Материальное уравнение

В физике и машиностроении, материальное уравнение или определяющее отношение - это отношение между двумя физическими величинами (особенно кинетическими величинами, связанными с кинематическими величинами), которое характерно для материала или вещества и приближает реакцию этого материала на внешние раздражители., обычно применяемые поля или заставляют. Они сочетаются с другими уравнениями, определяющими физические законы, для решения физических задач; например, в механике жидкости поток жидкости в трубе, в физике твердого тела реакция кристалла на электрическое поле или в структурном анализе, связь между приложенными напряжениями или силами с деформациями или деформациями.

Некоторые определяющие уравнения просто феноменологические ; другие получены из первых принципов. Обычное приближенное определяющее уравнение часто выражается как простая пропорциональность с использованием параметра, принимаемого как свойство материала, например электропроводность или жесткость пружины. Однако часто необходимо учитывать зависимость материала от направления, и скалярный параметр обобщается до тензора . Определяющие соотношения также модифицируются для учета скорости реакции материалов и их нелинейного поведения. См. Статью Функция линейного отклика.

Содержание

• 1 Механические свойства вещества
  • 1.1 Определения
  • 1.2 Деформация твердых тел
    • 1.2.1 Трение
    • 1.2.2 Напряжение и деформация
    • 1.2.3 Деформации твердого тела
    • 1.2.4 Столкновения
  • 1.3 Деформация жидкостей
• 2 Электромагнетизм
  • 2.1 Основные уравнения в электромагнетизме и связанных областях
    • 2.1.1 Без магнитных или диэлектрических материалов
    • 2.1.2 Изотропные линейные материалы
    • 2.1.3 Общий случай
    • 2.1.4 Расчет определяющих соотношений
  • 2.2 Термоэлектрические и электромагнитные свойства вещества
• 3 Фотоника
• 4 Явления переноса
  • 4.1 Определения
  • 4.2 Окончательные законы
• 5 См. Также
• 6 Примечания

Механические свойства вещества

Первое определяющее уравнение (конститутивный закон) разработал Роберт Гук и известен как закон Гука. Он касается случая линейных упругих материалов. После этого открытия широко использовалось уравнение этого типа, которое в этом примере часто называют «соотношением напряжения и деформации», но также называют «определяющим допущением» или «уравнением состояния». Уолтер Нолл продвинул использование определяющих уравнений, разъясняя их классификацию и роль требований инвариантности, ограничений и определений таких терминов, как «материал», «изотропный», «эолотропный» и т. Д. определяющие соотношения «скорость напряжения формы = f (градиент скорости, напряжение, плотность)» было предметом диссертации Уолтера Нолла в 1954 году под заголовком Клиффорд Трусделл.

В современном сжатом физика материи, определяющее уравнение играет главную роль. См. Линейные определяющие уравнения и Нелинейные корреляционные функции.

Определения

Количество (общепринятое имя)	(Общее) символ / с	Определение уравнение	единицы СИ	Размер
Общее напряжение, Давление	P, σ	$\sigma \; =\; F\; /\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; F\; /\; A\}$ F - перпендикулярная составляющая силы, приложенной к области A	Pa = N⋅m	[M] [L] [T]
Общая деформация	ε	$\epsilon \; =\; \Delta \; D\; /\; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; =\; \backslash \; Delta\; D\; /\; D\}$ D = размер (длина, площадь, объем) ΔD = изменение размера материала	1	безразмерный
Общий модуль упругости	Emod	$E\; mod\; =\; \sigma \; /\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \_\; \{\backslash \; text\; \{mod\}\}\; =\; \backslash \; sigma\; /\; \backslash \; varepsilon\}$	Pa = N⋅m	[M] [L] [T]
Модуль Юнга	E, Y	$Y\; =\; \sigma \; /\; (\Delta \; L\; /\; L)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; \backslash \; sigma\; /\; (\backslash \; Delta\; L\; /\; L)\}$	Па = Н⋅м	[M] [L] [T]
Модуль сдвига	G	$G\; =\; (F\; /\; A)\; /\; (\Delta \; x\; /\; L)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; (F\; /\; A)\; /\; (\backslash \; Delta\; x\; /\; L)\}$	Па = Н · м	[M] [L] [T]
B ulk модуль	K, B	$B\; =\; P\; /\; (\Delta \; V\; /\; V)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; =\; P\; /\; (\backslash \; Delta\; V\; /\; V)\}$	Pa = N⋅m	[M] [L] [T]
Сжимаемость	C	$C\; =\; 1\; /\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; 1\; /\; B\}$	Pa = m⋅N	[M] [L] [T]

