Координаты Борна

редактировать
Пространственно-временная геометрия координат Борна. Красные линии (|) - мировые линии (конгруэнтность) точек на диске (при r = z = ϕ = const.). Перемежающиеся синие и серые полосы показывают изменение t (линейности). Оранжевые кривые (/ \) - это светоподобные кривые (нулевые геодезические) с фиксированным r.

В релятивистской физике диаграмма координат Борна является диаграммой координат для (части) пространства-времени Минковского, плоского пространства -времени из Специальной теории относительности. Он часто используется для анализа физического опыта наблюдателей, которые едут по кольцу или диску , жестко вращающимся с релятивистскими скоростями, так называемых наблюдателей Ланжевена . Эту диаграмму часто приписывают Максу Борну из-за его работы 1909 года по релятивистской физике вращающегося тела. Для обзора применения ускорений в плоском пространстве-времени см. Ускорение (специальная теория относительности) и надлежащая система отсчета (плоское пространство-время).

Из опыта инерциальных сценариев (т.е. измерений в инерциальных системах отсчета), Наблюдатели Ланжевена синхронизируют свои часы по стандартному соглашению Эйнштейна или по медленной синхронизации соответственно (обе внутренней синхронизации). Для определенного наблюдателя Ланжевена этот метод работает отлично. В непосредственной близости от него часы синхронизированы, свет распространяется в пространотропно. Это вызывает недоумение: всегда есть как минимум два соседних часа, которые имеют разное время. Чтобы наблюдать ситуацию, наблюдатели договариваются о внешней внешней синхронизации (координатное время t - или для наблюдателей в кольце, собственное время для фиксированного радиуса r). В соответствии с этим соглашением ланжевеновские наблюдатели, едущие на жестко вращающемся пространстве, на основании малых расстояний между собой сделают вывод, что геометрия диска неевклидова. Независимо от того, какой метод они используют, эта геометрия хорошо аппроксимируется некоторой римановой метрикой, а именно метрикой Ланжевена-Ландау-Лифшица. Это, в свою очередь, очень хорошо аппроксимируется геометрией гиперболической плоскости (с отрицательными кривизнами -3 ω и -3 ω r, соответственно). Они показывают разные результаты в зависимости от того, какой метод измерения они используют! Однако во всех случаях они, скорее всего, получат, несовместимые с какой-либо римановой метрикой. В частности, если они используют простейшее понятие расстояния, из-за различных эффектов, таких как уже отмеченная асимметрия, они придут к выводу, что «геометрия» диска не только неевклидова, но и нериманова.

Вращающийся диск - это не парадокс. Какой бы метод ни использовали наблюдатели для анализа ситуации: в конце концов они обнаруживают, анализируют вращающийся диск, а не инерциальную систему отсчета.

Содержание

  • 1 Наблюдатели Ланжевена на цилиндрической карте
  • 2 Преобразование в карту Борна
  • 3 Эффект Саньяка
  • 4 Нулевые геодезические
  • 5 Радарное расстояние в большом
  • 6 Радар расстояние в малой
  • 7 См. также
  • 8 Ссылки
  • 9 Внешние ссылки

Наблюдатели Ланжевена на цилиндрической карте

Чтобы мотивировать карту Борна, мы сначала рассмотрим семью наблюдателей Ланжевена представлена ​​в обычной цилиндрической координатной карте для пространства-времени Минковского. Мировые линии этих наблюдателей образуют времяподобную конгруэнцию, которая является жесткой в ​​смысле наличия исчезающего тензора расширения. Они представляют собой наблюдатели, которые жестко вращаются вокруг оси цилиндрической симметрии.

Рис. 1: Часть спиральной мировой линии типичного ланжевеновского наблюдателя (красная кривая), изображенная на цилиндрической диаграмме, с некоторыми будущими указывающими световыми конусами (золотые) с периодом системы отсчета, назначенными рамками Ланжевена (черные стержни). На этом рисунке координата Z не важна и была подавлена. Белый цилиндр показывает геометрическое место постоянного радиуса; пунктирная зеленая линия представляет ось симметрии R = 0. Синяя кривая собой интегральную кривую единичного азимутального изображения p → 3 {\ displaystyle {\ vec {p}} _ {3}}{\ vec {p}} _ {3} .

От линейного элемента

ds 2 = - d T 2 + d Z 2 + d R 2 + R 2 d Φ 2, - ∞ < T, Z < ∞, 0 < R < ∞, − π < Φ < π {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} T^{2}+\mathrm {d} Z^{2}+\mathrm {d} R^{2}+R^{2}\,\mathrm {d} \Phi ^{2},\;\;\\-\infty {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} s ^ {2} = - \ mathrm {d} T ^ {2} + \ mathrm {d} Z ^ {2} + \ mathrm {d} R ^ {2} + R ^ {2} \, \ mathrm {d} \ Phi ^ {2}, \; \; \\ - \ infty <T, \, Z <\ infty, \; 0 <R <\ infty, \; - \ pi <\ Phi <\ pi \ end {align}}}

мы можем сразу считать поле кадра , представляющее локальные лоренцевы кадры стационарных (инерциальных) наблюдателей

e → 0 знак равно ∂ T, е → 1 = ∂ Z, e → 2 = ∂ R, e → 3 = 1 R ∂ Φ {\ displaystyle {\ vec {e}} _ {0} = \ partial _ { T}, \; \; {\ vec {e}} _ {1} = \ partial _ {Z}, \; \; {\ vec {e}} _ {2} = \ partial _ {R}, \; \; {\ vec {e}} _ {3} = {\ frac {1} {R}} \, \ partial _ {\ Phi}}{\ vec {e}} _ {0} = \ partial _ {T}, \; \; {\ vec {e}} _ {1} = \ partial _ {Z}, \; \; {\ vec {e}} _ {2} = \ partial _ {R}, \; \; {\ vec {e}} _ {3} = {\ frac {1} {R}} \, \ partial _ {\ Phi}

Здесь e → 0 {\ displaystyle {\ vec {e }} _ {0}}\ vec {e} _0 - это времениподобное единичное векторное поле, а остальные - пространственноподобные единичные данные поля; в каждом событии все четыре взаимно ортогональные и определяют бесконечно малую лоренцевскую систему отсчета статического наблюдателя, мировая линия которого проходит через это событие.

Одновременно усиливая эти поля кадра в направлении e → 3 {\ displaystyle {\ vec {e}} _ {3}}{\ vec {e}} _ {3} , мы получаем желаемое поле кадра, описывающее физический опыт ланжевеновских наблюдателей, а именно

p → 0 = 1 1 - ω 2 R 2 ∂ T + ω R 1 - ω 2 R 2 1 R ∂ Φ {\ displaystyle {\ vec {p}} _ {0} = { \ frac {1} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R ^ {2}}}} \, \ partial _ {T} + {\ frac {\ omega \, R} {\ sqrt { 1- \ omega ^ {2} \, R ^ {2}}}} \; {\ frac {1} {R}} \ partial _ {\ Phi}}{\ vec {p}} _ {0} = {\ frac {1} {{\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R ^ {2}}}} \, \ partial _ {T} + {\ frac {\ omega \, R} {{\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R ^ {2}} }}} \; {\ frac {1} {R}} \ partial _ {\ Phi}
p → 1 = ∂ Z, п → 2 знака равно ∂ R {\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {1} = \ partial _ {Z}, \; \; {\ vec {p}} _ {2} = \ partial _ {R}}{\ vec {p}} _ {1} = \ partial _ {Z}, \; \; {\ vec {p}} _ {2} = \ partial _ {R}
p → 3 = 1 1 - ω 2 R 2 1 R ∂ Φ + ω R 1 - ω 2 R 2 ∂ T {\ displaystyle {\ vec {p}} _ {3} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R ^ {2}}}} \; {\ frac {1} {R}} \, \ partial _ {\ Phi} + {\ frac {\ omega \, R} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R ^ {2}} }} \, \ partial _ {T}}{\ vec {p}} _ {3} = {\ frac {1 } {{\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R ^ {2}}}}} \; {\ frac {1} {R}} \, \ partial _ {\ Phi} + {\ frac {\ omega \, R} {{\ sqrt {1- \ омега ^ {2} \, R ^ {2} }}}} \, \ partial _ {T}

Этот фрейм, по-видимому, был представлен впервые (неявно) Поль Ланжевен в 1935 году; первое его использование, по-предположению, было сделано Т. А. Вебером совсем недавно, в 1997 году! Он определяется на участке 0 < R < 1/ω; this limitation is fundamental, since near the outer boundary, the velocity of the Langevin observers approaches the speed of light.

