Условия интерфейса для электромагнитных полей

редактировать

Условия интерфейса описывают поведение электромагнитных полей ; электрическое поле, электрическое поле смещения и магнитное поле на границе раздела двух материалов. Дифференциальные формы этих уравнений требуют, чтобы всегда существовала открытая окрестность вокруг точки, к которой они применяются, иначе векторные поля и H не будут дифференцируемыми. Другими словами, среда должна быть непрерывной. На границе двух разных сред с разными значениями электрической диэлектрической проницаемости и магнитной проницаемости это условие не применяется.

Однако условия интерфейса для векторов электромагнитного поля могут быть получены из интегральных форм уравнений Максвелла.

Содержание

1 Условия интерфейса для векторов электрического поля
- 1.1 Напряженность электрического поля
- 1.2 Поле электрического смещения
2 Условия интерфейса для векторов магнитного поля
- 2.1 Для плотности магнитного потока
- 2.2 Для напряженности магнитного поля
3 Обсуждение в зависимости от среды рядом с границей раздела
- 3.1 Если среда 1 и 2 являются идеальными диэлектриками
- 3.2 Если среда 1 является идеальным диэлектриком, а среда 2 - идеальным металлом
4 Граничные условия
5 См. Также
6 Ссылки

Условия интерфейса для векторов электрического поля

Напряженность электрического поля

n 12 × (E 2 - E 1) = 0 {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {12} \ times (\ mathbf {E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1}) = \ mathbf {0}}

\ mathbf {n} _ {12} \ times (\ mathbf {E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1}) = \ mathbf {0}

где:. $n 12 {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {12}}$ $\ mathbf {n} _ {12}$ - это вектор нормали от среды 1 до среды 2.

Следовательно, тангенциальный компонент из E непрерывно проходит через интерфейс.

Схема доказательства из закона Фарадея
Начнем с интегральной формы закона Фарадея: $∮ ∂ Σ E ⋅ d ℓ = - ∫ Σ ∂ B ∂ t ⋅ d A {\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} = - \ int _ {\ Sigma} {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t} } \ cdot d \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell} } = - \ int _ {\ Sigma} {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \ cdot d \ mathbf {A}}$ Выберите $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ в виде маленького квадрата поперек интерфейса. Затем сделайте так, чтобы стороны, перпендикулярные границе раздела, сжались до бесконечно малой длины. Область интеграции теперь выглядит как линия с нулевой площадью. Другими словами: $длина линии lim → 0 A = 0 {\ displaystyle \ lim _ {linelength \ to 0} \ mathbf {A} = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {linelength \ to 0} \ mathbf {A} = 0}$ Поскольку $∂ B / ∂ t {\ displaystyle \ partial \ mathbf {B} / \ partial t}$ ${\ displaystyle \ partial \ mathbf {B} / \ partial t}$ остается конечным в этом пределе, вся правая часть стремится к нулю. Остается только: $∮ ∂ Σ ⁡ E ⋅ d ℓ = 0 {\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} = 0}$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} = 0}$ Две наши стороны бесконечно малы, остается только $∫ средний 1 E ⋅ d ℓ + ∫ средний 2 E ⋅ d ℓ = 0 {\ displaystyle \ int _ {medium1} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} + \ int _ {medium2} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} = 0}$ ${\ displaystyle \ int _ {medium1} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} + \ int _ {medium2} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} = 0}$ Предполагая, что мы сделали наш квадрат достаточно маленьким, чтобы E было примерно постоянным, его величину можно вывести из интеграла. Поскольку оставшиеся стороны нашего исходного цикла, $d ℓ {\ displaystyle d {\ boldsymbol {\ ell}}}$ $d {\ boldsymbol {\ ell}}$ в каждой области идут в противоположных направлениях, поэтому мы определяем одну из них как касательный единичный вектор $t {\ displaystyle {\ boldsymbol {t}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {t}}}$ , а другой как $- t {\ displaystyle - {\ boldsymbol {t}}}$ ${\ displaystyle - {\ boldsymbol {t}}}$ $(E 2 ⋅ t) l - (E 1 ⋅ t) l знак равно 0 {\ displaystyle (\ mathbf {E} _ {2} \ cdot {\ boldsymbol {t}}) l - (\ mathbf {E} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {t}}) l = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {E} _ { 2} \ cdot {\ boldsymbol {t}}) l - (\ mathbf {E} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {t}}) l = \ mathbf {0}}$ После деления на l и перестановки $(E 2 - E 1) ⋅ t = 0 {\ displaystyle (\ mathbf { E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1}) \ cdot {\ boldsymbol {t}} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf { E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1}) \ cdot {\ boldsymbol {t}} = \ mathbf {0}}$ Этот аргумент работает для любого тангенциального направления. Разница в электрическом поле, нанесенная на любой тангенциальный вектор, равна нулю, что означает, что только компоненты $E {\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf { E}$ , параллельные вектору нормали, могут изменяться между средами. Таким образом, разность вектора электрического поля параллельна вектору нормали. Два параллельных вектора всегда имеют нулевое перекрестное произведение. $n 12 × (E 2 - E 1) = 0 {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {12} \ times (\ mathbf {E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1}) = \ mathbf {0}}$ $\ mathbf {n} _ {12} \ times (\ mathbf {E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1}) = \ mathbf {0}$