Деформация твердых тел

Трение

Трение - сложное явление. Макроскопически сила трения F между границей раздела двух материалов может быть смоделирована как пропорциональная силе реакции R в точке контакта между двумя поверхностями раздела через безразмерный коэффициент трения μ f, который зависит от пары материалов:

$F\; =\; \mu \; f\; R.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{f\}\}\; R.\}$

Это может быть применено к статическому трению (трение, предотвращающее скольжение двух неподвижных объектов самостоятельно), кинетическому трению (трение между двумя царапающимися объектами / скольжение друг мимо друга) или качение (сила трения, которая предотвращает скольжение, но вызывает действие крутящего момента на круглый объект).

Напряжение и деформация

Основное соотношение между напряжением и деформацией для линейных материалов широко известно как закон Гука. В своей простейшей форме закон определяет жесткость пружины (или константу упругости) k в скалярном уравнении, утверждая, что растягивающая / сжимающая сила пропорциональна расширенному (или сжатому) смещению x:

$F\; i\; =\; -\; kxi\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{i\}\; =\; -\; kx\_\; \{i\}\}$

, что означает, что материал реагирует линейно. Эквивалентно, с точки зрения напряжения σ, модуля Юнга E и деформации ε (безразмерный):

$\sigma \; =\; E\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; E\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\}$

В общем, силы, деформирующие твердые тела, могут быть нормальными к поверхности материала (нормальные силы) или касательными (силы сдвига), это можно описать математически с помощью тензора напряжений :

$\sigma \; ij\; =\; C\; ijkl\; \epsilon \; kl\; \rightleftharpoons \; \epsilon \; ij\; =\; S\; ijkl\; \sigma \; kl\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{ij\}\; =\; C\_\; \{ijkl\}\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{kl\}\; \backslash ,\; \backslash \; rightleftharpoons\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{\; ij\}\; =\; S\_\; \{ijkl\}\; \backslash ,\; \backslash \; sigma\; \_\; \{kl\}\}$

где C - тензор упругости, а S - тензор податливости

Деформации твердого тела

Несколько классов деформаций в эластичных материалах:

• Упругий : материал восстанавливает свою первоначальную форму после деформации.
• Неэластичный : если материал близок к эластичному, но применяется сила вызывает дополнительные зависящие от времени силы сопротивления (т.е. зависят от скорости изменения растяжения / сжатия, в дополнение к растяжению / сжатию). Металлы и керамика имеют эту характеристику, но обычно ею можно пренебречь, хотя и не так много, когда происходит нагрев из-за трения (например, вибрации или напряжения сдвига в машинах).
• Вязкоупругий : если зависящие от времени вклады сопротивления большой, и им нельзя пренебрегать. Этим свойством обладают каучуки и пластмассы, которые определенно не удовлетворяют закону Гука. Фактически возникает упругий гистерезис.
• Пластичность : приложенная сила вызывает невосстановимые деформации в материале, когда напряжение (или упругая деформация) достигает критической величины, называемой пределом текучести.
• Гиперупругость : Приложенная сила вызывает смещения в материале в соответствии с функцией плотности энергии деформации.

Столкновения

относительная скорость разделения v разделение объект A после столкновения с другим объектом B связан с относительной скоростью приближения v приближения с помощью коэффициента восстановления, определяемого экспериментальным законом удара Ньютона :

$e\; =\; |\; v\; |\; разделение\; |\; v\; |\; подход\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; |\; \_\; \{\backslash \; text\; \{separa\}\}\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; |\; \_\; \{\backslash \; text\; \{подход\}\}\}\}\}$

который зависит материалы A и B сделаны из, поскольку столкновение включает взаимодействия на поверхностях A и B. Обычно 0 ≤ e ≤ 1, в котором e = 1 для полностью упругих столкновений, и e = 0 для полностью неупругих столкновений. Возможно, что e ≥ 1 - для сверхупругих (или взрывных) столкновений.

