Неоднородное уравнение электромагнитной волны

редактировать

волновые уравнения, описывающие распространение электромагнитных волн, генерируемых ненулевыми зарядами и токами источника

In Электромагнетизм и приложения, неоднородное уравнение электромагнитной волны или уравнение неоднородной электромагнитной волны, является одним из набора волновых уравнений описывающее распространение электромагнитных волн, генерируемых ненулевым источником зарядами и токами. Источники в волновых уравнениях делают уравнения в частных производных неоднородными, если исходные члены равны нулю, уравнения сводятся к однородным уравнениям электромагнитных волн. Уравнения следуют из уравнений Максвелла.

Содержание

1 Уравнения Максвелла
2 единицы СИ
- 2.1 E и B полей
- 2.2 A и потенциальные поля φ
3 Ковариантная форма уравнения неоднородной волны
4 Искривленное пространство-время
5 Решения уравнения неоднородной электромагнитной волны
6 См. Также
7 Ссылки
- 7.1 Электромагнетизм
  - 7.1.1 Журнальные статьи
  - 7.1.2 Учебники для бакалавриата
  - 7.1.3 Учебники для бакалавриата
- 7.2 Векторное исчисление

Уравнения Максвелла

Для Для справки, уравнения Максвелла суммированы ниже в единицах СИ и гауссовых единицах. Они управляют электрическим полем Eи магнитным полем Bблагодаря источнику плотности заряда ρ и плотности тока J:

Имя	SI единицы	единицы Гаусса
закон Гаусса	$∇ ⋅ E = ρ ε 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0 }}}}$ $\ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}$	$∇ ⋅ E = 4 π ρ {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = 4 \ pi \ rho}$ $\ nabla \ cdot \ mathbf {E} = 4 \ pi \ rho$
закон Гаусса для магнетизма	$∇ ⋅ B = 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}$ $\ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0$	$∇ ⋅ B = 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}$ $\ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0$
уравнение Максвелла – Фарадея (закон Фарадея индукция )	$∇ × E = - ∂ B ∂ t {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}$ $\ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}$	$∇ × E = - 1 с ∂ B ∂ T {\ Displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t }}}$ $\ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}$
Закон Ампера (с добавлением Максвелла)	$∇ × B = μ 0 (J + ε 0 ∂ E ∂ t) {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ му _ {0} \ left (\ mathbf {J} + \ varepsilon _ {0} { \ гидроразрыва {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \ right)}$ $\ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ left (\ mathbf {J} + \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \ right)$	$∇ × B = 1 c (4 π J + ∂ E ∂ t) {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf { B} = {\ frac {1} {c}} \ left (4 \ pi \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \ right)}$ $\ nabla \ times \ mathbf {B} = {\ frac {1} {c}} \ left (4 \ pi \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \ right)$

где ε 0 - проницаемость вакуума, а μ 0 - проницаемость вакуума. На всем протяжении отношения

ε 0 μ 0 = 1 c 2 {\ displaystyle \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0} = {\ dfrac {1} {c ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0} = {\ dfrac {1} {c ^ {2}}}}

также использовал.

единицы СИ

Eи B поля

Уравнения Максвелла могут напрямую давать неоднородные волновые уравнения для электрического поля E и магнитного поля Б . Подставляя закон Гаусса для электричества в ротор из закон индукции Фарадея, и используя ротор тождества ротора ∇ × ( ∇ × X ) = ∇ (∇ ⋅ X ) - ∇ X дает волновое уравнение для электрического поля E:

1 c 2 ∂ 2 E ∂ t 2 - ∇ 2 E = - (1 ε 0 ∇ ρ + μ 0 ∂ J ∂ t). {\ displaystyle {\ dfrac {1} {c ^ {2}}} {\ dfrac {\ partial ^ {2} \ mathbf {E}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} = - \ left ({\ dfrac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ nabla \ rho + \ mu _ {0} {\ dfrac {\ partial \ mathbf {J}} {\ частичное t}} \ right) \,.}

{\ dfrac {1} {c ^ {{2} }}} {\ dfrac {\ partial ^ {{2}} {\ mathbf {E}}} {\ partial t ^ {{2}}}} - \ nabla ^ {{2}} {\ mathbf {E} } = - \ left ({\ dfrac {1} {\ varepsilon _ {{0}}}} \ nabla \ rho + \ mu _ {{0}} {\ dfrac {\ partial {\ mathbf {J}}} {\ partial t}} \ right) \,.