Схема доказательства из закона Фарадея

Начнем с интегральной формы закона Фарадея:

∮ ∂ Σ E ⋅ d ℓ = - ∫ Σ ∂ B ∂ t ⋅ d A {\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} = - \ int _ {\ Sigma} {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t} } \ cdot d \ mathbf {A}}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell} } = - \ int _ {\ Sigma} {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \ cdot d \ mathbf {A}}

Выберите

Σ {\ displaystyle \ Sigma}

\ Sigma

в виде маленького квадрата поперек интерфейса. Затем сделайте так, чтобы стороны, перпендикулярные границе раздела, сжались до бесконечно малой длины. Область интеграции теперь выглядит как линия с нулевой площадью. Другими словами:

длина линии lim → 0 A = 0 {\ displaystyle \ lim _ {linelength \ to 0} \ mathbf {A} = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {linelength \ to 0} \ mathbf {A} = 0}

Поскольку

∂ B / ∂ t {\ displaystyle \ partial \ mathbf {B} / \ partial t}

{\ displaystyle \ partial \ mathbf {B} / \ partial t}

остается конечным в этом пределе, вся правая часть стремится к нулю. Остается только:

∮ ∂ Σ ⁡ E ⋅ d ℓ = 0 {\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} = 0}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} = 0}

Две наши стороны бесконечно малы, остается только

∫ средний 1 E ⋅ d ℓ + ∫ средний 2 E ⋅ d ℓ = 0 {\ displaystyle \ int _ {medium1} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} + \ int _ {medium2} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} = 0}

{\ displaystyle \ int _ {medium1} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} + \ int _ {medium2} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} = 0}

Предполагая, что мы сделали наш квадрат достаточно маленьким, чтобы E было примерно постоянным, его величину можно вывести из интеграла. Поскольку оставшиеся стороны нашего исходного цикла,

d ℓ {\ displaystyle d {\ boldsymbol {\ ell}}}

d {\ boldsymbol {\ ell}}

в каждой области идут в противоположных направлениях, поэтому мы определяем одну из них как касательный единичный вектор

t {\ displaystyle {\ boldsymbol {t}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {t}}}

, а другой как

- t {\ displaystyle - {\ boldsymbol {t}}}

{\ displaystyle - {\ boldsymbol {t}}}

(E 2 ⋅ t) l - (E 1 ⋅ t) l знак равно 0 {\ displaystyle (\ mathbf {E} _ {2} \ cdot {\ boldsymbol {t}}) l - (\ mathbf {E} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {t}}) l = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle (\ mathbf {E} _ { 2} \ cdot {\ boldsymbol {t}}) l - (\ mathbf {E} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {t}}) l = \ mathbf {0}}

После деления на l и перестановки

(E 2 - E 1) ⋅ t = 0 {\ displaystyle (\ mathbf { E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1}) \ cdot {\ boldsymbol {t}} = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle (\ mathbf { E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1}) \ cdot {\ boldsymbol {t}} = \ mathbf {0}}