Деформация жидкостей

Уравнение сопротивления дает силу сопротивления D на объекте площадью поперечного сечения A движется через жидкость плотностью ρ со скоростью v (относительно жидкости)

$D\; =\; 1\; 2\; cd\; \rho \; A\; v\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; c\_\; \{d\}\; \backslash \; rho\; Av\; ^\; \{2\}\}$

, где коэффициент сопротивления (безразмерный) c d зависит от геометрии объекта и сил сопротивления на границе раздела между жидкостью и объектом.

Для ньютоновской жидкости с вязкостью μ, напряжение сдвига τ линейно связано со скоростью деформации ( поперечная скорость потока градиент ) ∂u / ∂y (единицы с). В однородном сдвиговом потоке :

$\tau \; =\; \mu \; \partial \; u\; \partial \; y,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; mu\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\},\}$

с u (y) изменение скорости потока u в поперечном (поперечном) направлении y. В общем, для ньютоновской жидкости связь между элементами тензора напряжения сдвига τ ij и деформацией жидкости определяется выражением

$\tau \; ij\; =\; 2\; \mu \; (eij\; -\; 1\; 3\; \Delta \; \delta \; ij)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \_\; \{ij\}\; =\; 2\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (e\_\; \{ij\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; right)\}$с $eij\; =\; 1\; 2\; (\partial \; vi\; \partial \; xj\; +\; \partial \; vj\; \partial \; xi)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{ij\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{i\; \}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{j\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right)\}$и $\Delta \; =\; \sum \; kekk\; =\; div\; v,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; e\_\; \{kk\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{div\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; mathbf\; \{v\},\}$

где v i - компоненты вектора скорости потока в соответствующих направлениях координат x i, e ij - компоненты тензора скорости деформации, Δ - объемная деформация скорость (или скорость расширения), а δ ij - дельта Кронекера.

закон идеального газа является определяющим соотношением в том смысле, что давление p и том V относятся к температура T через число моль газа n:

$p\; V\; =\; n\; RT\; \{\backslash \; displaystyle\; pV\; =\; nRT\}$

где R - газовая постоянная (Дж⋅К⋅моль).

Электромагнетизм

Определяющие уравнения в электромагнетизме и смежных областях

В классической и квантовой физике точная динамика Система формирует набор связанных дифференциальных уравнений, которые почти всегда слишком сложны для точного решения, даже на уровне статистической механики. В контексте электромагнетизма это замечание относится не только к динамике свободных зарядов и токов (которые непосредственно входят в уравнения Максвелла), но также к динамике связанных зарядов и токов (которые входят в уравнения Максвелла через определяющие соотношения). В результате обычно используются различные схемы аппроксимации.

Например, в реальных материалах для определения временной и пространственной реакции зарядов необходимо решить сложные уравнения переноса, например, уравнение Больцмана или уравнение Фоккера – Планка. или уравнения Навье – Стокса. Например, см. магнитогидродинамика, гидродинамика, электрогидродинамика, сверхпроводимость, моделирование плазмы. Разработан целый физический аппарат для решения этих вопросов. См., Например, теория линейного отклика, отношения Грина – Кубо и функция Грина (теория многих тел).

Эти сложные теории предоставляют подробные формулы для определяющих соотношений, описывающих электрический отклик различных материалов, таких как диэлектрическая проницаемость, магнитная проницаемость, проводимость и так далее.

Необходимо указать отношения между полем смещения Dи E, а также магнитным H-полем Hи B, прежде чем проводить расчеты по электромагнетизму (т.е. применять макроскопические уравнения Максвелла). Эти уравнения определяют реакцию связанного заряда и тока на приложенные поля и называются определяющими соотношениями.

Определение определяющего отношения между вспомогательными полями D и H и полями E и B начинается с определение самих вспомогательных полей:

$D\; (r,\; t)\; =\; \epsilon \; 0\; E\; (r,\; t)\; +\; P\; (r,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\}$

$H\; (r,\; t)\; =\; 1\; \mu \; 0\; B\; (г,\; т)\; -\; М\; (г,\; т),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; т)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{\backslash \; му\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\; \}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\; -\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t),\}$

где P - поле поляризации, а M - поле намагниченности, которое определяется в терминах микроскопических связанных зарядов и связанного тока соответственно. Прежде чем приступить к вычислению M и P, полезно изучить следующие частные случаи.