рис. 2: На этом изображении показаны мировые линии реперного наблюдателя Ланжевена (красная кривая) и его ближайших соседей (темно-синие штриховые кривые). Он показывает четверть одной орбиты реперного наблюдателя вокруг оси симметрии (вертикальная зеленая линия).

Каждая интегральная кривая времениподобного единичного использования поля p → 0 {\ displaystyle {\ vec {p}} _ {0}}{\ vec {p}} _ {0} отображается на цилиндрической диаграмме как спираль с постоянным радиусом (например, красная кривая на рис. 1). Предположим, мы выбрали одного ланжевеновского наблюдателя и рассмотрим других наблюдателей, которые едут по кольцу радиуса R, которое жестко вращается с угловой скоростью ω. Тогда, если мы возьмем интегральную кривую (синяя спиральная кривая на рис. 1) пространственноподобного базисного вектора p → 3 {\ displaystyle {\ vec {p}} _ {3}}{\ vec {p}} _ {3} , мы получим кривую, которая, как мы можем надеяться, может быть интерпретирована как «линия параллности» для наблюдателей на кольце. Но, как мы видим из рис. 1, идеальные часы, которые эти «ездящие по кольцу» наблюдатели, не могут быть синхронизированы. Это наш первый намек на то, что не так просто, как можно было бы ожидать, удовлетворительное понятие внутренней геометрии даже для вращающегося кольца, не говоря уже о вращающемся диске!

Вычисляя кинематическое разложение сравнение Ланжевена, мы находим, что векторное ускорение равенство

∇ p → 0 p → 0 = - ω 2 R 1 - ω 2 р 2 п → 2 {\ displaystyle \ nabla _ {\ vec {p}} _ {0}} {\ vec {p}} _ {0} = {\ frac {- \ omega ^ {2} \, R } {1- \ omega ^ {2} \, R ^ {2}}} \; {\ vec {p}} _ {2}}\ nabla _ {{{\ vec {p}} _ {0 }}} {\ vec {p}} _ {0} = {\ frac {- \ omega ^ {2} \, R} {1- \ omega ^ {2} \, R ^ {2}}} \; {\ vec {p}} _ {2}

Это направлено радиально внутрь, и это зависит только от (постоянный) радиус каждой винтовой мировой линии. Следующие ланжевеновские наблюдатели указывают на постоянное расстояние от друга. Вектор завихренности равенства

Ω → = ω 1 - ω 2 R 2 p → 1 {\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} = {\ frac {\ omega} {1- \ omega ^ {2} \, R ^ {2}}} \; {\ vec {p}} _ {1}}{\ vec {\ Omega}} = {\ frac {\ омега} {1- \ omega ^ {2} \, R ^ {2}}} \; {\ vec {p}} _ {1}

которая параллельна оси симметрии. Мировые линии ближайших соседей ланжевеновского наблюдателя. 2. Это своего рода локальное понятие «завихрения» или завихренности.

Напротив, обратите внимание, что проекция спиралей на любую из пространственных гиперпространств T = T 0 {\ displaystyle T = T_ {0}}T = T_0 ортогональная мировым линиям статические образуют круг, который, конечно, является замкнутой кривой. Более того, координатный базисный вектор ∂ Φ {\ displaystyle \ partial _ {\ Phi}}\ partial _ {\ Phi} представляет собой пространственноподобное внутреннее поле Киллинга, интегральные кривые которого составляют собой замкнутые пространственноподобные кривые ( кружки, фактически), к тому же вырождаются замкнутые кривые нулевой длины на оси R = 0. Это выражает тот факт, что наше пространство демонстрирует цилиндрическую симметрию, а также демонстрирует своего рода глобальное понятие вращения наших ланжевеновских наблюдателей.

На рис. 2 пурпурная кривая показывает, как пространственные рабочие p → 2, p → 3 {\ displaystyle {\ vec {p}} _ {2}, \; {\ vec {p}} _ {3}}{\ vec {p}} _ {2}, \; {\ vec {p}} _ {3} вращаются вокруг p → 1 {\ displaystyle {\ vec {p}} _ {1}}{\ vec {p}} _ {1 } (который подавлен в рисунок, поскольку координата Z несущественна). То есть диаграмма p → 2, p → 3 {\ displaystyle {\ vec {p}} _ {2}, \; {\ vec {p}} _ {3}}{\ vec {p}} _ {2}, \; {\ vec {p}} _ {3} не переносятся Ферми - Уокером вдоль мировой линии, поэтому система Ланжевена вращается так же, как и неинерциально. Другими словами, в нашем прямом выводе системы отсчета Ланжевена мы вектор сохранилику, выровненную с базисным способом радиальных координат ∂ R {\ displaystyle \ partial _ {R}}\ partial _ {R} . Введя постоянную скорость вращения кадра, переносимый любым наблюдателем Ланжевена, примерно на p → 1 {\ displaystyle {\ vec {p}} _ {1}}{\ vec {p}} _ {1 } , мы могли бы, если бы захотели: despin "наша рама, чтобы получить гиростабилизированную версию.

Преобразование в карту Борна

Рис. 3: Попытка определить понятие« пространство за раз »для наших ланжевеновских наблюдателей, изображенных на диаграмме Борна. На этом рисунке изображена область 0 < r < 1 when ω = 1/5, with a discontinuity at ϕ = π. The radial ray from which we have "grown" the integral curves to make the surface is at ϕ = 0 (on the far side in this image).

Чтобы получить карту Борна, мы выпрямляем винтовые мировые линии наблюдателей Ланжевена, используя простое преобразование координат

t = T, z = Z, r = Р, ϕ знак равно Φ - ω T {\ Displaystyle т = T, \; \; z = Z, \; \; r = R, \; \; \ phi = \ Phi - \ omega \, T}t = T, \; \; z = Z, \; \; г = R, \; \; \ phi = \ Phi - \ omega \, T

Новый элемент строки:

ds 2 = - (1 - ω 2 r 2) dt 2 + 2 ω r 2 dtd ϕ + dz 2 + dr 2 + r 2 d ϕ 2, {\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - \ left (1- \ omega ^ {2} r ^ {2} \ right) \ mathrm {d} t ^ {2} +2 \ omega r ^ {2} \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ phi + \ mathrm {d} z ^ {2} + \ mathrm {d} r ^ {2 } + r ^ {2} \ mathrm {d} \ phi ^ {2},}{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - \ left (1- \ omega ^ {2} r ^ {2} \ справа) \ mathrm {d } t ^ {2} +2 \ omega r ^ {2} \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ phi + \ mathrm {d} z ^ {2} + \ mathrm {d} r ^ { 2} + r ^ {2} \ mathrm {d} \ phi ^ {2},}
- ∞ < t, z < ∞, 0 < r < 1 ω, − π < ϕ < π {\displaystyle -\infty - \ infty <t, \, z <\ infty, 0 <r <{\ frac {1} {\ omega}}, \; - \ pi <\ phi <\ pi

Обратите внимание на «перекрестные термины», включающие dtd ϕ {\ displaystyle \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ phi}{\ displaystyle \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ phi} , которые показывают что карта Борна является не ортогональной координатной картой. Координаты Борна также иногда называют вращающимися цилиндрическими координатами.

