Формула Лармора

Дает полную мощность, излучаемую ускоряющимся нерелятивистским точечным зарядом A антенна Яги-Уда. Радиоволны могут излучаться антенной за счет ускорения электронов в антенне. Это когерентный процесс, поэтому общая излучаемая мощность пропорциональна квадрату числа ускоряющихся электронов.

В электродинамике используется формула Лармора используется для расчета полной мощности, излучаемой нерелятивистским точечным зарядом при его ускорении. Впервые он был получен Дж. Дж. Лармор в 1897 году, в контексте волновой теории света.

Когда любая заряженная частица (например, электрон, протон или ион ) ускоряется, он излучает энергию в виде электромагнитных волн. Для скоростей, которые малы по сравнению со скоростью скорости света, полная излучаемая мощность определяется формулой Лармора:

$P\; =\; 2\; 3\; q\; 2\; a\; 2\; 4\; \pi \; \epsilon \; 0\; c\; 3\; =\; q\; 2\; a\; 2\; 6\; \pi \; \epsilon \; 0\; c\; 3\; (единицы\; СИ)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{2\; \backslash \; over\; 3\}\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{2\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; c\; ^\; \{\; 3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{2\}\}\; \{6\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; c\; ^\; \{3\}\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{(единицы\; СИ)\}\}\}$

$P\; =\; 2\; 3\; q\; 2\; a\; 2\; c\; 3\; (cgs\; единицы)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{2\; \backslash \; over\; 3\}\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{3\}\}\}\; \{\; \backslash \; t\_dv\; \{(cgs\; units)\}\}\}$

где $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$- правильное ускорение, $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$- заряд, а $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$- скорость света. Релятивистское обобщение дается потенциалами Льенара – Вихерта.

. В любой системе единиц мощность, излучаемая одним электроном, может быть выражена через классический радиус электрона и электрон масса как:

$P\; =\; 2\; 3mea\; 2\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{2\; \backslash \; over\; 3\}\; \{\backslash \; frac\; \{m\_\; \{e\}\; r\_\; \{e\}\; a\; ^\; \{2\}\}\; \{c\}\}\}$

Одно из следствий состоит в том, что электрон, вращающийся вокруг ядра, как в модели Бора, должен потерять энергию, упасть на ядро ​​и атом должен схлопнуться. Эта загадка не была решена до тех пор, пока не была представлена ​​квантовая теория.

• 1 Выведение
  • 1.1 Выведение 1: Математический подход (с использованием единиц CGS)
  • 1.2 Выведение 2: подход Эдварда М. Перселла
• 2 Релятивистское обобщение
  • 2.1 Ковариантная форма
  • 2.2 Нековариантная форма
  • 2.3 Угловое распределение
• 3 Проблемы и последствия
  • 3.1 Радиационная реакция
  • 3.2 Атомная физика
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

Вывод 1: Математический подход (с использованием единиц CGS)

Сначала нам нужно найти форму электрического и магнитного полей. Поля можно записать (для более полного вывода см. потенциал Льенара – Вихерта )

$E\; (r,\; t)\; =\; q\; (n\; -\; \beta \; \gamma \; 2\; (1\; -\; \beta \; \cdot \; n)\; 3\; R\; 2)\; ret\; +\; qc\; (\; n\; \times \; [(N\; -\; \beta )\; \times \; \beta \; \dot{}]\; (1\; -\; \beta \; \cdot \; N)\; 3\; R)\; ret\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\; =\; q\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{n\}\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\}\; \{\backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\; (1\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\})\; ^\; \{3\}\; R\; ^\; \{2\}\}\; \}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{ret\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{c\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; times\; [(\backslash \; mathbf\; \{n\}\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\})\; \backslash \; times\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\}]\}\; \{(1\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\})\; ^\; \{3\}\; R\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{ret\}\}\}$

и

$B\; =\; n\; \times \; E,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{E\},\}$

где $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\}$- скорость заряда, деленная на $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$, $\beta \; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\}\}$- ускорение заряда, деленное на c, $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\}$- единичный вектор в $r\; -\; r\; 0\; \{\backslash \; отображает\; tyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{0\}\}$direction, $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$- величина $r\; -\; r\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{0\}\}$, $r\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{0\}\}$- местоположение заряда, а $\gamma \; =\; (1\; -\; \beta \; 2)\; -\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; (1-\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\})\; ^\; \{-\; 1/2\}\}$. Члены справа оцениваются в запаздывающее время $tr\; =\; t\; -\; R\; /\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \_\; \{\backslash \; text\; \{r\}\}\; =\; tR\; /\; c\}$.