Аналогичным образом подставляя закон Гаусса для магнетизма в ротор закона обхода Ампера (с дополнительным членом Максвелла, зависящим от времени), и используя ротор тождества ротора, дает волновое уравнение для магнитного поля B:

1 c 2 ∂ 2 B ∂ t 2 - ∇ 2 B = μ 0 ∇ × J. {\ displaystyle {\ dfrac {1} {c ^ {2}}} {\ dfrac {\ partial ^ {2} \ mathbf {B}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ nabla \ times \ mathbf {J} \,.}

{\ dfrac {1} {c ^ {{2}}}} {\ dfrac {\ partial ^ {2} {\ mathbf {B} }} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {{2}} {\ mathbf {B}} = \ mu _ {0} \ nabla \ times {\ mathbf {J}} \,.

Левая часть каждого уравнения соответствует волновому движению (оператор Даламбера действующих на поля), а правые части - источники волн. Уравнения подразумевают, что электромагнитные волны генерируются при наличии градиентов плотности заряда ρ, циркуляции плотности тока Дж, изменяющейся во времени плотности тока или любой их смеси.

Эти формы волновых уравнений не часто используются на практике, поскольку исходные члены неудобно сложны. В более простой формулировке, более часто встречающейся в литературе и используемой в теории, используется формулировка электромагнитного потенциала, представленная ниже.

Aи потенциальные поля φ

Представляя электрический потенциал φ (скалярный потенциал ) и магнитный потенциал A(a векторный потенциал ), определенный из полей E и B по формуле:

E = - ∇ φ - ∂ A ∂ t, B = ∇ × A, {\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ varphi - {\ partial \ mathbf {A} \ over \ partial t} \,, \ quad \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A} \,,}

{\ mathbf {E}} = - \ набла \ varphi - {\ partial {\ mathbf {A}} \ over \ partial t} \,, \ quad {\ mathbf {B}} = \ nabla \ times {\ mathbf {A}} \,,

четыре уравнения Максвелла в вакууме с источниками заряда ρ и тока Дж сводятся к двум уравнениям, закон Гаусса для электричества:

∇ 2 φ + ∂ ∂ t (∇ ⋅ A) Знак равно - ρ ε 0, {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi + {{\ partial} \ over \ partial t} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - {\ rho \ над \ varepsilon _ {0}} \,,}

\ nabla ^ {2} \ varphi + {{\ partial} \ над \ частичным t} \ left (\ nabla \ cdot {\ mathbf {A}} \ right) = - {\ rho \ over \ varepsilon _ {0}} \,,

и закон Ампера-Максвелла имеет следующий вид:

∇ 2 A - 1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 - ∇ (1 c 2 ∂ φ ∂ t + ∇ ⋅ A) = - μ 0 Дж. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ mathbf {A} \ over \ partial t ^ {2}} - \ nabla \ left ({1 \ over c ^ {2}} {{\ partial \ varphi} \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - \ mu _ {0} \ mathbf {J} \,.}

\ nabla ^ {2} {\ mathbf {A}} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} {\ mathbf {A}} \ over \ partial t ^ {2}} - \ nabla \ left ({1 \ over c ^ {2}} {{\ partial \ varphi} \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot {\ mathbf {A}} \ right) = - \ mu _ {0} {\ mathbf {J}} \,.

Исходные термины теперь намного проще, но волновые члены менее очевидны. Поскольку потенциалы не являются уникальными, но имеют калибровочную свободу, эти уравнения можно упростить с помощью фиксации калибровки. Обычным выбором является условие калибровки Лоренца :

1 c 2 ∂ φ ∂ t + ∇ ⋅ A = 0 {\ displaystyle {1 \ over c ^ {2}} {{\ partial \ varphi} \ over { \ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0}

{1 \ over c ^ {2}} {{\ partial \ varphi} \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot {\ mathbf {A}} = 0

Тогда неоднородные волновые уравнения становятся несвязанными и симметричными по потенциалам:

