcal {P}}: = {\ overline {K}} ^ {2} \ qquad$

$Z : = {{(a 1, b 1), (a 2, b 2), (a 3, b 3)} | {\ displaystyle {\ mathcal {Z}}: = \ {\ {(a_ {1}, b_ {1}), (a_ {2}, b_ {2}), (a_ {3}, b_ {3}) \} |}$ ${\ mathcal Z}: = \ {\ {(a_ {1}, b_ {1}), (a_ {2}, b_ {2}), (a_ {3}, b_ {3}) \} |$

$| {a 1, a 2, a 3} = {b 1, b 2, b 3} = K ¯} = {\ displaystyle | \ {a_ {1}, a_ {2}, a_ {3} \} = \ {b_ {1}, b_ {2}, b_ {3} \} = {\ overline {K}} \} =}$ $| \ {a_ {1}, a_ {2}, a_ {3} \} = \ {b_ {1}, b_ {2}, b_ {3} \} = \ overline {K} \} =$

${{(0, 0), (1, 1), (∞, ∞)}, {\ displaystyle \ {\ {(0,0), (1,1), (\ infty, \ infty) \},}$ $\ {\ {(0,0), (1,1), (\ infty, \ infty) \},$ ${(0, 0), (1, ∞), ( ∞, 1)}, {\ Displaystyle \ {(0,0), (1, \ infty), (\ infty, 1) \},}$ $\ {(0,0), (1, \ infty), (\ infty, 1) \},$ ${(0, 1), (1, 0), (∞, ∞)}, {\ Displaystyle \ {(0,1), (1,0), (\ infty, \ infty) \},}$ $\ {(0,1), (1,0), (\ infty, \ infty) \},$ ${(0, 1), (1, ∞), (∞, 0)}, {\ Displaystyle \ {(0,1), (1, \ infty), (\ infty, 0) \},}$ $\ {(0,1), (1, \ infty), (\ infty, 0) \},$ ${(0, ∞), (1, 1), (∞, 0)}, {\ Displaystyle \ {(0, \ infty), (1,1), (\ infty, 0) \},}$ $\ {(0, \ infty), (1,1), (\ infty, 0) \},$ ${(0, ∞), (1, 0), (∞, 1)}} {\ displaystyle \ {(0, \ infty), (1,0), (\ infty, 1) \} \}}$ $\ {(0, \ infty), (1,0), (\ infty, 1) \} \}$

Параллельные точки:

$(x 1, y 1) ∥ + (x 2, y 2) {\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) \ parallel _ {+} (x_ {2}, y_ {2})}$ $(x_ {1}, y_ {1}) \ parallel _ {+} (x_ {2}, y_ {2})$ тогда и только тогда, когда $x 1 = x 2 {\ displaystyle x_ {1} = x_ {2}}$ $x_ {1} = x_ {2}$

$(x 1, y 1) ∥ - (x 2, y 2) {\ displaystyle ( x_ {1}, y_ {1}) \ parallel _ {-} (x_ {2}, y_ {2})}$ $(x_ {1}, y_ {1}) \ parallel _ {-} (x_ {2}, y_ {2})$ тогда и только тогда, когда $y 1 = y 2 {\ displaystyle y_ {1} = y_ {2}}$ $y_ {1} = y_ {2}$ .

Следовательно: $| P | = 9 {\ displaystyle \ left | {\ mathcal {P}} \ right | = 9}$ $\ left | { \ mathcal P} \ right | = 9$ и $| Z | = 6 {\ displaystyle \ left | {\ mathcal {Z}} \ right | = 6}$ $\ left | {\ mathcal Z} \ right | = 6$ .

Конечные плоскости Минковского

Для конечных плоскостей Минковского мы получаем из C1 ′, C2 ′:

Лемма : Пусть будет $M = (P, Z; ∥ +, ∥ -, ∈) {\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal { Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in)}$ ${{\ mathfrak M}} = ({{\ mathcal P}}, {{\ mathcal Z} }; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in)$ конечная плоскость Минковского, т.е. $| P | < ∞ {\displaystyle \left|{\mathcal {P}}\right|<\infty }$ $\ left | {\ mathcal P} \ right | <\ infty$ . Для любой пары циклов $z 1, z 2 {\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}}$ $z_{1},z_{2}$ и любой пары образующих $e 1, e 2 {\ displaystyle e_ { 1}, e_ {2}}$ $e_ {1}, e_ {2}$ имеем: $| z 1 | = | z 2 | = | e 1 | = | e 2 | {\ displaystyle \ left | z_ {1} \ right | = \ left | z_ {2} \ right | = \ left | e_ {1} \ right | = \ left | e_ {2} \ right |}$ $\ left | z_ {1} \ right | = \ left | z_ { 2} \ right | = \ left | e_ {1} \ right | = \ left | e_ {2} \ right |$ .

