Тангенциальные и нормальные компоненты

Иллюстрация касательных и нормальных компонентов вектора к поверхности.

In математика, учитывая вектор в точке на кривой , этот вектор можно однозначно разложить как сумму двух векторов, один касательный к кривой, называемой тангенциальной составляющей вектора, и другой , перпендикулярной кривой, называемой нормальной составляющей вектора. Точно так же вектор в точке на поверхности может быть разбит таким же образом.

В более общем плане, для подмногообразия N многообразия M и вектора в касательном пространстве к M в точке N, его можно разложить на компонент, касательный к N, и компонент, нормальный к N.

• 1 Формальное определение
  • 1.1 Поверхность
  • 1.2 Подмногообразие
• 2 Вычисления
• 3 Приложения
• 4 Ссылки

Поверхность

Более формально, пусть $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$будет поверхностью, а $x\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\}$быть точкой на поверхности. Пусть $v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$будет вектором с координатой $x.\; \{\backslash \; displaystyle\; x.\}$Тогда можно однозначно записать $v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$как сумму

$v\; =\; v\; \parallel \; +\; v\; \perp \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{\backslash \; perp\}\}$

где первый вектор в сумме - тангенциальный компонент, а второй - нормальный компонент. Отсюда сразу следует, что эти два вектора перпендикулярны друг другу.

Чтобы вычислить тангенциальную и нормальную составляющие, рассмотрим единичную нормаль к поверхности, то есть единичный вектор $n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; шляпа\; \{n\}\}\}$перпендикулярно $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$в точке $x.\; \{\backslash \; displaystyle\; x.\}$Тогда

$v\; \perp \; =\; (v\; \cdot \; n\; ^)\; n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{\backslash \; perp\}\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\})\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}$

и, следовательно,

$v\; \parallel \; =\; v\; -\; v\; \perp \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{\backslash \; perp\}\}$

где «$\cdot \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cdot\}$» обозначает скалярное произведение. Другая формула для тангенциального компонента:

$v\; \parallel \; =\; -\; n\; ^\; \times \; (n\; ^\; \times \; v),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; =\; -\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\; \backslash \; times\; (\{\; \backslash \; hat\; \{n\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\}),\}$

где «$\times \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; times\}$» обозначает перекрестное произведение.

Обратите внимание, что эти формулы не зависят от конкретной используемой единичной нормали $n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}$(существуют две единичные нормали к любой поверхности в данной точке, указывающие противоположно направлений, поэтому одна из единичных нормалей является отрицательной по отношению к другой).

Подмногообразие

В более общем смысле, дано подмногообразие N многообразия M и точка $p\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; в\; N\}$мы получаем короткую точную последовательность, включающую касательные пространства :

$T\; p\; N\; \to \; T\; p\; M\; \to \; T\; p\; M\; /\; T\; p\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{p\}\; N\; \backslash \; to\; T\_\; \{p\}\; M\; \backslash \; to\; T\_\; \{p\}\; M\; /\; T\_\; \{p\}\; N\}$

Вышеупомянутая последовательность расщепляется, и касательное пространство M в точке p распадается как прямая сумма компонента, касательного к N, и компонента, нормального к N:

$T\; p\; M\; =\; T\; p\; N\; \oplus \; N\; p\; N:\; =\; (T\; p\; N)\; \perp \; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{p\}\; M\; =\; T\_\; \{p\}\; N\; \backslash \; oplus\; N\_\; \{p\}\; N:\; =\; (T\_\; \{p\}\; N)\; ^\; \{\backslash \; perp\}\}$

Таким образом, каждый касательный вектор $v\; \in \; T\; p\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \backslash \; in\; T\_\; \{p\}\; M\}$разбивается как $v\; =\; v\; \parallel \; +\; v\; \perp \; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; v\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; +\; v\; \_\; \{\backslash \; perp\}\}$, где $v\; \parallel \; \in \; T\; p\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; \backslash \; in\; T\_\; \{p\}\; N\}$и $v\; \perp \; \in \; N\; p\; N:\; =\; (T\; p\; N)\; \perp \; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; perp\}\; \backslash \; in\; N\_\; \{p\}\; N:\; =\; (T\_\; \{p\}\; N)\; ^\; \{\backslash \; perp\}\}$.

Предположим, N задается невырожденными уравнениями.

Если N задано явно через параметрические уравнения (например, параметрическая кривая ), то производная дает остовный набор для касательного пучка (это основа тогда и только тогда, когда параметризация - погружение ).

Если N задано неявно (как в приведенном выше описании поверхности, или, в более общем смысле, как гиперповерхность ) как набор уровней или пересечение поверхностей уровня для $gi\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{i\}\}$, тогда градиенты $gi\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{i\}\}$охватывают нормальный Космос.

В обоих случаях мы снова можем вычислить, используя скалярное произведение; Однако крестное произведение является особенным для 3-х измерений.

• Множители Лагранжа : ограниченные критические точки - это точки, в которых тангенциальный компонент полной производной обращается в нуль.
• Нормаль к поверхности

• Роянский, Владимир (1979). Электромагнитные поля и волны. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-63834-0.

• Бенджамин Кроуэлл (2003) Свет и материя. (онлайн-версия ).