Без магнитных или диэлектрических материалов

В отсутствие магнитных или диэлектрических материалов определяющие соотношения просты:

$D\; =\; \epsilon \; 0\; E,\; H\; =\; B\; /\; \mu \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\},\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; /\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}$

где ε 0 и μ 0 - две универсальные константы, называемые диэлектрической проницаемостью свободного пространства и проницаемостью свободного пространства, соответственно..

Изотропные линейные материалы

В (изотропном ) линейном материале, где P пропорционально E, а M пропорционально B, определяющие соотношения также просты. В терминах поляризации P и намагниченности M они равны:

$P\; =\; \epsilon \; 0\; \chi \; e\; E,\; M\; =\; \chi \; m\; H,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; chi\; \_\; \{e\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\},\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; =\; \backslash \; chi\; \_\; \{m\}\; \backslash \; mathbf\; \{H\},\}$

где χ e и χ m - это электрическая и магнитная восприимчивости данного материала соответственно. В терминах D и H определяющие отношения:

$D\; =\; \epsilon \; E,\; H\; =\; B\; /\; \mu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; mathbf\; \{E\},\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; /\; \backslash \; mu,\}$

где ε и μ - константы (которые зависят от материала), называемые диэлектрической проницаемостью и проницаемость материала соответственно. Они связаны с восприимчивостью следующим образом:

$\epsilon \; /\; \epsilon \; 0\; =\; \epsilon \; r\; =\; (\chi \; e\; +\; 1),\; \mu \; /\; \mu \; 0\; =\; \mu \; r\; =\; (\chi \; m\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; /\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{\; 0\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{r\}\; =\; (\backslash \; chi\; \_\; \{e\}\; +1),\; \backslash \; quad\; \backslash \; mu\; /\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{r\}\; =\; (\backslash \; chi\; \_\; \{m\}\; +1)\; \}$

Общий случай

Для реальных материалов определяющие отношения не являются линейными, за исключением приблизительно. Вычисление определяющих отношений из первых принципов включает определение того, как P и M создаются из заданных E и B . Эти зависимости могут быть эмпирическими (основанными непосредственно на измерениях) или теоретическими (основанными на статистической механике, теории переноса или других инструментах физики конденсированного состояния ). Используемая деталь может быть макроскопической или микроскопической в зависимости от уровня, необходимого для изучаемой проблемы.

В общем, определяющие соотношения обычно можно записать:

$D\; =\; \epsilon \; E,\; H\; =\; \mu \; -\; 1\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; mathbf\; \{E\},\; \backslash \; ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; =\; \backslash \; mu\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\}$

но ε и μ, как правило, не простые константы, а функции от E, B, положения и время и тензорный характер. Примеры:

• Дисперсия и Поглощение, где ε и μ являются функциями частоты. (Причинность не позволяет материалам быть недисперсными; см., Например, соотношения Крамерса – Кронига.) Также поля не должны быть в фазе, что приводит к тому, что ε и μ являются сложными. Это также приводит к поглощению.
• Нелинейность, где ε и μ являются функциями E и B.
• анизотропии (например, двулучепреломление или дихроизм ), который возникает, когда ε и μ являются тензорами второго ранга,

$D\; i\; =\; \sum \; j\; \epsilon \; ij\; E\; j\; B\; i\; =\; \sum \; j\; \mu \; ij\; H\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; E\_\; \{j\}\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; B\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{ij\}\; H\_\; \{j\; \}.\}$

• Зависимость P и M от E и B в других местах и ​​в другое время. Это могло быть связано с пространственной неоднородностью; например, в доменной структуре, гетероструктуре или в жидком кристалле, или чаще всего в ситуации, когда есть просто несколько материалов, занимающих разные области пространства. Или это может быть из-за изменяющейся во времени среды или из-за гистерезиса. В таких случаях P и M могут быть рассчитаны как:

$P\; (r,\; t)\; =\; \epsilon \; 0\; \int \; d\; 3\; r\; \prime \; dt\; \prime \; \chi \; ^\; e\; (r,\; r\; \prime \; t,\; t\; \prime ;\; E)\; E\; (r\; \prime ,\; t\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; int\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'}\{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; t\text{'}\; \backslash ;\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; chi\}\}\; \_\; \{e\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'},\; t,\; t\text{'}\; ;\; \backslash \; mathbf\; \{E\})\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'},\; t\text{'})\}$

$M\; (r,\; t)\; =\; 1\; \mu \; 0\; \int \; d\; 3\; r\; \prime \; dt\; \prime \; \chi \; ^\; m\; (\; р,\; r\; \prime ,\; t,\; t\; \prime ;\; В)\; В\; (r\; \prime ,\; t\; \prime ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{\; 0\}\}\}\; \backslash \; int\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'}\{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; t\text{'}\; \backslash ;\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; chi\}\}\; \_\; \{m\}\; (\backslash \; mathbf\; \{\; r\},\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'},\; t,\; t\text{'};\; \backslash \; mathbf\; \{B\})\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'},\; t\text{'}),\}$

в котором диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость функции заменяются интегралами по более общим электрической и магнитной восприимчивости. В однородных материалах зависимость от других местоположений известна как пространственная дисперсия.

В качестве разновидности этих примеров, как правило, материалы являются бианизотропными, где D и B зависят как от E, так и от H через дополнительные константы связи ξ и ζ:

$D\; =\; \epsilon \; E\; +\; \xi \; H,\; B\; =\; \mu \; H\; +\; \zeta \; E.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; +\; \backslash \; xi\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; mu\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; +\; \backslash \; zeta\; \backslash \; mathbf\; \{E\}.\}$

На практике некоторые свойства материалов оказывают незначительное влияние в определенных обстоятельствах, что позволяет пренебречь небольшими эффектами. Например: оптическими нелинейностями можно пренебречь при низкой напряженности поля; материальная дисперсия не имеет значения, когда частота ограничена узкой полосой ; поглощением материала можно пренебречь для длин волн, для которых материал прозрачен; и металлы с конечной проводимостью часто аппроксимируются в микроволнах или более длинных волнах как совершенные металлы с бесконечной проводимостью (образующие жесткие барьеры с нулевой скин-глубиной проникновения поля).

Некоторые искусственные материалы, такие как метаматериалы и фотонные кристаллы, разработаны с индивидуальной диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью.

Расчет определяющих соотношений

Теоретический расчет определяющих уравнений материала является общей, важной и иногда сложной задачей в теоретической физике конденсированного состояния и Материаловедение. В общем, основные уравнения теоретически определяются путем расчета того, как молекула реагирует на локальные поля посредством силы Лоренца. Также может потребоваться моделирование других сил, таких как колебания решетки в кристаллах или силы связи. Учет всех сил приводит к изменениям в молекуле, которые используются для вычисления P и M как функции локальных полей.

Локальные поля отличаются от приложенных полей из-за полей, создаваемых поляризацией и намагниченностью соседнего материала; эффект, который также необходимо смоделировать. Кроме того, реальные материалы не являются непрерывной средой ; локальные поля реальных материалов сильно различаются в атомном масштабе. Поля необходимо усреднить по подходящему объему, чтобы сформировать приближение континуума.

Эти континуальные приближения часто требуют некоторого типа квантово-механического анализа, такого как квантовая теория поля применительно к физике конденсированного состояния. См., Например, теория функционала плотности, отношения Грина – Кубо и функция Грина.

Другой набор методов гомогенизации (развивающийся из традиции обработки материалов, таких как конгломераты и ламинаты ) основаны на приближении неоднородного материала однородной эффективной средой (справедливо для возбуждений с длинами волн, намного большими, чем масштаб неоднородности).

Теоретическое моделирование свойств приближения континуума многих реальных материалов часто также основывается на экспериментальных измерениях. Например, ε изолятора на низких частотах можно измерить, превратив его в конденсатор с параллельными пластинами, а ε на частотах оптического света часто измеряют с помощью эллипсометрии.

термоэлектрических и электромагнитных свойства материи

Эти определяющие уравнения часто используются в кристаллографии, области физики твердого тела.