Правое сторона - это сумма электрических полей, связанных со скоростью и ускорением заряженной частицы. Поле скорости зависит только от $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\}$, а поле ускорения зависит как от $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \}$и $\beta \; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\}\}$и угловое соотношение между ними. Поскольку поле скорости пропорционально $1\; /\; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; R\; ^\; \{2\}\}$, оно очень быстро спадает с увеличением расстояния. С другой стороны, поле ускорения пропорционально $1\; /\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; R\}$, что означает, что оно падает намного медленнее с расстоянием. Из-за этого поле ускорения представляет поле излучения и отвечает за унос большей части энергии от заряда.

Мы можем найти энергию поток плотность поля излучения, вычислив его вектор Пойнтинга :

$S\; =\; c\; 4\; \pi \; E\; a\; \times \; B\; a,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{4\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{a\}\},\}$

где нижние индексы «a» подчеркивают, что мы берем только поле ускорения. Подставляя соотношение между магнитным и электрическим полями, предполагая, что частица мгновенно находится в состоянии покоя в момент времени $tr\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \_\; \{\backslash \; text\; \{r\}\}\}$и упрощая, получаем

$S\; =\; q\; 2\; 4\; \pi \; c\; |\; n\; \times \; (n\; \times \; \beta \; \dot{})\; R\; |\; 2\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\; c\}\}\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; times\; (\backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\}\})\}\; \{R\}\}\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{n\}.\}$

Если мы допустим угол между ускорением и вектором наблюдения равным $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$, и мы вводим ускорение $a\; =\; \beta \; \dot{}\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\}\; c\; \}$, тогда мощность, излучаемая на единицу телесного угла, равна

$d\; P\; d\; \Omega \; =\; q\; 2\; 4\; \pi \; c\; sin\; 2\; \; (\theta )\; a\; 2\; c\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dP\}\; \{d\; \backslash \; Omega\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\; c\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; theta)\; \backslash ,\; а\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Полная излучаемая мощность находится путем интегрирования этой величины по всем телесным углам (то есть по $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$и $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$). Это дает

$P\; =\; 2\; 3\; q\; 2\; a\; 2\; c\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{\; 3\}\}\},\}$

что является результатом Лармора для нерелятивистского ускоренного заряда. Он связывает мощность, излучаемую частицей, с ее ускорением. Это ясно показывает, что чем быстрее заряд разгоняется, тем сильнее будет излучение. Мы ожидаем этого, поскольку поле излучения зависит от ускорения.

Вывод 2: подход Эдварда М. Перселла

Полный вывод можно найти здесь.

Вот объяснение, которое может помочь понять приведенную выше страницу.

Этот подход основан на конечной скорости света. Заряд, движущийся с постоянной скоростью, имеет радиальное электрическое поле $E\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{r\}\}$(на расстоянии $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$от заряд), всегда возникающий из будущего положения заряда, и тангенциальная составляющая электрического поля отсутствует $(E\; t\; =\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (E\_\; \{t\}\; =\; 0)\}$. Это будущее положение полностью детерминировано, пока скорость постоянна. Когда скорость заряда изменяется (скажем, он отскакивает назад в течение короткого времени), будущее положение "прыгает", поэтому с этого момента и далее радиальное электрическое поле $E\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{r\}\}$выходит из новой позиции. Учитывая тот факт, что электрическое поле должно быть непрерывным, появляется ненулевая тангенциальная составляющая электрического поля $E\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{t\}\}$, которая уменьшается как $1\; /\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; R\}$(в отличие от радиальной составляющей, которая уменьшается как $1\; /\; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; R\; ^\; \{2\}\}$).

Следовательно, на больших расстояниях от заряда радиальная составляющая незначительна по сравнению с тангенциальной составляющей, и в дополнение к этому поля, которые ведут себя как $1\; /\; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; R\; ^\; \{2\}\}$не может излучать, потому что вектор Пойнтинга, связанный с ними, будет вести себя как $1\; /\; R\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; R\; ^\; \{4\}\}$.