На карте мировые наблюдения наблюдателей Ланжевена выглядят как вертикальные прямые. Действительно, мы можем легко преобразовать четыре векторных поля, составляющих фрейм Ланжевена, в новую диаграмму. Получаем

p → 0 = 1 1 - ω 2 r 2 ∂ t {\ displaystyle {\ vec {p}} _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}} \, \ partial _ {t}}{\ vec {p}} _ {0} = {\ frac {1} { {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}}} \, \ partial _ {t}
p → 1 = ∂ z, p → 2 = ∂ r {\ displaystyle {\ vec {p}} _ {1} = \ partial _ {z}, \; \; {\ vec {p}} _ {2} = \ partial _ {r}}{\ vec {p}} _ {1} = \ partial _ {z}, \; \; {\ vec {p}} _ {2} = \ partial _ {r}
p → 3 = 1 - ω 2 r 2 r ∂ ϕ + ω r 1 - ω 2 р 2 ∂ T {\ displaystyle { \ vec {p}} _ {3} = {\ frac {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}} {r}} \, \ partial _ {\ phi} + { \ frac {\ omega \, r} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}} \, \ partial _ {t}}{\ vec {p}} _ {3} = {\ frac {{\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}} {r} } \, \ partial _ {\ phi} + {\ frac {\ omega \, r} {{\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}}} \, \ partial _ {t}

Это точно такие же данные поля, как и раньше - теперь они просто представлены в другой координатной диаграмме!

Само собой разумеется, что в процессе «раскручивания» мировых линий наблюдателей Ланжевена, которые проявляются как спирали на цилиндрической карте, мы «свернули» мировые линии статических наблюдателей, которые теперь появляются как спирали на карте Борна! Также обратите внимание, что, как и система Ланжевена, карта Борна определена только в области 0 < r < 1/ω.

Если мы пересчитаем кинематическое разложение наблюдателей Ланжевена, то есть времяподобное сравнение p → 0 = 1 1 - ω 2 р 2 ∂ T {\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}} \, \ partial _ {t}}{\ vec {p}} _ {0} = {\ frac {1} { {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}}} \, \ partial _ {t} , мы, конечно, получим тот же ответ, что и раньше, только выраженный в терминах новой диаграммы. В частности, вектор ускорения равенство

∇ p → 0 p → 0 = - ω 2 r 1 - ω 2 r 2 p → 2 {\ displaystyle \ nabla _ {{\ vec {p}} _ {0}} \, {\ vec {p}} _ {0} = {\ frac {- \ omega ^ {2} \, r} {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}} \, {\ vec {p}} _ {2}}\ nabla _ {{{\ vec {p}} _ {0 }}} \, {\ vec {p}} _ {0} = {\ frac {- \ omega ^ {2} \, r} {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}} \, {\ vec {p}} _ {2}

тензор разложения исчезает, и вектор завихренности равен

Ω → = ω 1 - ω 2 r 2 p → 1 {\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} = { \ frac {\ omega} {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}} \; {\ vec {p}} _ {1}}{\ vec {\ Omega}} = {\ frac {\ omega} {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}} \; {\ vec {p}} _ {1}

Двойное ковекторное поле времениподобного Единичное векторное поле в любом поле кадра представляет собой бесконечно малые пространственные гиперпространства. теорема об интегрируемости Фробениуса дает сильные ограничения на то, могут ли эти пространственные элементы гиперплоскости «соединяться вместе», чтобы образовать семейство пространственных гиперповерхностей, которые всюду ортогональны линиим сравнения. В самом деле, оказывается, что это возможно, и в этом случае мы говорим, что сравнение является гиперповерхностно ортогональным, если и только если вектор завихренности тождественно равен нулю. Таким образом, в то время как статические наблюдатели на цилиндрической карте допускают уникальное семейство ортогональных гиперпространств T = T 0 {\ displaystyle T = T_ {0}}T = T_0 , наблюдатели Ланжевена не допускают таких гиперпространств. В частности, пространственные поверхности t = t 0 {\ displaystyle t = t_ {0}}t = t_0 в диаграмме Борна ортогональны статическим наблюдателям, а не наблюдателям Ланжевена. Это второй (и гораздо более точный) признак того, что определение «пространственной геометрии вращающегося диска» не так просто, как можно было бы ожидать.

Чтобы лучше понять этот ключевой момент, рассмотрим интегральные кривые третьего системы отсчета Ланжевена

p → 3 = 1 - ω 2 r 2 1 r ∂ ϕ + ω r 1 - ω 2 r 2 ∂ t { \ displaystyle {\ vec {p}} _ {3} = {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}} \, {\ frac {1} {r}} \, \ частичный _ {\ phi} + {\ frac {\ omega \, r} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}} \, \ partial _ {t}}{\ vec {p}} _ {3} = {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}} \, {\ frac {1} {r}} \, \ partial _ {\ phi} + {\ frac {\ omega \, r} {{\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2} }}}} \, \ partial _ {t}

, которые проходят через радиус ϕ = 0, t = 0 {\ displaystyle \ phi = 0, \, t = 0}\ phi = 0, \, t = 0 . (Для удобства мы опустим несущественную координату z из нашего обсуждения.) Эти кривые лежат на поверхности

ϕ + ω t - t ω r 2 = 0, - π < ϕ < π {\displaystyle \phi +\omega \,t-{\frac {t}{\omega \,r^{2}}}=0,\;\;-\pi <\phi <\pi }\ phi + \ omega \, t - {\ frac {t} {\ omega \, r ^ {2}}} = 0, \; \; - \ pi <\ phi <\ pi

, показанной на рис. 3. Мы бы хотели рассматривать это как «пространство за раз» для наших ланжевеновских наблюдателей. Но две вещи идут не так.

Во-первых, теорема Фробениуса говорит нам, что p → 2, p → 3 {\ displaystyle {\ vec {p}} _ {2}, \, {\ vec {p}} _ {3}}{\ vec {p}} _ {2}, \, {\ vec {p}} _ {3} вообще не касаются пространственного гиперсреза. В самом деле, кроме начального радиуса, p → 2 {\ displaystyle {\ vec {p}} _ {2}}{\ vec {p}} _ {2} не лежат в нашем срезе. Таким образом, мы видим пространственную гиперповерхность, она ортогональна мировым линиям только некоторых наших ланжевеновских наблюдателей. Препятствие из теоремы Фробениуса можно понять в терминах отказа векторных полей p → 2, p → 3 {\ displaystyle {\ vec {p}} _ {2}, \, {\ vec {p}} _ {3} }{\ vec {p}} _ {2}, \, {\ vec {p}} _ {3} , чтобы сформировать алгебру Ли, это препятствие является дифференциальным, фактически теоретическим. Это своего рода бесконечно малое препятствие для удовлетворительного представления о пространственных гиперпространствах для наших вращающихся наблюдателей.

Во-вторых, как показано на рис. 3, наша попытка гиперсреза привела бы к прерывистому понятию «время» из-за «скачков» на интегральных кривых (показанных в виде разрыва сетки синего цвета). В качестве альтернативы мы могли бы попробовать использовать многозначное время. Ни одна из этих альтернатив не кажется очень привлекательной! Очевидно, это глобальное препятствие. Это, конечно, следствие нашей неспособности синхронизировать часы ланжевеновских наблюдателей, движущихсяся даже по одному кольцу - скажем, по краю диска - не говоря уже о целом диске.

Эффект Саньяка

Представьте, что мы закрепили волоконно-оптический кабель по окружности кольца, которое вращается с постоянной угловой скоростью ω. Мы хотим вычислить время прохождения туда и обратно, измеренным наблюдателем, едущим по кольцу, для лазерного импульса, посылаемого по и против часовой стрелки по кабелю. Для простоты мы проигнорируем тот факт, что свет проходит по оптоволоконному кабелю со скоростью несколько меньше, чем скорость света в вакууме, и будем притворяться, что мировая линия нашего лазерного импульса нулевой кривой (но, конечно, не нулевой геодезической.!).