Электромагнитные свойства твердых тел

Свойство / эффект	Параметры стимулов / отклика системы	Основной тензор системы	Уравнение
Эффект Холла	E = напряженность электрического поля (N⋅C) J = электрический плотность тока (А⋅м) H = напряженность магнитного поля (А⋅м)	ρ = электрическая удельное сопротивление (Ом⋅м)	$E\; k\; =\; \rho \; kij\; J\; i\; H\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; rho\; \_\; \{kij\}\; J\_\; \{i\}\; H\_\; \{j\}\}$
Прямой пьезоэлектрический эффект	σ = напряжение (Па) P = (диэлектрик) поляризация (См · м)	d = прямой пьезоэлектрический коэффициент (C⋅N)	$P\; i\; =\; di\; jk\; \sigma \; jk\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{i\}\; =\; d\_\; \{ijk\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{jk\}\}$
Converse Piezoelectric Effect	ε = Деформация (безразмерная) E = напряженность электрического поля (Н ⋅C)	d = прямой пьезоэлектрический коэффициент (C⋅N)	$\epsilon \; ij\; =\; dijk\; E\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; =\; d\_\; \{ijk\}\; E\_\; \{k\}\}$
Пьезомагнитный эффект	σ = напряжение (Па) M = намагниченность (A⋅m)	q = пьезомагнитный коэффициент (A⋅N⋅m)	$M\; i\; =\; qijk\; \sigma \; jk\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{i\}\; =\; q\_\; \{ijk\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{jk\}\}$

Термоэлектрические свойства твердых тел

Свойство / эффект	Параметры стимулов / отклика системы	Материальный тензор системы	Уравнение
Пироэлектричество	P = (диэлектрическая) поляризация (C⋅m) T = температура (K)	p = пироэлектрический коэффициент ( C⋅m⋅K)	$\Delta \; P\; j\; =\; pj\; \Delta \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; P\_\; \{j\}\; =\; p\_\; \{j\}\; \backslash \; Delta\; T\}$
Электрокалорический эффект	S = энтропия (Дж⋅K) E = напряженность электрического поля (N⋅C)	p = пироэлектрический коэффициент (C⋅m⋅K)	$\Delta \; S\; =\; pi\; \Delta \; E\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; S\; =\; p\_\; \{i\}\; \backslash \; Delta\; E\_\; \{i\}\}$
эффект Зеебека	E = напряженность электрического поля (N⋅C = V⋅m) T = температура (К) x = перемещение (м)	β = термоЭДС (V⋅K)	$E\; i\; =\; -\; \beta \; ij\; \partial \; T\; \partial \; xj\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{i\}\; =\; -\; \backslash \; beta\; \_\; \{ij\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; T\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\}$
Эффект Пельтье	E = напряженность электрического поля (NC) J = электрическая плотность тока (А⋅м) q = тепловой поток (Вт⋅м)	Π = коэффициент Пельтье (Вт⋅А)	$qj\; =\; \Pi \; ji\; J\; i\; \{\; \backslash \; displaystyle\; q\_\; \{j\}\; =\; \backslash \; Pi\; \_\; \{ji\}\; J\_\; \{i\}\}$

Photonics

Показатель преломления

(абсолютный) показатель преломления среды n (безразмерный) равен неотъемлемо важное свойство геометрической и физической оптики, определяемое как отношение световой скорости в вакууме c 0 к скорости в среде c:

$n\; знак\; равно\; с\; 0\; с\; знак\; равно\; \epsilon \; \mu \; \epsilon \; 0\; \mu \; 0\; знак\; равно\; \epsilon \; р\; \mu \; р\; \{\backslash \; Displaystyle\; п\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{c\_\; \{0\}\}\; \{c\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{r\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{r\}\}\}\}$

где ε диэлектрическая проницаемость и ε r относительная диэлектрическая проницаемость среды, аналогично μ - проницаемость, а μ r - относительная проницаемость среды. Диэлектрическая проницаемость вакуума составляет ε 0, а проницаемость вакуума составляет μ 0. В общем, n (также ε r) являются комплексными числами.