Выходит тангенциальная составляющая ( Единиц СИ):

$E\; t\; =\; ea\; sin\; \; (\theta )\; 4\; \pi \; \epsilon \; 0\; c\; 2\; R.\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{t\}\; =\; \{\{ea\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\}\; \backslash \; over\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; c\; ^\; \{2\}\; R\}\}.\}$

И чтобы получить формулу Лармура, нужно интегрировать по всем углам, на большом расстоянии $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$от заряда, вектор Пойнтинга, связанный с $E\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{t\}\}$, что составляет:

$S\; =\; E\; t\; 2\; \mu \; 0\; cr\; ^\; =\; e\; 2\; a\; 2\; sin\; 2\; \; (\theta )\; 16\; \pi \; 2\; \epsilon \; 0\; c\; 3\; R\; 2\; r\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; =\; \{E\_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; c\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{r\}\}\; =\; \{\{e\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; theta)\}\; \backslash \; over\; \{16\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; c\; ^\; \{3\}\; R\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{r\}\}\}$

что дает (единицы СИ)

$P\; =\; e\; 2\; a\; 2\; 6\; \pi \; \epsilon \; 0\; c\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{\{e\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; over\; \{6\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; c\; ^\; \{3\}\}\}.\}$

Это математически эквивалентно:

$P\; =\; \mu \; 0\; e\; 2\; a\; 2\; 6\; \pi \; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{\{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; e\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; over\; \{6\; \backslash \; pi\; c\}\}.\}$

Поскольку $c\; 2\; =\; 1\; /\; \mu \; 0\; ϵ\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{2\}\; =\; 1\; /\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\}$, мы получаем результат, указанный в верхней части статьи, а именно

$P\; =\; 2\; 3\; q\; 2\; a\; 2\; 4\; \pi \; \epsilon \; 0\; c\; 3\; знак\; равно\; q\; 2\; a\; 2\; 6\; \pi \; \epsilon \; 0\; c\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{2\; \backslash \; over\; 3\}\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{2\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; c\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{2\}\}\; \{6\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; c\; ^\; \{3\}\}\}.\}$

Ковариантная форма

Написано в терминах импульса, p, нерелятивистская формула Лармора (в единицах СГС)

$P\; =\; 2\; 3\; q\; 2\; m\; 2\; c\; 3\; |\; p\; \dot{}\; |\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\}\; \{m\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{3\}\}\}\; |\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; |\; ^\; \{2\}.\}$

Можно показать, что степень P инвариант Лоренца. Следовательно, любое релятивистское обобщение формулы Лармора должно связывать P с некоторой другой инвариантной величиной Лоренца. Количество $|\; p\; \dot{}\; |\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; |\; ^\; \{2\}\}$, появляющееся в нерелятивистской формуле, предполагает, что релятивистски правильная формула должна включать скаляр Лоренца, найденный путем взятия внутреннее произведение четырехмерного ускорения a = dp / dτ на себя [здесь p = (γmc, γm v ) - это четырехмерный импульс ]. Правильное релятивистское обобщение формулы Лармора (в единицах СГС):

$P\; =\; -\; 2\; 3\; q\; 2\; m\; 2\; c\; 3\; d\; p\; \mu \; d\; \tau \; d\; p\; \mu \; d\; \tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\}\; \{m\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{3\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dp\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}\; \{\; d\; \backslash \; tau\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dp\; ^\; \{\backslash \; mu\}\}\; \{d\; \backslash \; tau\}\}.\}$

Можно показать, что этот внутренний продукт задается как

$dp\; \mu \; d\; \tau \; dp\; \mu \; d\; \tau \; =\; \beta \; 2\; (dpd\; \tau )\; 2\; -\; (dpd\; \tau )\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dp\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}\; \{d\; \backslash \; tau\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dp\; ^\; \{\backslash \; mu\}\}\; \{d\; \backslash \; tau\}\}\; =\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dp\}\; \{d\; \backslash \; tau\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\}\; \{d\; \backslash \; tau\; \}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\},\}$

и поэтому в пределе β ≪ 1 оно сокращается до $-\; |\; p\; \dot{}\; |\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; |\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; |\; ^\; \{2\}\}$, таким образом воспроизводя нерелятивистский случай.