В линейном элементе Born поместим ds = dz = dr = 0 {\ displaystyle \ mathrm {d} s = \ mathrm {d} z = \ mathrm {d} r = 0}{\ displaystyle \ mathrm {d} s = \ mathrm {d} z = \ mathrm {d} r = 0} . Это дает

(1 - ω 2 r 0 2) dt 2 = 2 ω r 0 2 dtd ϕ + r 0 2 d ϕ 2 {\ displaystyle (1- \ omega ^ {2} \, r_ {0} ^ {2}) \, \ mathrm {d} t ^ {2} = 2 \ omega \, r_ {0} ^ {2} \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ phi + r_ { 0} ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2}}{\ displaystyle (1- \ omega ^ {2} \, r_ {0} ^ {2}) \, \ mathrm {d} t ^ { 2} = 2 \ omega \, r_ {0} ^ {2} \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ phi + r_ {0} ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2}}

или

dt + = r 0 d ϕ 1 - ω r 0, dt - = - r 0 d ϕ 1 + ω р 0 {\ Displaystyle \ mathrm {d} t _ {+} = {\ frac {r_ {0} \, \ mathrm {d} \ phi} {1- \ omega \, r_ {0}}}, \ quad \ mathrm {d} t _ {-} = - {\ frac {r_ {0} \, \ mathrm {d} \ phi} {1+ \ omega \, r_ {0}}}}{\ displaystyle \ mathrm {d} t _ {+} = {\ frac {r_ {0} \, \ mathrm {d} \ phi} {1- \ omega \, r_ {0}}}, \ quad \ mathrm {d} t _ {-} = - {\ frac {r_ {0} \, \ mathrm {d} \ phi} {1+ \ omega \, r_ { 0}}}}

Получаем для время прохождения туда и обратно

Δ t + = ∫ 0 2 π r 0 d ϕ 1 - ω r 0 = 2 π r 0 1 - ω r 0, Δ t - = ∫ 0 - 2 π - r 0 d ϕ 1 + ω р 0 знак равно 2 π р 0 1 + ω р 0 {\ displaystyle \ Delta t _ {+} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {r_ {0} \, \ mathrm {d} \ phi} {1- \ omega \, r_ {0}}} = {\ frac {2 \ pi r_ {0}} {1- \ omega \, r_ {0}}}, \ quad \ Дельта t_ {-} = \ int _ {0} ^ {- 2 \ pi} - {\ frac {r_ {0} \, \ mathrm {d} \ phi} {1+ \ omega \, r_ {0}} } = { \ frac {2 \ pi r_ {0}} {1+ \ omega \, r_ {0}}}}{\ displaystyle \ Delta t _ {+} = \ int _ {0 } ^ {2 \ pi} {\ frac {r_ {0} \, \ mathrm {d} \ phi} {1- \ omega \, r_ {0}}} = {\ frac {2 \ pi r_ {0} } {1- \ omega \, r_ {0}}}, \ quad \ Delta t _ {-} = \ int _ {0} ^ {- 2 \ pi} - {\ frac {r_ {0} \, \ mathrm {d} \ phi} {1+ \ omega \, r_ {0}}} = {\ frac {2 \ pi r_ {0}} {1+ \ omega \, r_ {0}}}}

Положив δ = Δ t + - Δ t - 2 π r 0 {\ displaystyle \ delta = {\ frac {\ Delta t _ {+} - \ Delta t _ {-}} {2 \, \ pi \, r_ {0}}}}{\ displaystyle \ delta = {\ frac {\ Delta t _ {+} - \ Delta t _ {-}} {2 \, \ pi \, r_ {0}}}} , находим ω +, - = - 1 ± 1 + δ 2 r 0 δ {\ displaystyle \ omega _ {+, -} = {\ frac {-1 \ pm {\ sqrt {1+ \ delta ^ {2}}}} {r_ {0} \, \ delta}}}{\ displaystyle \ omega _ {+, -} = {\ frac {-1 \ pm {\ sqrt {1+ \ delta ^ {2}}} } {r_ {0} \, \ delta}}} (положительный ω означает вращение против часовой стрелки, отрицательный ω означает вращение по часовой стрелке), чтобы наблюдатели могли определить угловую скорость кольца (измеренную статическим наблюдателем) по разнице времени прохождения по часовой стрелке и против часовой стрелки. Это известно как эффект Саньяка. Очевидно, это глобальный эффект.

Null Geodesics

Рис. 4: Два радиальных нулевых геодезических пути (зеленая кривая: внешняя граница, красная кривая: внутренняя граница), изображенные на диаграмме Борна. Также показан след ланжевеновского наблюдателя L, вращающегося против часовой стрелки на радиусе R = R 0, то есть движущегося по кольцу, вращающемуся против часовой стрелки (темно-синий круг). Параметры: ω = +0.2, R 0=r0=1

Мы хотим сравнить появление нулевых геодезических в цилиндрической карте и в диаграмме Борна.

На цилиндрической карте геодезические уравнения читаются как

T ¨ = 0, Z ¨ = 0, R ¨ - R Φ ˙ 2 = 0, Φ ¨ + 2 R Φ ˙ р ˙ знак равно 0. { \ Displaystyle {\ ddot {T}} = 0, \; \; {\ ddot {Z}} = 0, \; \; {\ ddot {R}} - R \, {\ точка {\ Phi}} ^ {2} = 0, \; \; {\ ddot {\ Phi}} + {\ frac {2} {R}} \, {\ dot {\ Phi}} \, {\ dot {R}} = 0.}{\ displaystyle {\ ddot {T}} = 0, \; \; {\ ddot {Z}} = 0, \; \; {\ ddot {R}} - R \, {\ dot {\ Phi}} ^ {2} = 0, \; \; {\ ddot {\ Phi}} + {\ frac {2} {R}} \, {\ dot {\ Phi}} \, {\ dot {R}} = 0.}

Мы сразу получаем первые интегралы

T ˙ знак равно E, Z ˙ знак равно P, Φ ˙ = LR 2. {\ displaystyle {\ dot {T}} = E, \; \; {\ dot {Z}} = P, \; \; {\ dot {\ Phi}} = {\ frac {L} {R ^ {2}}}.}{\ displaystyle {\ dot {T}} = E, \; \; {\ dot {Z}} = P, \; \; {\ dot {\ Phi}} = {\ frac {L} {R ^ {2}}}.}

Вставка их в выражении, полученное из элемента строки, путем установки ds 2 = 0 {\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = 0}{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = 0} , получаем

R ˙ 2 = E 2 - P 2 - L 2 R 2 ≥ 0 {\ displaystyle {\ dot {R}} ^ {2} = E ^ {2} -P ^ {2} - {\ frac {L ^ {2}} {R ^ {2}}} \ geq 0}{\ displaystyle {\ точка {R}} ^ {2} = E ^ {2} -P ^ {2} - {\ гидроразрыв {L ^ {2}} {R ^ {2}}} \ geq 0}

из которого мы видим, что минимальный радиус нулевой геодезической задается как

E 2 - P 2 - L 2 R мин 2 = 0 {\ displaystyle E ^ {2} -P ^ {2} - {\ frac {L ^ {2}} {R _ {\ mathrm {min}} ^ {2}}} = 0 \ quad}{\ displaystyle E ^ {2} -P ^ {2} - {\ frac {L ^ {2}} {R _ {\ mathrm {min} } ^ {2}}} = 0 \ quad} т.е. R min = | L | E 2 - п 2 {\ displaystyle \ quad R _ {\ mathrm {min}} = {\ frac {| L |} {\ sqrt {E ^ {2} -P ^ {2}}}}}{\ displaystyle \ quad R _ {\ mathrm {min}} = {\ frac {| L |} {\ sqrt {E ^ {2} -P ^ {2}}}}}