. Относительный показатель преломления определяется как отношение двух показателей преломления. Абсолютное относится к материалу, относительное относится ко всем возможным парам интерфейсов;

$n\; AB\; =\; n\; A\; n\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{AB\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\_\; \{A\}\}\; \{n\_\; \{B\}\}\}\}$

Скорость света в веществе

Как как следствие определения, скорость света в материи равна

$c\; =\; 1\; /\; \epsilon \; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; 1\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; mu\}\}\}$

для специальный случай вакуума; ε = ε 0 и μ = μ 0,

$c\; 0\; =\; 1\; /\; \epsilon \; 0\; \mu \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{0\}\; =\; 1\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{\; 0\}\}\}\}$

Пьезооптический эффект

пьезооптический эффект связывает напряжения в твердых телах σ с диэлектрической проницаемостью a, которые связаны тензором четвертого ранга, называемым пьезооптическим коэффициентом Π (единицы K):

$aij\; =\; \Pi \; ijpq\; \sigma \; pq\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; Pi\; \_\; \{ijpq\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{pq\}\}$

явления переноса

Определения

Определения ( тепловые свойства вещества)

Количество (Общее название / с)	(Общее) Символ / с	Определяющее уравнение	Единицы СИ	Размер
Общая теплоемкость	C = теплоемкость вещества	$q\; =\; CT\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; CT\}$	J⋅K	[M] [L] [ T] [Θ]
Линейное тепловое расширение	L = длина материала (м) α = коэффициент линейного теплового расширения (безразмерный) ε = тензор деформации (безразмерный)	$\partial \; L\; /\; \partial \; T\; =\; \alpha \; L\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; partial\; L\; /\; \backslash \; partial\; T\; =\; \backslash \; alpha\; L\}$ $\epsilon \; я\; j\; =\; \alpha \; ij\; \Delta \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; Delta\; T\}$	K	[Θ]
Объемное тепловое расширение	β, γ V = объем объекта (м) p = постоянное давление окружающей среды	$(\partial \; V\; /\; \partial \; T)\; p\; =\; \gamma \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; partial\; V\; /\; \backslash \; partial\; T)\; \_\; \{p\}\; =\; \backslash \; gamma\; V\}$	K	[Θ]
Теплопроводность	κ, K, λ, A= поверхность сечение материала (м) P = тепловой ток / мощность через материал (Вт) ∇T = градиент температуры в материале (K⋅m)	$\lambda \; =\; -\; P\; /\; (A\; \cdot \; \nabla \; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; -P\; /\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; T)\}$	W⋅m⋅K	[M] [L] [T] [Θ]
Теплопроводность	U	$U\; =\; \lambda \; /\; \delta \; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; =\; \backslash \; lambda\; /\; \backslash \; delta\; x\}$	Вт⋅м K	[M] [T] [Θ]
Тепловое сопротивление	R Δx = смещение теплопередачи (м)	$R\; =\; 1\; /\; U\; =\; \Delta \; x\; /\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; 1\; /\; U\; =\; \backslash \; Delta\; x\; /\; \backslash \; lambda\}$	m⋅K⋅W	[M] [L] [T] [Θ]

Определения (электрические / магнитные свойства вещества)

Количество (общепринятое название)	(Общее) Символ / с	Определение уравнения	Единицы СИ	Размер
Электрическое сопротивление	R	$R\; =\; V\; /\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; V\; /\; I\}$	Ω = V ⋅A = J⋅s⋅C	[M] [L] [T] [I]
Удельное сопротивление	ρ	$\rho \; =\; RA\; /\; l\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; RA\; /\; l\}$	Ом⋅м	[M] [L] [T] [I]
Удельное сопротивление температурный коэффициент, линейная температурная зависимость	α	$\rho \; -\; \rho \; 0\; =\; \rho \; 0\; \alpha \; (\; T\; -\; T\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; -\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; =\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; \backslash \; alpha\; (T-T\_\; \{0\})\}$	K	[Θ]
Электропроводность	G	$G\; =\; 1\; /\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; 1\; /\; R\}$	S = Ω	[M] [L] [T] [I]
Электропроводность	σ	$\sigma \; =\; 1\; /\; \rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; 1\; /\; \backslash \; rho\}$	Ω⋅m	[M] [L] [T] [I]
Магнитное сопротивление	R, R m, $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{R\}\}\}$	$R\; m\; =\; M\; /\; \Phi \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{m\}\}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; /\; \backslash \; Phi\; \_\; \{B\}\}$	A⋅Wb = H	[M] [L] [T]
Магнитная проницаемость	P, P м, Λ, $P\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\}$	$\Lambda \; =\; 1\; /\; R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; =\; 1\; /\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{m\}\}\}$	Wb⋅A = H	[M] [L] [T]