Отсюда возникает определение :. Для конечной плоскости Минковского $M {\ displaystyle {\ mathfrak {M}}}$ ${{\ mathfrak M}}$ и цикла $z { \ displaystyle z}$ $z$ из $M {\ displaystyle {\ mathfrak {M}}}$ ${{\ mathfrak M}}$ мы называем целым числом $n = | z | - 1 {\ displaystyle n = \ left | z \ right | -1}$ $n = \ left | z \ right | -1$ порядок из $M {\ displaystyle {\ mathfrak {M}}}$ ${{\ mathfrak M}}$ .

Из простых комбинаторных соображений получаем

лемма : для конечной плоскости Минковского $M = (P, Z; ∥ +, ∥ -, ∈) {\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in)}$ ${{\ mathfrak M}} = ({{\ mathcal P}}, {{\ mathcal Z} }; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in)$ верно следующее:

a) Любой остаток ( аффинная плоскость) имеет порядок

n {\ displaystyle n}

n

| P | знак равно (n + 1) 2 {\ displaystyle \ left | {\ mathcal {P}} \ right | = (n + 1) ^ {2}}

\ left | {\ mathcal P} \ right | = (n + 1) ^ {2}

| Z | знак равно (n + 1) n (n - 1) {\ displaystyle \ left | {\ mathcal {Z}} \ right | = (n + 1) n (n-1)}

\ left | {\ mathcal Z} \ right | = (n + 1) n (n- 1)

самолеты Микелевского Минковского

Мы получаем наиболее важные примеры плоскостей Минковского, обобщая классическую реальную модель: просто замените $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ произвольным полем $K {\ displaystyle K}$ $K$ тогда мы в любом случае получаем плоскость Минковского $M (K) = (P, Z; ∥ +, ∥ -, ∈) {\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K) = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in)}$ ${{\ mathfrak M}} (K) = ({{\ mathcal P}}, {{\ mathcal Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in)$ .

Аналогично Мёбиусу и плоскостей Лагерра теорема Микеля является характеристическим свойством плоскости Минковского $M (K) {\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K)}$ ${\ mathfrak M} (K)$ .

Теорема Микеля

Теорема (Микель): Для плоскости Минковского $M (K) {\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K)}$ ${\ mathfrak M} (K)$ верно следующее:

Если для любых 8 попарно непараллельных точек

P 1,..., P 8 {\ displaystyle P_ {1},..., P_ {8}}

P_ {1},..., P_ {8}

который может быть назначен вершинам куба так, чтобы точки на 5 гранях соответствовали конциклическим четверкам, чем шестая четверка точек тоже конциклическая.

(Для лучшего обзора на рисунке изображены окружности вместо гипербол.)

Теорема (Чен): Только плоскость Минковского $M (K) {\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K)}$ ${\ mathfrak M} (K)$ удовлетворяет теореме Микеля.

Из-за последней теоремы $M (K) {\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K)}$ ${\ mathfrak M} (K)$ называется микелевой плоскостью Минковского .

Замечание: Минимальная модель плоскости Минковского является микелевой.

Он изоморфен плоскости Минковского

M (K) {\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K)}

{\ mathfrak M} (K)

K = GF ⁡ (2) {\ displaystyle K = \ operatorname {GF} (2)}

K = \ operatorname {GF} (2)

(field

{0, 1} {\ displaystyle \ {0,1 \}}

\ {0,1 \}

Удивительный результат:

Теорема (Heise): Любая плоскость Минковского четного порядка является микелевой.

Примечание: Подходящая стереографическая проекция показывает: $M (K) {\ displaystyle {\ mathfrak { M}} (K)}$ ${\ mathfrak M} (K)$ изоморфно геометрии плоских сечений на гиперболоиде одного листа (квадрика индекса 2) в проективном 3-мерном пространстве над полем $K {\ displaystyle K}$ $K$ .

Примечание: Есть много самолетов Минковского, которые не являются микелевыми (см. Веб-ссылку ниже). Но нет "овоидальных" самолетов Минковского, в отличие на плоскости Мёбиуса и Лагерра. Поскольку любое квадратичное множество индекса 2 в проективном 3-пространстве является квадрикой (см. квадратичное множество ).

См. также

Конформная геометрия

Ссылки

W. Benz, Vorlesungen über Geomerie der Algebren, Springer (1973)
F. Буэкенхаут (ред.), Справочник по геометрии инцидентности, Elsevier (1995) ISBN 0-444-88355-X

Внешние ссылки