отсюда

R ˙ 2 = L 2 (1 R мин 2 - 1 R 2). {\ displaystyle {\ dot {R}} ^ {2} = L ^ {2} \ left ({\ frac {1} {R _ {\ mathrm {min}} ^ {2}}} - {\ frac { 1} {R ^ {2}}} \ right).}{\ displaystyle {\ dot {R}} ^ {2} = L ^ {2} \ left ({\ frac {1} {R _ {\ mathrm {min})} ^ {2}}} - {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ right).}
Рис. 5: Нулевые геодезические, изображенные на диаграмме Борна между кольцевыми наблюдателями Лангенвина (r = r 0 = 1). Нулевые геодезические, распространяющиеся с вращением, изогнуты внутрь (зеленая кривая), нулевые геодезические, распространяющиеся против вращения, согнуты наружу (красная кривая). Правильное время прохождения света от L 1 до L 2Δt12составляет 1,311, от L 2 до L 1Δt21составляет 1,510, правильное время прохождения света не симметрично, а радарное расстояние (Δt 12 + Δt 21) / 2 равно. При ω → 0 оба собственных времени пробега света стремятся к √2 = 1,414. Нулевые геодезические между противоположными ланжевеновскими наблюдателями (L 1 и L 3) изгибаются симметрично вокруг центра вращения. Параметры: ω = +0,1, R 0=r0= 1, Δϕ (L 1,L2) = π / 2, Δϕ (L 1,L3) = π

Теперь мы можем решить, чтобы получить нулевые геодезические как параметрыризованные кривые. аффинным параметром:

R = (E 2 - P 2) s 2 + L 2 / (E 2 - P 2) = = (E 2 - P 2) s 2 + R min 2, T = T 0 + E s, Z = Z 0 + P s, Φ = Φ 0 + arctan ⁡ (E 2 - P 2 L s) = = Φ 0 + arctan ⁡ (E 2 - P 2 R min sgn ⁡ (L) с). {\ displaystyle {\ begin {align} R = {\ sqrt {(E ^ {2} -P ^ {2}) \, s ^ ​​{2} + L ^ {2} / (E ^ {2 } -P ^ {2})}} = \\ = {\ sqrt {(E ^ {2} -P ^ {2}) \, s ^ ​​{2} + R _ {\ mathrm {min} } ^ {2}}}, \\ T = T_ {0} + E \, s, \\ [1em] Z = Z_ {0} + P \, s, \\\ Phi = \ Phi _ {0} + \ operatorname {arctan} \ left ({\ frac {E ^ {2} -P ^ {2}} {L}} \, s \ right) = \\ = \ Phi _ {0} + \ operatorname {arctan} \ left ({\ frac {\ sqrt {E ^ {2} -P ^ {2}}} {R _ {\ mathrm {min}} \, \ operatorname {sgn} {(L)} }} \, s \ right). \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} R = {\ sqrt {(E ^ {2} -P ^ {2}) \, s ^ ​​{2} + L ^ {2} / (E ^ {2} -P ^ {2})}} = \\ = {\ sqrt {(E ^ {2} -P ^ {2}) \, s ^ ​​{2} + R _ {\ mathrm {min}} ^ {2}}}, \\ T = T_ {0} + E \, s, \\ [1em] Z = Z_ {0} + P \, s, \\\ Phi = \ Phi _ {0} + \ OperatorName {arctan} \ left ({\ frac {E ^ {2} -P ^ {2}} {L}} \, s \ right) = \\ = \ Phi _ {0} + \ operatorname {arctan} \ left ({\ frac {\ sqrt {E ^ {2} -P ^ {2}}} {R _ {\ mathrm {min}} \, \ имя оператора {sgn} {(L)}}} \, s \ справа). \ end {align}}}

Более полезным для наших целей является наблюдение, что траектория нулевой проекции в любой пространственный гиперсрез T = T 0 {\ displaystyle T = T_ {0}}T = T_0 ), конечно, прямая линия, заданная как

R = R мин сек ⁡ (Φ - Φ 0). {\ displaystyle R = R _ {\ mathrm {min}} \, \ sec (\ Phi - \ Phi _ {0}).}{\ Displaystyle R = R _ {\ mathrm {min}} \, \ sec (\ Phi - \ Phi _ {0}).}

Чтобы получить минимальный радиус прямой через две точки (на одной стороне точки наибольшего приближения к), мы решаем

R 1 = R min sec (Φ 1 - Φ 0), R 2 = R min sec ⁡ (Φ 2 - Φ 0) {\ displaystyle R_ {1} = R _ {\ mathrm {min}} \, \ sec (\ Phi _ {1} - \ Phi _ {0}), \; \; R_ {2} = R _ {\ mathrm {min}} \, \ sec (\ Phi _ {2} - \ Phi _ {0})}{\ displaystyle R_ {1 } = R _ {\ mathrm {min}} \, \ sec (\ Phi _ {1} - \ Phi _ {0}), \; \; R_ {2} = R _ {\ mathrm {min}} \, \ sec (\ Phi _ {2} - \ Phi _ {0})}

, что дает

R min = R 1 R 2 | sin ⁡ (Φ 2 - Φ 1) | R 1 2 - 2 R 1 R 2 соз ⁡ (Φ 2 - Φ 1) + R 2 2. {\ Displaystyle R _ {\ mathrm {min}} = {\ frac {R_ {1} \, R_ {2} \, | \ sin (\ Phi _ {2} - \ Phi _ {1}) |} {\ sqrt {R_ {1} ^ {2} -2 \, R_ {1} \, R_ {2} \, \ cos ( \ Phi _ {2} - \ Phi _ {1}) + R_ {2} ^ {2}}}}.}{\ displaystyle R _ {\ mathrm {min}} = {\ frac {R_ {1} \, R_ {2} \, | \ sin (\ Phi _ {2} - \ Phi _ {1}) |} {\ sqrt {R_ {1} ^ {2} -2 \, R_ {1} \, R_ {2} \, \ cos ( \ Phi _ {2} - \ Phi _ {1}) + R_ {2} ^ {2}}}}.}

Теперь рассмотрим простейший случай, радиальные нулевые геодезические (R min = L = 0, E = 1, P = 0). Радиальная нулевая геодезическая с внешней границей может быть записана в форме

T = s, Z = Z 0, R = s, {\ displaystyle T = s, \; Z = Z_ {0}, \; R = s,}{\ displaystyle T = s, \; Z = Z_ {0}, \; R = s,}
Φ = const. = ω R 0 {\ displaystyle \ Phi = \ mathrm {const.} = \ omega \, R_ {0}}{\ displaystyle \ Phi = \ mathrm {const.} = \ omega \, R_ {0}}

с радиусом R 0 кольца, едущего наблюдателем Ланжевена (см. рис. 4). Переходя к диаграмме Борна, находим, что траекторию можно записать как

r = r 0 - ϕ ω. {\ displaystyle r = r_ {0} - {\ frac {\ phi} {\ omega}}.}{\ displaystyle r = r_ {0} - {\ frac {\ phi} {\ omega}}.}

На диаграмме Борна дорожки оказываются слегка изогнутыми (см. зеленую кривую на рис. 4). Из раздела Преобразование в карту Борна мы видим, что в диаграмме Борна мы не должны должным образом называть эти «следы» «проекциями», поскольку для наблюдателя Ланжевена ортогональный гиперсрез для t = t 0 не существует (см. Рис. 3).

Аналогично для радиальных нулевых геодезических, ограниченных внутрь, мы получаем

r = ϕ ω {\ displaystyle r = {\ frac {\ phi} {\ omega}}}{\ displaystyle r = {\ frac {\ phi} {\ omega}}}

, изображенное красной кривой на рис. 4.

Обратите внимание, что для того, чтобы послать лазерный импульс в сторону наблюдателя S при R = 0, наблюдатель Ланжевена L должен прицелиться немного назад, чтобы исправить свое движение. Поворачивая все вокруг, как и ожидал бы охотник на уток, чтобы послать лазерный импульс на наблюдателя Ланжевена, едущего по кругу, вращающемуся против часовой стрелки, центральный наблюдатель должен целиться в текущем положении этого наблюдателя, а в этом положении он прибудет. как раз вовремя, чтобы перехватить сигнал. Эти семейства радиальных нулевых геодезических, ограниченных внутренних и наружу, представляют собой очень разные кривые проекции времени, и их совпадают при ω>0.