Окончательные законы

Есть несколько законов, которые описывают перенос материи или ее свойства почти идентичным образом. В каждом случае словами они читают:

Поток (плотность) пропорционален градиенту, константа пропорциональности является характеристикой материала.

Как правило, постоянная должна быть замененным тензором 2-го ранга, чтобы учесть зависимости материала от направления.

Свойство / эффект	Номенклатура	Уравнение
Закон Фика диффузии, определяет коэффициент диффузии D	D = масса коэффициент диффузии (м⋅с) J = диффузионный поток вещества (моль⋅м⋅с) ∂C / ∂x = (1d) концентрация градиент вещества (mol⋅dm)	$J\; i\; =\; -\; D\; ij\; \partial \; C\; \partial \; xj\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{i\}\; =\; -\; D\_\; \{ij\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; C\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\}$
Закон Дарси для потока жидкости в пористой среде, определяет проницаемость κ	κ = проницаемость среды (м) μ = жидкость вязкость (Па⋅с) q = поток вещества на выходе (м⋅с) ∂P / ∂x = (1d) градиент давления системы (Па⋅м)	$qj\; =\; -\; \kappa \; \mu \; \partial \; P\; \partial \; xj\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{j\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; kappa\}\; \{\backslash \; mu\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\}$
Закон Ома электропроводности, определяет электрическую проводимость (и, следовательно, удельное сопротивление и сопротивление)	V = разность потенциалов в материале (V) I = el электрический ток через материал (A) R = сопротивление материала (Ω) ∂V / ∂x = градиент потенциала (электрическое поле ) через материал (В · м) J = электрический плотность тока через материал (А · м) σ = электрический проводимость материала (Ом⋅м) ρ = электрическое удельное сопротивление материала (Ом⋅м)	Упрощенная форма: $V\; =\; IR\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; IR\}$ Более общие формы: $\partial \; V\; \partial \; xj\; =\; \rho \; ji\; J\; i\; \rightleftharpoons \; J\; i\; =\; \sigma \; ij\; \partial \; V\; \partial \; xj\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; частичный\; x\_\; \{j\}\}\}\; =\; \backslash \; rho\; \_\; \{ji\}\; J\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; rightleftharpoons\; \backslash ,\; J\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{ij\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\; \}\}\}$
Закон Фурье теплопроводности, определяет теплопроводность λ	λ = теплопроводность материала (Вт⋅м⋅K) q = тепловой поток через материал (Вт⋅м) ∂T / ∂x = градиент температуры в материале (K⋅m)	$qi\; =\; -\; \lambda \; ij\; \partial \; T\; \partial \; xj\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{i\}\; =\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{ij\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; T\}\; \{\backslash \; pa\; rtial\; x\_\; \{j\}\}\}\}$
Закон Стефана – Больцмана излучения черного тела, определяет излучательную способность ε	I = интенсивность излучения (Вт⋅м) σ = постоянная Стефана – Больцмана (Вт⋅м⋅K) Tsys = температура излучающей системы (K) Text = температура окружающей среды (K) ε = коэффициент излучения (безразмерный)	Для одного излучателя: $I\; =\; \epsilon \; \sigma \; T\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; sigma\; T\; ^\; \{\; 4\}\}$ Для разницы температур: $I\; =\; \epsilon \; \sigma \; (T\; ext\; 4\; -\; T\; sys\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; sigma\; (T\; \_\; \{\backslash \; text\; \{ext\}\}\; ^\; \{4\}\; -\; T\_\{\backslash text\{sys\}\}^\{4\})\}$ 0 ≤ ε ≤ 1 ε = 0 for perfect reflector ε = 1 for perfect absorber (true black body)

See also

• Principle of material objectivity
• Rheology

Notes