Гиромагнитное отношение

редактировать

Отношение магнитного момента к угловому моменту

В физике, гиромагнитный отношение (также иногда известное как магнитологическое отношение в других дисциплинах) частицы или системы - это отношение ее магнитного момента к ее угловой момент, и его часто обозначают символом γ, гамма. Его единица измерения СИ - это радиан в секунду на тесла (рад⋅с⋅Т) или, что то же самое, кулон на килограмм (C⋅kg).

Термин «гиромагнитное отношение» часто используется как синоним другой, но тесно связанной величины, g-фактора. G-фактор, в отличие от гиромагнитного отношения, безразмерен. Подробнее о g-факторе см. Ниже или в статье g-фактор.

Содержание

1 Ларморовская прецессия
- 1.1 Эвристический вывод
2 Для классического вращающегося тела
3 Для изолированного электрона
4 Гиромагнитный фактор как следствие теории относительности
5 Для ядра
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки

Ларморовская прецессия

Любая свободная система с постоянным гиромагнитным соотношением, такая как жесткая система зарядов, ядро или электрон, когда помещена во внешнее магнитное поле B ( измеряется в теслах), который не совпадает с его магнитным моментом, будет прецессировать на частоте f (измеряется в герцах ), что пропорциональна внешнему полю:

f = γ 2 π B. {\ displaystyle f = {\ frac {\ gamma} {2 \ pi}} B.}

f = {\ frac {\ gamma} {2 \ pi}} B.

По этой причине значения γ / (2π) в единицах герц на тесла (Гц / Тл) часто указывается вместо γ.

Эвристический вывод

Вывод этого отношения следующий: сначала мы должны доказать, что крутящий момент, возникающий в результате воздействия магнитного момента $m {\ displaystyle \ mathbf {m}}$ ${\ mathbf {m}}$ в магнитном поле $B {\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ равно $T = m × B {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathrm {T}} } = \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathrm { T}}} = \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B}}$ . Идентичность функциональной формы стационарного электрического и магнитного полей привела к одинаковому определению величины магнитного дипольного момента: $m = I π r 2 {\ displaystyle m = I \ pi r ^ {2}}$ ${\ displaystyle m = I \ pi r ^ {2}}$ , или следующим образом, имитируя момент p электрического диполя: Магнитный диполь может быть представлен стрелкой компаса с фиктивными магнитными зарядами $± qm { \ displaystyle \ pm q _ {\ rm {m}}}$ ${\ displaystyle \ pm q _ {\ rm {m}}}$ на двух полюсах и векторное расстояние между полюсами $d {\ displaystyle \ mathbf {d}}$ $\ mathbf {d}$ под влияние магнитного поля Земли $B {\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ . Согласно классической механике крутящий момент на этой игле составляет $T = q m (d × B). {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} = q _ {\ rm {m}} (\ mathbf {d} \ times \ mathbf {B}).}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} = q _ {\ rm {m}} (\ mathbf {d} \ times \ mathbf {B}).}$ Но, как было сказано ранее, $qmd = я π р 2 d ^ = м, {\ displaystyle q _ {\ rm {m}} \ mathbf {d} = I \ pi r ^ {2} {\ hat {\ mathbf {d}}} = \ mathbf {m},}$ ${\ displaystyle q _ {\ rm {m}} \ mathbf {d} = I \ pi r ^ {2} {\ hat {\ mathbf {d}}} = \ mathbf {m},}$ , чтобы появилась желаемая формула.

Модель вращающегося электрона, которую мы используем при выводе, имеет очевидную аналогию с гироскопом. Для любого вращающегося тела скорость изменения углового момента $J {\ displaystyle \ mathbf {J}}$ $\ mathbf {J}$ равна приложенному крутящему моменту $T {\ displaystyle \ mathbf {T}}$ $\ mathbf {T}$ :

d J dt = T. {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {J}} {dt}} = \ mathbf {T}.}

{\ displaystyle {\ frac { d \ mathbf {J}} {dt}} = \ mathbf {T}.}

Обратите внимание на пример прецессии гироскопа. Гравитационное притяжение Земли прикладывает силу или крутящий момент к гироскопу в вертикальном направлении, и вектор углового момента вдоль оси гироскопа медленно вращается вокруг вертикальной линии, проходящей через стержень. На месте гироскопа представьте себе сферу, вращающуюся вокруг оси и с центром на оси гироскопа, а вдоль оси гироскопа два противоположно направленных вектора, оба исходящие из центра сферы вверх $J { \ displaystyle \ mathbf {J}}$ $\ mathbf {J}$ и вниз $m. {\ displaystyle \ mathbf {m}.}$ ${\ displaystyle \ mathbf { m}.}$ Замените гравитацию на плотность магнитного потока B.