Рис. 6: нулевая геодезическая дуга, изображенная на диаграмме Борна, которая моделирует сигнал, отправляемый от одного наблюдателя на кольце к другому. Мировые линии этих наблюдателей показаны синими вертикальными линиями; центр симметрии - зеленая вертикальная линия. Обратите внимание, что наша нулевая геодезическая (янтарная дуга) кажется слегка изогнутой внутрь (см. Также зеленую кривую на рис. 5).

Точно так же нулевые геодезические между кольцевыми наблюдателями Ланжевена выглядят слегка изогнутыми внутрь на карту Борна, если геодезические распространяются с направлением вращения (см. Зеленую кривую на рис. 5). Чтобы убедиться в этом, запишите уравнение нулевой геодезической в ​​цилиндрической карте в виде

T = R min tan ⁡ (Φ), {\ displaystyle T = R _ {\ mathrm {min}} \, \ tan (\ Phi),}{\ displaystyle T = R _ {\ mathrm {min}} \, \ tan (\ Phi),}
R = R мин с (Φ). {\ displaystyle R = R _ {\ mathrm {min}} \, \ sec (\ Phi).}{\ displaystyle R = R _ {\ mathrm {min}} \, \ sec (\ Phi). }

Преобразуясь в координаты Борна, мы получаем уравнения

t = rmin tan ⁡ (ϕ + ω t), {\ displaystyle t = r _ {\ mathrm {min}} \, \ tan (\ phi + \ omega \, t),}{ \ displaystyle t = r _ {\ mathrm {min}} \, \ загар (\ phi + \ omega \, t),}
r = rmin sec ⁡ (ϕ + ω t). {\ displaystyle r = r _ {\ mathrm {min}} \, \ sec (\ phi + \ omega \, t).}{\ displaystyle r = r _ {\ mathrm {min}} \, \ sec (\ phi + \ omega \, t).}

Удаление ϕ дает

r = rmin 2 + t 2 {\ displaystyle r = {\ sqrt {r _ {\ mathrm {min}} ^ {2} + t ^ {2}}}}{\ displaystyle r = {\ sqrt {r _ {\ mathrm {min}} ^ {2} + t ^ {2}}}}

, который показывает, что геодезическая действительно кажется изгибающейся внутрь (см. рис. 6). Мы также находим, что

ϕ = - ω t + arctan ⁡ (t / r m i n). {\ displaystyle \ phi = - \ omega \, t + \ operatorname {arctan} (t / r _ {\ mathrm {min}}).}{\ displaystyle \ phi = - \ omega \, t + \ operatorname {arctan} (t / r_ {\ mathrm {min}}).}

Для нулевых геодезических, распространяющихся против вращения (красная кривая на рис. 5)), мы получаем

r = rmin 2 + t 2, {\ displaystyle r = {\ sqrt {r _ {\ mathrm {min}} ^ {2} + t ^ {2}}},}{\ displaystyle r = {\ sqrt {r _ {\ mathrm {min}} ^ { 2} + t ^ {2}}},}
ϕ = - ω t - arctan ⁡ (t / rmin) {\ displaystyle \ phi = - \ omega \, t- \ operatorname {arctan} (t / r _ {\ mathrm {min}})}{\ displaystyle \ phi = - \ omega \, t- \ operatorname {arctan} (t / r _ {\ mathrm {min}})}

и геодезическая слегка изгибается наружу. Это завершает описание появления нулевых геодезических в диаграмме Борна, поскольку каждая нулевая геодезическая точка является любой радиальной, либо имеет некоторую точку наибольшего приближения к оси цилиндрической симметрии.

Обратите внимание (см. Рис. 5), что едущий по кольцу наблюдатель, пытающийся послать лазерный импульс другому наблюдателю, едущему по кольцу, должен прицелиться немного вперед или назад от своей угловой координаты. для компенсации вращательного движения цели. Также обратите внимание, что представленное здесь изображение полностью совместимо с ожиданием (см. внешний вид ночного неба ), что движущийся наблюдатель увидит видимое положение других объектов на своей небесной сфере, которые будут смещены в направлении его движения.

Радиолокационная дальность в большом

Рис. 7: Этот схематический рисунок радиолокационного расстояния между наблюдающим за кольцом и статическим центральным наблюдателем (с той же координатой Z).

Даже в плоском визуальном времени оказывается, что ускоряющиеся наблюдатели (даже линейно ускоряющие наблюдатели; см. Координаты Риндлера ) могут использовать различные, но важные с точки зрения работы понятия расстояния. Пожалуй, самый простой из них - это радиолокационная дальность.

Рассмотрим, как статический наблюдатель при R = 0 может определить расстояние до наблюдателя, едущего по кольцу при R = R 0. В событии C он посылает радиолокационный импульс к кольцу, который поражает мировую линию наблюдающего за кольцом в A ′, а возвращается к центральному наблюдателю в событии C ″. (См. Правую диаграмму на рис. 7.) Затем он делит прошедшее время (измеренное иде часами, которые он носит) на два. Нетрудно увидеть, что для этого расстояния он просто получает R 0 (в цилиндрической диаграмме) или r 0 (в диаграмме Борна).

Точно так же наблюдатель на кольце может определить свое расстояние до центрального наблюдателя, послав импульс радара в событии A в направлении центрального наблюдателя, который попадает в его мировую линию в событии C ′ и возвращается наблюдающему за кольцом в событии A ″. (См. Левую диаграмму на рис. 7.) Нетрудно увидеть, что для этого расстояния он получает R 0 1 - ω 2 R 0 2 {\ displaystyle R_ {0} {\ sqrt {1- \ омега ^ {2 } \, R_ {0} ^ {2}}}}R_ {0} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R_ {0} ^ {2}}} (в цилиндрической диаграмме) или r 0 1 - ω 2 r 0 2 {\ displaystyle r_ {0} {\ sqrt {1 - \ omega ^ {2} \, r_ {0} ^ {2}}}}r_ {0} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r_ {0} ^ {2}}} (в диаграмме Борна), результат несколько меньше, чем результат, полученный центральный наблюдатель. Это следствие замедления времени: прошедшее время для наблюдателя, едущего по кольцу, меньше в раз: ω 2 r 0 2 {\ displaystyle {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r_ {0} ^ {2 }}}}{\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r_ {0} ^ {2}}} , чем время для центрального наблюдателя. Таким образом, хотя радарное расстояние имеет простое эксплуатационное значение, оно даже не симметрично.

Рис. 8: Этот рисунок представляет собой схему радиолокационного расстояния между двумя наблюдателями Ланжевена, движущимися по кольцу с радиусом R 0, которое вращается с угловой скоростью ω. На левой диаграмме кольцо вращается против часовой стрелки; на правой диаграмме он вращается по часовой стрелке.

Чтобы добраться до этой критической точки, сравните радиолокационные расстояния, полученные двумя наблюдателями в радиальной координате R = R 0. На левой диаграмме на рис. 8 мы можем записать координаты событий A как

T = 0, Z = 0, X = R 0, Y = 0 {\ displaystyle T = 0, \; Z = 0, \; X = R_ {0}, Y = 0}T = 0, \; Z = 0, \; X = R_ {0}, Y = 0

и мы можем записать координаты событий B ′ как

T = 2 R 0 sin ⁡ (Φ 2), Z = 0, {\ Стиль отображения T = 2 \, R_ {0} \, \ sin \ left ({\ frac {\ Phi} {2}} \ right), \; Z = 0,}T = 2 \, R_ {0} \, \ sin \ left ({\ frac {\ Phi} {2}} \ right), \; Z = 0,
Икс знак равно р 0 соз ⁡ (Φ), Y знак равно р 0 ⁡ (Φ) {\ displaystyle X = R_ {0} \ cos (\ Phi), \; Y = R_ {0} \ sin (\ Phi)}X = R_ {0} \ cos (\ Phi), \; Y = R_ {0} \ sin (\ Phi)

Записывая неизвестное прошедшее собственное время как Δ s {\ displaystyle \ Delta s}\ Delta s , теперь мы запишем координаты события A ″ как