Нековариантная форма

Вышеупомянутый внутренний продукт также может быть записан в терминах β и его производной по времени. Тогда релятивистское обобщение формулы Лармора имеет вид (в единицах СГС)

$P\; =\; 2\; q\; 2\; \gamma \; 6\; 3\; c\; [(\beta \; \dot{})\; 2\; -\; (\beta \; \times \; \beta \; \dot{})\; 2].\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2q\; ^\; \{2\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{6\}\}\; \{3c\}\}\; \backslash \; left\; [(\{\backslash \; dot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\})\; ^\; \{2\}\; -\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right].\}$

Это результат Льенара, который был впервые получен в 1898 году. $\gamma \; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; ^\; \{6\}\}$означает, что когда фактор Лоренца $\gamma \; =\; 1/1\; -\; \beta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; 1\; /\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\}\}\}\}$очень близко к единице (т.е. $\beta \; \ll \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \backslash \; ll\; 1\}$) излучение, испускаемое частицей, вероятно, будет незначительным. Однако при $\beta \; \to \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \backslash \; rightarrow\; 1\}$излучение растет как $\gamma \; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; ^\; \{6\}\}$как частица пытается потерять свою энергию в виде электромагнитных волн. Кроме того, когда ускорение и скорость ортогональны, мощность уменьшается в $1\; -\; \beta \; 2\; =\; 1\; /\; \gamma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\}\; =\; 1\; /\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\}$, т. Е. Множитель $\gamma \; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; ^\; \{6\}\}$становится $\gamma \; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; ^\; \{4\}\}$. Чем быстрее становится движение, тем сильнее становится это уменьшение.

Мы можем использовать результат Льенара, чтобы предсказать, какие потери излучения следует ожидать при различных видах движения.

Угловое распределение

Угловое распределение излучаемой мощности задается общей формулой, применимой независимо от того, является ли частица релятивистской. В единицах СГС эта формула имеет вид

$d\; P\; d\; \Omega \; =\; q\; 2\; 4\; \pi \; c\; |\; п\; ^\; \times \; [(п\; ^\; -\; \beta )\; \times \; \beta \; \dot{}]\; |\; 2\; (1\; -\; n\; ^\; \cdot \; \beta )\; 5,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dP\}\; \{d\; \backslash \; Omega\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\; c\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\; \backslash \; times\; [(\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\})\; \backslash \; times\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\}]\; |\; ^\; \{2\; \}\}\; \{(1-\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\})\; ^\; \{5\}\}\},\}$

где $n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}$- это единичный вектор, указывающий от частицы к наблюдателю. В случае линейного движения (скорость параллельна ускорению) это упрощается до

$d\; P\; d\; \Omega \; =\; q\; 2\; a\; 2\; 4\; \pi \; c\; 3\; sin\; 2\; \; \theta \; (1\; -\; \beta \; cos\; \; \theta )\; 5,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; frac\; \{dP\}\; \{d\; \backslash \; Omega\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{2\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\; c\; ^\; \{3\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \}\; \{(1-\; \backslash \; beta\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta)\; ^\; \{5\}\}\},\}$

где $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$- угол между наблюдателем и движением частицы.

Реакция излучения

Излучение заряженной частицы несет энергию и импульс. Чтобы обеспечить сохранение энергии и импульса, заряженная частица должна испытывать отдачу во время испускания. Излучение должно оказывать на заряженную частицу дополнительную силу. Эта сила известна как сила Абрахама-Лоренца в нерелятивистском пределе и сила Абрахама-Лоренца-Дирака в релятивистском контексте.

Атомная физика

Классический электрон, вращающийся вокруг ядра, испытывает ускорение и должен излучать. Следовательно, электрон теряет энергию, и электрон в конечном итоге должен спирально проникнуть в ядро. Следовательно, атомы, согласно классической механике, нестабильны. Это классическое предсказание нарушается наблюдением стабильных электронных орбит. Проблема решается с помощью квантово-механического описания атомной физики, первоначально предоставленного моделью Бора. Классические решения проблемы стабильности электронных орбиталей могут быть продемонстрированы с использованием условий отсутствия излучения и в соответствии с известными физическими законами.

• Теория атома
• Циклотронное излучение
• Уравнение электромагнитной волны
• Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени
• Реакция излучения
• Волновое уравнение
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана

• J. Лармор, "О динамической теории электрической и светоносной среды", Philosophical Transactions of the Royal Society 190, (1897) pp. 205–300 (Третья и последняя в серии статей с тем же названием
• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Вайли. ISBN 0-471-30932-X.(Раздел 14.2ff)
• Миснер, Чарльз; Thorne, Kip S.; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация. Сан-Франциско: В. Х. Фриман. ISBN 0-7167-0344-0.
• R. П. Фейнман; Ф. Б. Моринго; В. Г. Вагнер (1995). Лекции Фейнмана по гравитации. Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-62734-5.