∇ 2 φ - 1 c 2 ∂ 2 φ ∂ t 2 Знак равно - ρ ε 0, {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ varphi \ over \ partial t ^ {2}} = - { \ rho \ over \ varepsilon _ {0}} \,,}

\ nabla ^ {2} \ varphi - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ { 2} \ varphi \ over \ partial t ^ {2}} = - {\ rho \ over \ varepsilon _ {0}} \,,

∇ 2 A - 1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 = - μ 0 J. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ mathbf {A} \ over \ partial t ^ {2}} = - \ mu _ {0} \ mathbf {J} \,.}

\ nabla ^ {2} {\ mathbf {A}} - { 1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} {\ mathbf {A}} \ over \ partial t ^ {2}} = - \ mu _ {0} {\ mathbf {J}} \,.

Для справки, в единицах cgs эти уравнения имеют вид

∇ 2 φ - 1 c 2 ∂ 2 φ ∂ t 2 = - 4 π ρ {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi - {1 \ над c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ varphi \ over \ partial t ^ {2}} = - {4 \ pi \ rho}}

\ nabla ^ {2} \ varphi - { 1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ varphi \ over \ partial t ^ {2}} = - {4 \ pi \ rho}

∇ 2 A - 1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 = - 4 π c J {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {1 \ over c ^ {2} } {\ partial ^ {2} \ mathbf {A} \ over \ partial t ^ {2}} = - {4 \ pi \ over c} \ mathbf {J}}

\ nabla ^ {2} {\ mathbf {A}} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} {\ mathbf {A}} \ over \ partial t ^ {2}} = - {4 \ pi \ over c} {\ mathbf {J}}

с условием калибровки Лоренца

1 с ∂ φ ∂ t + ∇ ⋅ A = 0. {\ displaystyle {1 \ over c} {{\ partial \ varphi} \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0 \,.}

{1 \ over c} { {\ partial \ varphi} \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot {\ mathbf {A}} = 0 \,.

Ковариантная форма неоднородного волнового уравнения

Замедление времени при поперечном движении. Требование, чтобы скорость света была постоянной в каждой инерциальной системе отсчета, приводит к теории относительности

релятивистские уравнения Максвелла могут быть записаны в ковариантной форме как

◻ A μ знак равно def ∂ β ∂ β A μ = def A μ, β β = - μ 0 J μ SI {\ displaystyle \ Box A ^ {\ mu} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} { =}} \ \ partial _ {\ beta} \ partial ^ {\ beta} A ^ {\ mu} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {A ^ {\ mu, \ beta} } _ {\ beta} = - \ mu _ {0} J ^ {\ mu} \ quad {\ text {SI}}}

\ Box A ^ {{\ mu}} \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ \ partial _ {{\ beta}} \ partial ^ {{\ beta}} A ^ {{\ mu}} \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ {A ^ {{\ му, \ beta}}} _ {{ \ beta}} = - \ mu _ {0} J ^ {{\ mu}} \ quad {\ text {SI}}

◻ A μ = def ∂ β ∂ β A μ = def A μ, β β = - 4 π с J μ cgs {\ displaystyle \ Box A ^ {\ mu} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ partial _ {\ beta} \ partial ^ {\ beta} A ^ {\ mu} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {A ^ {\ mu, \ beta}} _ {\ beta} = - {\ frac {4 \ pi} {c }} J ^ {\ mu} \ quad {\ text {cgs}}}

\ Box A ^ {{\ mu}} \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}) } {=}} \ \ partial _ {{\ beta}} \ partial ^ {{\ beta}} A ^ {{\ mu}} \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ {A ^ {{\ mu, \ beta}}} _ {{\ beta}} = - {\ frac {4 \ pi} {c}} J ^ {{\ mu}} \ quad {\ text {cgs} }

где

◻ = ∂ β ∂ β = ∇ 2 - 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 {\ displaystyle \ Box = \ partial _ {\ beta} \ partial ^ {\ beta} = \ nabla ^ {2} - {1 \ over c ^ {2}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2} }}}

\ Box = \ partial _ {{\ beta}} \ partial ^ {{\ beta}} = \ nabla ^ {2} - {1 \ over c ^ {2}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}}

- это оператор Даламбера,

J μ = (c ρ, J) {\ Displaystyle J ^ {\ mu} = \ left (c \ rho, \ mathbf {J} \ right)}

J ^ {{\ mu}} = \ left (c \ rho, {\ mathbf {J}} \ right)

- это четырехтоковый,

∂ ∂ xa = def ∂ a = def, a знак равно def (∂ / ∂ ct, ∇) {\ displaystyle {\ partial \ over {\ partial x ^ {a}}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ partial _ {a} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {} _ {, a} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ (\ partial / \ partial ct, \ nabla)}

{\ partial \ over {\ partial x ^ {a}}} \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ \ partial _ {a} \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ {} _ {{, a}} \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=} } \ (\ partial / \ partial ct, \ nabla)

- это 4-градиент, а

A μ = (φ / c, A) SI {\ displaystyle A ^ {\ mu} = (\ varphi / c, \ mathbf {A}) \ quad {\ text {SI}}}

{\ displaystyle A ^ {\ mu} = (\ varphi / c, \ mathbf {A}) \ quad {\ text {SI}}}

A μ = (φ, A) cgs {\ displaystyle A ^ {\ mu} = (\ varphi, \ mathbf {A}) \ quad {\ text {cgs}}}

A ^ {{\ mu}} = (\ varphi, {\ mathbf {A}}) \ quad {\ text {cgs}}

- это электромагнитный четырехпотенциал с условием шкалы Лоренца

∂ μ A μ = 0. {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0 \,.}

\ частичное _ {{\ mu}} A ^ {{\ mu}} = 0 \,.

Искривленное пространство-время

Уравнение электромагнитной волны изменяется двумя способами в искривленном пространстве-времени, производная заменяется ковариантной производной, и появляется новый член, который зависит от кривизны (единицы СИ).

- А α; β β + р α β A β знак равно μ 0 J α {\ displaystyle - {A ^ {\ alpha; \ beta}} _ {\ beta} + {R ^ {\ alpha}} _ {\ beta} A ^ { \ beta} = \ mu _ {0} J ^ {\ alpha}}

- {A ^ {{\ alpha; \ beta}}} _ {{\ beta}} + {R ^ {{\ alpha}}} _ {{\ beta} }} A ^ {{\ beta}} = \ mu _ {0} J ^ {{\ alpha}}

где

R α β {\ displaystyle {R ^ {\ alpha}} _ {\ beta}}

{R ^ {{\ alpha}}} _ {{\ beta}}

- это Тензор кривизны Риччи. Здесь точка с запятой указывает на ковариантное дифференцирование. Чтобы получить уравнение в единицах cgs, замените проницаемость на 4π / c.

Предполагается калибровочное условие Лоренца в искривленном пространстве-времени:

A μ; μ = 0. {\ displaystyle {A ^ {\ mu}} _ {; \ mu} = 0 \,.}

{A ^ {{\ mu}}} _ {{; \ mu}} = 0 \,.

Решения уравнения неоднородной электромагнитной волны

Замедленная сферическая волна. Источник волны возникает в момент времени t '. Волновой фронт удаляется от источника с увеличением времени при t>t '. Для продвинутых решений волновой фронт движется назад во времени от источника t < t'.

В случае отсутствия границ, окружающих источники, решения (единицы cgs) неоднородных волновых уравнений равны

φ (r, t) = ∫ δ (t ′ + | r - r ′ | c - t) | г - г '| ρ (r ', t') d 3 r 'dt' {\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = \ int {{\ delta \ left (t '+ {{\ left | \ mathbf {r } - \ mathbf {r} '\ right |} \ over c} -t \ right)} \ over {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ rho (\ mathbf {r} ', t') d ^ {3} r'dt '}

\varphi ({\mathbf {r}},t)=\int {{\delta \left(t'+{{\left|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'\right|} \over c}-t\right)} \over {{\left|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'\right|}}}\rho ({\mathbf {r}}',t')d^{3}r'dt'

A (r, t) = ∫ δ (t ′ + | r - r ′ | c - t) | г - г '| J (r ′, t ′) cd 3 r ′ dt ′ {\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = \ int {{\ delta \ left (t '+ {{\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |} \ over c} -t \ right)} \ over {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} {\ mathbf {J} (\ mathbf {r} ', t') \ over c} d ^ {3} r'dt '}

{\mathbf {A}}({\mathbf {r}},t)=\int {{\delta \left(t'+{{\left|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'\right|} \over c}-t\right)} \over {{\left|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'\right|}}}{{\mathbf {J}}({\mathbf {r}}',t') \over c}d^{3}r'dt'

где

δ (t ′ + | r - r ′ | c - t) {\ displaystyle {\ delta \ left (t '+ {{\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |} \ over c} -t \ right)}}

{\delta \left(t'+{{\left|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'\right|} \over c}-t\right)}

является дельта-функция Дирака.

Эти решения известны как запаздывающие калибровочные потенциалы Лоренца. Они представляют собой суперпозицию сферических световых волн, распространяющихся наружу от источников волн, из настоящего в будущее.

Существуют также усовершенствованные решения (единицы измерения cgs)

φ (r, t) = ∫ δ (t ′ - | r - r ′ | c - t) | г - г '| ρ (r ', t') d 3 r 'dt' {\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = \ int {{\ delta \ left (t '- {{\ left | \ mathbf {r } - \ mathbf {r} '\ right |} \ over c} -t \ right)} \ over {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ rho (\ mathbf {r} ', t') d ^ {3} r'dt '}

\varphi ({\mathbf {r}},t)=\int {{\delta \left(t'-{{\left|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'\right|} \over c}-t\right)} \over {{\left|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'\right|}}}\rho ({\mathbf {r}}',t')d^{3}r'dt'

A (r, t) = ∫ δ (t ′ - | r - r ′ | c - t) | г - г '| J (r ′, t ′) c d 3 r ′ d t ′. {\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = \ int {{\ delta \ left (t '- {{\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | } \ over c} -t \ right)} \ over {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} {\ mathbf {J} (\ mathbf {r}', t ') \ over c} d ^ {3} r'dt '\,.}

{\mathbf {A}}({\mathbf {r}},t)=\int {{\delta \left(t'-{{\left|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'\right|} \over c}-t\right)} \over {{\left|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'\right|}}}{{\mathbf {J}}({\mathbf {r}}',t') \over c}d^{3}r'dt'\,.

Они представляют собой суперпозицию сферических волн, движущихся из будущего в настоящее.

См. Также

Ссылки

Электромагнетика

Статьи в журналах

Джеймс Клерк Максвелл, «Динамическая теория электромагнитного поля ", Философские труды Лондонского королевского общества 155, 459-512 (1865). (Эта статья сопровождала презентацию Максвелла 8 декабря 1864 г. перед Королевским обществом.)

Учебники для бакалавров

Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-X.
Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: электричество, магнетизм, свет и элементарная современная физика (5-е изд.). В. Х. Фриман. ISBN 0-7167-0810-8.
Эдвард М. Перселл, Электричество и магнетизм (McGraw-Hill, Нью-Йорк, 1985).
Герман А. Хаус и Джеймс Р. Мелчер, Электромагнитные поля и энергия (Прентис-Холл, 1989) ISBN 0-13-249020-X
Банеш Хоффман, Относительность и ее корни (Freeman, New York, 1983).
Дэвид Х. Сталин, Энн У. Моргенталер и Джин Ау Конг, Электромагнитные волны (Prentice-Hall, 1994) ISBN 0- 13-225871-4
Чарльз Ф. Стивенс, Шесть основных теорий современной физики, (MIT Press, 1995) ISBN 0-262-69188-4.

Учебники для выпускников

Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Вайли. ISBN 0-471-30932-X.
Ландау, LD, Классическая теория полей (Курс теоретической физики: том 2), (Баттерворт-Хайнеманн: Оксфорд, 1987
Максвелл, Джеймс К. (1954). Трактат об электричестве и магнетизме. Дувр. ISBN 0-486-60637-6.
Чарльз В. Миснер, Кип С. Торн, Джон Арчибальд Уиллер, Гравитация, (1970) WH Фриман, Нью-Йорк; ISBN 0-7167-0344-0. (Обеспечивает рассмотрение уравнений Максвелла в терминах дифференциальных форм.)

Векторное исчисление

H. М. Шей, Div Grad Curl и все такое: неофициальный текст по векторному исчислению, 4-е издание (WW Norton Company, 2005) ISBN 0-393-92516-1.