T = Δ s 1 - ω 2 R 0 2, Z = 0 {\ Displaystyle T = {\ frac {\ Delta s} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R_ {0} ^ {2}}}}, \; Z знак равно 0}T = {\ frac {\ Delta s} {{\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R_ {0} ^ {2}}} }}, \; Z = 0
Икс = R 0 соз ⁡ (ω Δ s 1 - ω 2 R 0 2), Y = R 0 грех ⁡ (ω Δ s 1 - ω 2 R 0 2) {\ displaystyle X = R_ {0} \ cos \ left ({\ frac {\ omega \, \ Delta s} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R_ {0} ^ {2}})}} \ right), \; Y = R_ {0} \ sin \ left ({\ frac {\ omega \, \ Delta s} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R_ {0} ^ {2}}}} \ right)}X = R_ {0} \ cos \ left ({\ frac {\ omega \, \ Delta s} {{\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R_ {0} ^ {2}}}} \ right), \; Y = R_ {0} \ sin \ left ({\ frac {\ omega \, \ Delta s} {{\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R_ {0} ^ {2}}}}} \ right)

Требуя, чтобы отрезки линии, соединяющие эти события, равны нулю, мы получаем уравнение, которое в принципе можно решить относительно Δ s. Оказывается, эта процедура дает довольно сложное численное уравнение, поэтому мы представляем некоторые представительные. При R 0 = 1, Φ = π / 2 и ω = 1/10 мы находимся, что радарное расстояние от A до B составляет около 1,311, а расстояние от B до A составляет около 1,510. Когда ω стремится к нулю, оба результата стремятся к √2 = 1,414 (см. Также рис. 5).

Несмотря на эти, возможно, обескураживающие несоответствия, отнюдь не невозможно разработать координатную карту, которая адаптирована для описания физического опыта одного ланжевеновского наблюдателя или даже одного произвольно ускоряющегося наблюдателя в пространстве-времени Минковского. Паури и Валлиснери адаптировали процедуру синхронизации часов Мерцке-Уиллера для разработки адаптированных координат, которые они называют координатами Мерцке-Уиллера (см. Статью, цитируемую ниже). В случае устойчивого кругового движения эта диаграмма на самом деле очень тесно связана с понятием радиолокационного расстояния «в целом» от данного ланжевеновского наблюдателя.

Радиолокационное расстояние в малом

Как было упомянуто выше, по разным причинам семья ланжевеновских наблюдателей не допускает семейства ортогональных гиперпространств. Следовательно, эти наблюдатели просто не могут быть связаны с каким-либо разрезом пространства-времени на семейство последовательных «постоянных временных слоев».

Однако, поскольку сравнение Ланжевена стационарно, мы можем представить замену каждой мировой линии в этом сравнении точкой. То есть мы можем рассматривать фактор-пространство пространства-времени Минковского (или, скорее, топологическое многообразие области 0 < R < 1/ω) by the Langevin congruence, which is a three-dimensional . Еще лучше, мы можем разместить риманову метрику на это частное многообразие, превращая его в трехмерное пространство. имеет многообразие таким образом, что метрика простое операциональное значение.

Чтобы убедиться в этом, посмотрите элемент линии Борна

ds 2 Знак равно - (1 - ω 2 r 2) dt 2 + 2 ω r 2 dtd ϕ + dz 2 + dr 2 + r 2 d ϕ 2, {\ Displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - (1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}) \, \ mathrm {d} t ^ {2} +2 \, \ omega \, r ^ {2} \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ phi + \ mathrm {d} z ^ {2} + \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2},}{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - (1 - \ omega ^ {2} \, r ^ {2}) \, \ mathrm {d} t ^ {2} +2 \, \ omega \, r ^ {2} \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ phi + \ mathrm {d} z ^ {2} + \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2},}
- ∞ < t, z < ∞, 0 < r < 1 ω, − π < ϕ < π. {\displaystyle -\infty {\ displaystyle - \ infty <t, z <\ infty, \; \; 0 <r <{\ frac {1} {\ omega}}, \; \; - \ pi <\ phi <\ pi.}

Полагая ds = 0 и решая для dt, получаем

dt + = ω r 2 d ϕ + (1 - ω 2 р 2) (dz 2 + dr 2) + r 2 d ϕ 2 1 - ω 2 р 2, {\ displaystyle \ mathrm {d} t _ {+} = {\ frac {\ omega \, r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi + {\ sqrt {(1 - \ omega ^ {2} \, r ^ {2}) \; (\ mathrm {d} z ^ {2} + \ mathrm {d} r ^ {2}) + r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2}}}} {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}},}{\ displaystyle \ mathrm {d} t _ {+} = {\ frac {\ omega \, r ^ {2} \, \ mathrm { d} \ phi + {\ sqrt {(1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}) \; (\ mathrm {d} z ^ {2} + \ mathrm {d} r ^ {2}) + r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2}}}} {1- \ omega ^ {2} \, г ^ {2}}},}
dt - = ω r 2 d ϕ - (1 - ω 2 r 2) (dz 2 + dr 2) + r 2 d ϕ 2 1 - ω 2 р 2. {\ Displaystyle \ mathrm {d} t _ {-} = {\ frac {\ omega \, r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi - {\ sqrt {(1- \ омега ^ {2} \, г ^ {2}) \; (\ mathrm {d} z ^ {2} + \ mathrm {d} r ^ {2}) + r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2}}}} {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}.}{\ displaystyle \ mathrm {d} t _ {-} = {\ frac {\ omega \, r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi - {\ sqrt {(1 - \ omega ^ {2} \, r ^ {2}) \; (\ mathrm {d} z ^ {2} + \ mathrm {d} r ^ {2}) + r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2}}}} {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}.}

Истекшее собственное время для обратного радиолокационного сигнала, испускаемого наблюдателем Ланжевена, тогда составляет

1 - ω 2 r 2 dt + - dt - 2 = dz 2 + dr 2 + р 2 d ϕ 2 1 - ω 2 р 2. {\ displaystyle {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}} \; {\ frac {\ mathrm {d} t _ {+} - \ mathrm {d} t _ {-}} {2}} = {\ sqrt {\ mathrm {d} z ^ {2} + \ mathrm {d } r ^ {2} + {\ frac {r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2}} {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}}}.}{\ displaystyle {\ sqrt {1- \ omega ^ { 2} \, г ^ {2}}} \; {\ гидроразрыв {\ mathrm {d} t _ {+} - \ mathrm {d} t _ {-}} {2}} = {\ sqrt {\ mathrm {d} z ^ {2} + \ ma thrm { d} r ^ {2} + {\ frac {r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2}} {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}} }.}

Следовательно, в нашем фактор-множестве римановый линейный элемент

d σ 2 = dz 2 + dr 2 + р 2 d ϕ 2 1 - ω 2 р 2, {\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma ^ {2} = \ mathrm {d} z ^ {2} + \ mathrm {d} r ^ {2} + {\ frac {r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2}} {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}},}{\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma ^ {2} = \ mathrm {d} z ^ {2} + \ mathrm {d} r ^ {2} + {\ гидроразрыв {r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2}} {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}},}
- ∞ < t < ∞, 0 < r < 1 ω, − π < ϕ < π {\displaystyle -\infty - \ infty <t <\ infty, \; \; 0 <r <{\ frac {1} {\ omega}}, \; \; - \ pi <\ phi <\ pi

расстояния между бесконечно близкими ланжевеновскими наблюдателями. Мы будем называть это метрикой Ланжевена-Ландау-Лифшица, и мы можем назвать это понятие дальности радиолокационного расстояния «в малом».

Эта метрика была впервые дана Ланжевеном, но интерпретация с точки зрения радиолокационного положения «в малом» была дана Львом Ландау и Евгением Лифшицем, который обобщил эту конструкцию для работы для частного любого лоренцевого множества по стационарной времениподобной конгруэнции.