d J dt {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {J}} {dt}} }

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {J}} {dt}}}

представляет собой линейную скорость пика стрелки

J {\ displaystyle \ mathbf {J}}

\ mathbf {J}

по окружности с радиусом

J sin ⁡ ϕ { \ displaystyle J \ sin {\ phi}}

{\ displaystyle J \ sin {\ phi}}

, где

ϕ {\ displaystyle \ phi}

\ phi

- угол между

J {\ displaystyle \ mathbf {J} }

\ mathbf {J}

и по вертикали. Следовательно, угловая скорость вращения спина равна

ω = 2 π f = | d J | d t ⋅ J ⋅ sin ⁡ ϕ = | Т | J ⋅ sin ⁡ ϕ = | m × B | J ⋅ sin ⁡ ϕ = m B sin ⁡ ϕ J ⋅ sin ⁡ ϕ = m B J = γ B. {\ displaystyle \ quad \ omega = 2 \ pi f = {\ frac {| d \ mathbf {J} |} {dt \ cdot J \ cdot \ sin {\ phi}}} = {\ frac {| \ mathbf { T} |} {J \ cdot \ sin {\ phi}}} = {\ frac {| \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B} |} {J \ cdot \ sin {\ phi}}} = { \ frac {mB \ sin {\ phi}} {J \ cdot \ sin {\ phi}}} = {\ frac {mB} {J}} = \ gamma B.}

{\ displaystyle \ quad \ omega = 2 \ pi f = {\ frac {| d \ mathbf {J} |} {dt \ cdot J \ cdot \ sin { \ phi}}} = {\ frac {| \ mathbf {T} |} {J \ cdot \ sin {\ phi}}} = {\ frac {| \ mathbf { m} \ times \ mathbf {B} |} {J \ cdot \ sin {\ phi}}} = {\ frac {mB \ sin {\ phi}} {J \ cdot \ sin {\ phi}}} = { \ frac {mB} {J}} = \ gamma B.}

Следовательно, $f = γ 2 π B. q.e.d. {\ displaystyle f = {\ frac {\ gamma} {2 \ pi}} B. \ quad {\ text {qed}}}$ ${\ displaystyle f = {\ frac {\ gamma} {2 \ pi}} B. \ quad {\ text {qed}}}$

Это соотношение также объясняет очевидное противоречие между двумя эквивалентными терминами, гиромагнитным соотношение по сравнению с магнитологирическим соотношением: тогда как это отношение магнитного свойства (т.е. дипольного момента ) к круговому (вращательному), от греч. : γύρος, "поворот") (т. е. угловой момент ), это также, в то же время, отношение между частотой угловой прецессии (другое гирическое свойство) ω = 2πf и магнитное поле.

Частота угловой прецессии имеет важное физическое значение: это угловая циклотронная частота, резонансная частота ионизированной плазмы, находящейся под влиянием статического конечного магнитного поля, когда мы накладываем высокочастотное электромагнитное поле.

Для классического вращающегося тела

Рассмотрим заряженное тело, вращающееся вокруг оси симметрии. Согласно законам классической физики, он обладает как магнитным дипольным моментом, так и угловым моментом, обусловленным его вращением. Можно показать, что, пока его заряд и масса распределены одинаково (например, оба распределены равномерно), его гиромагнитное отношение равно

γ = q 2 m {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {q} {2m} }}

\ gamma = {\ frac {q} {2m}}

где q - его заряд, а m - его масса. Вывод этого соотношения следующий:

Достаточно продемонстрировать это для бесконечно узкого кругового кольца внутри тела, поскольку общий результат следует из интегрирования. Предположим, что кольцо имеет радиус r, площадь A = πr, массу m, заряд q и угловой момент L = mvr. Тогда величина магнитного дипольного момента равна

μ = I A = q v 2 π r × π r 2 = q 2 m × m v r = q 2 m L. {\ displaystyle \ mu = IA = {\ frac {qv} {2 \ pi r}} \ times \ pi r ^ {2} = {\ frac {q} {2m}} \ times mvr = {\ frac {q } {2m}} L.}

\ mu = IA = {\ frac {qv} {2 \ pi r}} \ times \ pi r ^ {2} = {\ frac {q} {2m}} \ tim es mvr = {\ frac {q} {2m}} L.

Для изолированного электрона

Изолированный электрон имеет угловой момент и магнитный момент, являющиеся результатом его спина. Хотя спин электрона иногда визуализируется как буквальное вращение вокруг оси, его нельзя отнести к массе, распределенной идентично заряду. Вышеупомянутое классическое соотношение не выполняется, давая неверный результат безразмерным коэффициентом, называемым электронным g-factor, обозначенным g e (или просто g, когда есть нет риска путаницы):

| γ e | = | - е | 2 мег = ge μ В / ℏ, {\ displaystyle | \ gamma _ {\ mathrm {e}} | = {\ frac {| -e |} {2m _ {\ mathrm {e}}}} g _ {\ mathrm { e}} = g _ {\ mathrm {e}} \ mu _ {\ mathrm {B}} / \ hbar,}

| \ gamma _ {{\ mathrm {e}}} | = { \ frac {| -e |} {2m _ {{\ mathrm {e}}}}} g _ {{\ mathrm {e}}} = g _ {{\ mathrm {e}}} \ mu _ {{\ mathrm { B}}} / \ hbar,

где μ B - магнетон Бора.

гиромагнитное отношение для самовращающегося электрона в два раза больше, чем для вращающегося электрона.

В рамках релятивистской квантовой механики

ge = 2 (1 + α 2 π + ⋯), {\ displaystyle g _ {\ mathrm {e}} = 2 (1 + {\ frac { \ alpha} {2 \ pi}} + \ cdots),}

g_ \ mathrm {e} = 2 (1+ \ frac {\ alpha} { 2 \ pi} + \ cdots),

, где $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ - постоянная тонкой структуры. Здесь небольшие поправки к релятивистскому результату g = 2 вносятся из квантовой теории поля. Электронный g-фактор известен с точностью до двенадцати десятичных знаков при измерении магнитного момента электрона в одноэлектронном циклотроне:

g e = 2,0023193043617 (15). {\ displaystyle g _ {\ mathrm {e}} = 2,0023193043617 (15).}

g_ \ mathrm {e} = 2.0023193043617 (15).

Гиромагнитное отношение электронов определяется NIST как

| γ e | = 1,760 859 644 (11) × 10 11 рад ⋅ T {\ displaystyle \ left | \ gamma _ {\ mathrm {e}} \ right | = 1,760 \, 859 \, 644 (11) \ times 10 ^ {11} \, \ mathrm {\ {\ frac {rad} {s \ cdot T}}}}

{\ displaystyle \ left | \ gamma _ {\ mathrm {e}} \ right | = 1.760 \, 859 \, 644 (11) \ times 10 ^ {11} \, \ mathrm {\ {\ frac {rad} {s \ cdot T}}}}

| γ e 2 π | = 28 024,951 64 (17) M H z T. {\ displaystyle \ left | {\ frac {\ gamma _ {\ mathrm {e}}} {2 \ pi}} \ right | = 28 \, 024.951 \, 64 (17) \ mathrm {\ {\ frac {MHz } {T}}}.}

{\ displaystyle \ left | {\ frac {\ gamma _ {\ mathrm {e}}} {2 \ pi}} \ right | = 28 \, 024.951 \, 64 (17) \ mathrm {\ { \ frac {MHz} {T}}}.}

g-фактор и γ полностью согласуются с теорией; подробности см. в Испытаниях на точность QED.

Гиромагнитный фактор как следствие теории относительности

Поскольку гиромагнитный фактор, равный 2, следует из уравнения Дирака, часто ошибочно полагать, что g-фактор 2 является следствием относительности; нет, это не так. Коэффициент 2 может быть получен путем линеаризации как уравнения Шредингера, так и релятивистского уравнения Клейна – Гордона (которое приводит к уравнению Дирака). В обоих случаях получается 4- спинор, и для обеих линеаризаций g-фактор оказывается равным 2; Следовательно, коэффициент 2 является следствием зависимости волнового уравнения от первой (а не второй) производной по пространству и времени.

Физические частицы со спином 1/2, которые не могут быть описаны линейным калиброванным уравнением Дирака удовлетворяют калиброванному уравнению Клейна – Гордона, расширенному с помощью члена ge / 4σF μν согласно,

((∂ μ + ie A μ) (∂ μ + т.е. A μ) + GE 4 σ μ ν F μ ν + м 2) ψ знак равно 0, g ≠ 2. {\ displaystyle \ left ((\ partial ^ {\ mu} + ieA ^ {\ mu}) (\ partial _ {\ mu} + ieA _ {\ mu}) + g {\ frac {e} {4}} \ sigma ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} + m ^ {2} \ right) \ psi = 0, \ quad g \ not = 2.}

{\ displaystyle \ left ((\ partial ^ {\ mu} + ieA ^ {\ mu}) (\ partial _ {\ mu} + ieA _ {\ mu}) + g {\ frac {e} {4}} \ sigma ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} + m ^ {2} \ right) \ psi = 0, \ quad g \ not = 2.}

Здесь 1 / 2σ и F обозначают генераторы группы Лоренца в пространстве Дирака и электромагнитный тензор соответственно, а A - электромагнитный четырехпотенциальный. Примером такой частицы является компаньон со спином 1/2 для спина 3/2 в пространстве представления D ⊕ D группы Лоренца. Было показано, что эта частица характеризуется g = −2/3 и, следовательно, ведет себя как истинно квадратичный фермион.

Для ядра

Знак гиромагнитного отношения γ определяет смысл прецессии. Считается, что ядра, такие как H и C, прецессируются по часовой стрелке, тогда как N - против часовой стрелки. В то время как магнитные моменты, показанные здесь, ориентированы одинаково для обоих случаев γ, спиновый угловой момент имеет противоположные направления. Спин и магнитный момент имеют одинаковое направление для γ>0.

Протоны, нейтроны и многие ядра несут ядерный спин, что приводит к гиромагнитному отношению, как указано выше. Отношение условно записывают через массу и заряд протона, даже для нейтронов и других ядер, для простоты и единообразия. Формула:

γ n = e 2 mpgn = gn μ N / ℏ, {\ displaystyle \ gamma _ {\ rm {n}} = {\ frac {e} {2m_ {p}}} g _ {\ rm {n}} = g _ {\ rm {n}} \ mu _ {\ mathrm {N}} / \ hbar,}

{\ displaystyle \ gamma _ {\ rm {n}} = {\ frac {e} {2m_ {p}}} g _ {\ rm { n}} = g _ {\ rm {n}} \ mu _ {\ mathrm {N}} / \ hbar,}

где $μ N {\ displaystyle \ mu _ {\ mathrm {N} }}$ $\ mu _ {{\ mathrm {N}}}$ - ядерный магнетон, а $gn {\ displaystyle g _ {\ rm {n}}}$ ${\ displaystyle g _ {\ rm {n}}}$ - g-фактор рассматриваемого нуклона или ядра. Отношение $γ n 2 π gn {\ displaystyle {\ frac {\ gamma _ {n}} {2 \ pi g _ {\ rm {n}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac { \ gamma _ {n}} {2 \ pi g _ {\ rm {n}}}}}$ , равное $μ N / h {\ displaystyle \ mu _ {\ mathrm {N}} / h}$ ${\ displaystyle \ mu _ {\ mathrm {N}} / h}$ , составляет 7,622593285 (47) МГц / T.

Гиромагнитное отношение ядра играет роль в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) и магнитно-резонансной томографии (МРТ). Эти процедуры основаны на том факте, что объемная намагниченность из-за ядерных спинов прецессирует в магнитном поле со скоростью, называемой ларморовской частотой, которая является просто произведением гиромагнитного отношения с магнитным напряженность поля. При этом явлении знак γ определяет направление прецессии (по часовой стрелке или против часовой стрелки).

Наиболее распространенные ядра, такие как H и C, имеют положительное гиромагнитное отношение. Приблизительные значения для некоторых распространенных ядер приведены в таблице ниже.

Ядро	$γ n {\ displaystyle \ gamma _ {n}}$ $\ gamma _ {n}$ (10 рад⋅с⋅Т)	$γ п / (2 π) {\ displaystyle \ gamma _ {n} / (2 \ pi)}$ $\ gamma _ {n} / (2 \ pi)$ (MHz⋅T)
H	267,52218744(11)	42,577478518 (18)
H	41.065	6.536
H	285.3508	45.415
He	−203.789	−32.434
Li	103,962	16,546
C	67,2828	10,7084
N	19,331	3,077
N	-27,116	-4,316
O	-36,264	-5,772
F	251,662	40,052
Na	70,761	11,262
Al	69,763	11,103
Si	-53,190	-8,465
P	108,291	17,235
Fe	8,681	1,382
Cu	71,118	11,319
Zn	16,767	2,669
Xe	-73,997	-11,777

См. Также

Примечания

^ Примечание 1 :, Аномальные магнитные моменты электрона и мюона, семинар Пуанкаре (Париж, 12 октября 2002 г.)), опубликовано в: Duplantier, Bertrand; Ривассо, Винсент (ред.); Семинар Пуанкаре 2002, Прогресс в математической физике 30, Биркхойзер (2003), ISBN 3-7643-0579-7.

Ссылки