Этот аргумент работает для любого тангенциального направления. Разница в электрическом поле, нанесенная на любой тангенциальный вектор, равна нулю, что означает, что только компоненты $E {\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf { E}$ , параллельные вектору нормали, могут изменяться между средами. Таким образом, разность вектора электрического поля параллельна вектору нормали. Два параллельных вектора всегда имеют нулевое перекрестное произведение.

n 12 × (E 2 - E 1) = 0 {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {12} \ times (\ mathbf {E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1}) = \ mathbf {0}}

\ mathbf {n} _ {12} \ times (\ mathbf {E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1}) = \ mathbf {0}

Поле электрического смещения

(D 2 - D 1) ⋅ n 12 = σ s {\ displaystyle (\ mathbf {D} _ {2} - \ mathbf {D} _ { 1}) \ cdot \ mathbf {n} _ {12} = \ sigma _ {s}}

{\ displaystyle (\ mathbf {D} _ {2 } - \ mathbf {D} _ {1}) \ cdot \ mathbf {n} _ {12} = \ sigma _ {s}}

$n 12 {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {12}}$ $\ mathbf {n} _ {12}$ - это единица измерения вектор нормали от среды 1 к среде 2.. $σ s {\ displaystyle \ sigma _ {s}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {s}}$ - заряд поверхности плотность между средами (только неограниченные заряды, а не поляризация материалов).

Следовательно, нормальный компонент D имеет ступеньку поверхностного заряда на поверхности раздела. Если на границе раздела нет поверхностного заряда, нормальная составляющая D является непрерывной.

Условия интерфейса для векторов магнитного поля

Для плотности магнитного потока

(B 2 - B 1) ⋅ n 12 = 0 {\ displaystyle (\ mathbf {B} _ {2} - \ mathbf {B} _ {1}) \ cdot \ mathbf {n} _ {12} = 0}

(\ mathbf {B} _ {2} - \ mathbf {B} _ {1 }) \ cdot \ mathbf {n} _ {12} = 0

где:. $n 12 {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {12} }$ $\ mathbf {n} _ {12}$ - это вектор нормали от среды 1 до среды 2.

Следовательно, нормальный компонент B является непрерывным через интерфейс.

Для напряженности магнитного поля

n 12 × (H 2 - H 1) = js {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {12} \ times (\ mathbf {H} _ {2} - \ mathbf {H} _ {1}) = \ mathbf {j} _ {s}}

\ mathbf {n} _ {12 } \ times (\ mathbf {H} _ {2} - \ mathbf {H} _ {1}) = \ mathbf {j} _ {s}

где:. $n 12 {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {12}}$ $\ mathbf {n} _ {12}$ - единица измерения вектор нормали от среды 1 до среды 2.. $js {\ displaystyle \ mathbf {j} _ {s}}$ $\ mathbf {j} _ {s}$ - поверхность плотность тока между двумя средами (только неограниченный ток, не связанный с поляризацией материалов).

Следовательно, тангенциальный компонент в H является непрерывным по поверхности, если нет поверхностного тока.

Обсуждение в соответствии с носителями рядом с интерфейсом

Если среда 1 и 2 идеальны диэлектрики
На границе раздела нет зарядов или поверхностных токов, и поэтому касательная составляющая H и нормальная составляющая D также являются непрерывными.

Если среда 1 - идеальный диэлектрик, а среда 2 - идеальный металл
На границе раздела есть заряды и поверхностные токи, а значит, тангенциальная составляющая H и нормальный компонент D не являются непрерывными.
Граничные условия
Не следует путать граничные условия с условиями интерфейса. Для численных расчетов пространство, в котором выполняется расчет электромагнитного поля, должно быть ограничено некоторыми границами. Это делается путем принятия условий на границах, которые являются физически правильными и численно решаемыми за конечное время. В некоторых случаях граничные условия возвращаются к простому условию интерфейса. Самый обычный и простой пример - полностью отражающая граница (электрическая стена) - внешняя среда считается идеальным проводником. В некоторых случаях это более сложно: например, безотражающие (т.е. открытые) границы моделируются как идеально согласованный слой или магнитная стенка, которые не переходят в единую границу раздела.
См. Также
уравнения Максвелла
Ссылки