IIЕсли мы используем coframe

θ 1 ^ = dz, θ 2 ^ = dr, θ 3 ^ = rd ϕ 1 - ω 2 r 2 {\ displaystyle \ theta ^ {\ hat { 1}} = \ mathrm {d} z, \; \; \ theta ^ {\ hat {2}} = \ mathrm {d} r, \; \; \ theta ^ {\ hat {3}} = {\ frac {r \, \ mathrm {d} \ phi} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}}}{\ displaystyle \ theta ^ {\ hat {1}} = \ mathrm {d} z, \; \; \ theta ^ {\ hat {2}} = \ mathrm {d} r, \; \; \ theta ^ {\ hat {3}} = {\ frac {r \, \ mathrm {d} \ phi} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}}}

мы можем легко вычислить риманову кривизну тензор нашего трехмерного факторамногообразия. Он имеет только две независимые нетривиальные компоненты,

R 2 ^ 3 ^ 2 ^ 3 ^ = - 3 ω 2 (1 - ω 2 r 2) 2 = - 3 ω 2 + O (ω 4 r 2), {\ displaystyle {R ^ {\ hat {2}}} _ {{\ hat {3}} {\ hat {2}} {\ hat {3}}} = {\ frac {-3 \, \ omega ^ {2 }} {(1- \ omega ^ {2} r ^ {2}) ^ {2}}} = - 3 \, \ omega ^ {2} + O (\ omega ^ {4} \, r ^ {2 }),}{\ displaystyle {R ^ {\ hat {2}}} _ {{\ hat {3}} {\ hat {2}} {\ hat {3}}} = {\ frac {-3 \, \ omega ^ {2}} {(1- \ omega ^ {2} r ^ {2}) ^ {2}}} = - 3 \, \ omega ^ {2} + O (\ omega ^ {4} \, r ^ {2}),}
R 3 ^ 2 ^ 3 ^ 2 ^ = - 3 ω 2 r 2 (1 - ω 2 r 2) 3 = - 3 ω 2 r 2 + O (ω 4 r 4). {\ displaystyle {R ^ {\ hat {3}}} _ {{\ hat {2}} {\ hat {3}} {\ hat {2}}} = {\ frac {-3 \, \ omega ^ {2} \, r ^ {2}} {(1- \ omega ^ {2} r ^ {2}) ^ {3}}} = - 3 \, \ omega ^ {2} \, r ^ {2 } + O (\ omega ^ {4} \, r ^ {4}).}{\ displaystyle {R ^ {\ hat {3}}} _ {{\ hat {2}} {\ hat {3}} {\ hat {2}}} = {\ frac {-3 \, \ omega ^ {2} \, r ^ {2}} {(1- \ омега ^ {2} r ^ {2}) ^ {3}}} = - 3 \, \ omega ^ {2} \, r ^ {2} + O (\ omega ^ {4} \, r ^ {4}).}

Таким образом, геометрия в некотором смысле вращающегося диска искривлена, как утверждал Теодор Калуца ​​ (без доказательства) еще в 1910 году. Фактически, во втором порядке по ω он имеет геометрию гиперболической плоскости, как и утверждал Калуца.

Предупреждение..

Чтобы понять этот важный момент, давайте воспользуемся метрикой Ландау-Лифшица для наблюдения за наблюдателем Ланжевена, едущим по кольцу с радиусом R 0, и центральным статическим наблюдателем. Для этого нам нужно только интегрировать наш линейный элемент по соответствующему нулевому геодезическому пути. Из нашей предыдущей работы мы видим, что мы должны подключить

dr = d ϕ ω, dz = 0 {\ displaystyle \ mathrm {d} r = {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ omega}}, \, \ mathrm {d} z = 0}{\ displaystyle \ mathrm {d} r = {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ omega}} \, \ mathrm { d} z = 0}

в наш линейный элемент и проинтегрируем

∫ 0 Δ d σ = ∫ 0 r 0 (1 + ω 2 r 2 1 - ω 2 r 2) 1 2 доктор {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ Delta} \ mathrm {d} \ sigma = \ int \ limits _ {0} ^ {r_ {0}} {\ left (1 + {\ frac {\ omega ^ {2} r ^ {2}} {1- \ omega ^ {2} r ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}} \, \ mathrm {d} r. }{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ Delta} \ mathrm {d} \ sigma = \ int \ limits _ {0} ^ {r_ {0}} {\ left (1 + {\ frac {\ omega ^ {2} r ^ {2}}) {1- \ omega ^ {2} г ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}} \, \ mathrm {d} r.}

Это дает

Δ = ∫ 0 r 0 dr 1 - ω 2 r 2 = arcsin ⁡ (ω r 0) ω = r 0 + ω 2 r 0 3 6 + O (r 0 5). {\ displaystyle \ Delta = \ int _ {0} ^ {r_ {0}} {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}} }} = {\ frac {\ arcsin (\ omega r_ {0})} {\ omega}} = r_ {0} + {\ frac {\ omega ^ {2} \, r_ {0} ^ {3}} {6} + O (r_ {0} ^ {5}).}{\ displaystyle \ Delta = \ int _ {0} ^ {r_ {0}} {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}} = {\ frac {\ arcsin (\ o мега r_ {0})} {\ omega}} = r_ {0} + {\ frac {\ omega ^ {2} \, r_ {0} ^ {3}} {6}} + O (r_ {0} ^ {5}).}

Когда мы сейчас имеем дело с римановой метрикой, это положение расстояния, конечно, симметрично при смене двухателей, в отличие от расстояния на радаре "в большой". Значения, составляют в этом понятии, противоречат радиолокационным представлением "в целом", вычисленным в предыдущем разделе. Ландау-Лифшица согласуется с соглашением о синхронизации Эйнштейна, что только что вычисленный тензор кривизны практическое значение: в то время как радарное расстояние в целом между парами ланжевеновских наблюдателей определенно не Риманово сущность расстояния, расстояние между парами ланжевеновских наблюдателей определенно не парами ближайших ланжевеновских наблюдателей действительно соответствует риманову расстояниям, заданному метрикой Ланжевена-Ландау-Лифшица. (В удачной фразе кинотеатр Говарда Перси Робертсона, этоематика им Кляйнена.)

Один из способов убедиться, что все разумные представления о пространственном расстоянии для наших ланжевеновских наблюдателей согласны с ближайшими наблюдателями - показать, следуя Натану Розену, что для любого ланжевеновского наблюдателя мгновенно движущийся инерционный наблюдатель также попадания, заданные метрикой Ланжевена-Ландау-Лифшица, для очень малых расстояний.

См. Также

Ссылки

Несколько статей, представляющих исторический интерес:

Несколько классических ссылок:

  • Grøn, Ø. (1975). «Релятивистское описание вращающегося диска». Am. J. Phys. 43 (10): 869–876. Bibcode : 1975AmJPh..43..869G. doi : 10.1119 / 1.9969.
  • Ландау, Л. Д. Лифшиц, Э. М. (1980). Классическая теория поля (4-е изд.). Лондон: Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-2768-9.См. Раздел 84, где описана метрика Ландау-Лифшица на частное лоренцево многообразие по стационарному сравнению; см. проблема в конце раздела 89 для приложения к наблюдателям Ланжевена.

Избранные недавние источники:

  • Рицци, Дж. И Руджеро, М. Л. (2004). Относительность во вращающихся системах отсчета. Дордрехт: Клувер. ISBN 1-4020-1805-3.Эта книга содержит ценный исторический обзор Эйвинда Грена и некоторые другие статьи о парадоксе Эренфеста и связанные с ним этим противоречия, а также статья Луиса Беля, в котором обсуждается сравнение Ланжевена. В этой книге можно найти дополнительных ссылок.
  • Паури, Массимо и Валлиснери, Микеле (2000). «Координаты Мерцке-Уиллера для ускоренных наблюдателей в специальной теории относительности». Найденный. Phys. Lett. 13 (5): 401–425. Bibcode : 2000gr.qc..... 6095P. doi : 10.1023 / A: 1007861914639. S2CID 15097773.Изучение координатной карты, построенной с использованием радиолокационного расстояния "в большом" от одного наблюдателя Ланжевена. См. Также версия eprint.

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-13 06:59:09
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте