Вибрации круговой мембраны

Один из возможных режимов вибрации идеализированной круглой головки барабана (режим $u\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{12\}\}$с обозначениями ниже). Другие возможные режимы показаны внизу статьи.

Двумерная эластичная мембрана при растяжении может выдерживать поперечные колебания. Свойства идеализированной барабанной пластинки можно моделировать посредством колебаний круглой мембраны постоянной толщины, прикрепленной к жесткой раме. Из-за явления резонанса , на определенных частотах вибрации, своих резонансных частотах, мембрана может накапливать энергию колебаний, при этом поверхность движется по характерному шаблону стоячие волны. Это называется нормальным режимом. Мембрана имеет бесконечное количество этих нормальных мод, начиная с самой низкой частоты, называемой основной модой.

. Существует бесконечно много способов, которыми мембрана может вибрировать, каждый из которых зависит от формы мембраны в некотором начальном состоянии. время и поперечная скорость каждой точки на мембране в это время. Колебания мембраны задаются решениями двумерного волнового уравнения с граничными условиями Дирихле, которые представляют собой ограничение рамы. Можно показать, что любое сколь угодно сложное колебание мембраны может быть разложено на возможно бесконечную серию нормальных режимов мембраны. Это аналогично разложению временного сигнала на ряд Фурье.

Изучение вибрации барабанов привело математиков к постановке известной математической задачи о том, можно ли услышать форму барабана, причем ответ был дан в 1992 году в двумерной постановке.

• 1 Мотивация
• 2 Проблема
• 3 Осесимметричный случай
• 4 Общий случай
• 5 Анимация нескольких режимов вибрации
• 6 См. Также
• 7 Ссылки

Анализ проблемы вибрирующей головки барабана объясняет ударные инструменты, такие как барабаны и литавры. Однако существует также биологическое применение в работе барабанной перепонки. С образовательной точки зрения режимы двумерного объекта - удобный способ визуально продемонстрировать значение режимов, узлов, пучностей и даже квантовых чисел. Эти концепции важны для понимания структуры атома.

Рассмотрим открытый диск $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$радиуса $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \}$с центром в начале координат, который будет представлять "неподвижную" форму головки барабана. В любой момент $t,\; \{\backslash \; displaystyle\; t,\}$высота формы головки барабана в точке $(x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\}$в $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$, измеренное от "неподвижной" формы головки барабана, будет обозначаться $u\; (x,\; y,\; t),\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (\; x,\; y,\; t),\}$, которые могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Пусть $\partial \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \backslash \; Omega\}$обозначает границу из $\Omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega,\}$то есть, круг радиуса $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$с центром в исходной точке, который представляет жесткий каркас, к которому прикреплена головка барабана.

Математическое уравнение, регулирующее вибрацию головки барабана, представляет собой волновое уравнение с нулевыми граничными условиями,

$\partial \; 2\; u\; \partial \; t\; 2\; =\; c\; 2\; (\partial \; 2\; u\; \partial \; x\; 2\; +\; \partial \; 2\; u\; \partial \; y\; 2)\; для\; (x,\; y)\; \in \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; (x,\; y)\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\; \backslash ,\}$

$u\; =\; 0\; на\; \partial \; \Omega .\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; 0\; \{\backslash \; text\; \{on\}\}\; \backslash \; partial\; \backslash \; Omega.\; \backslash ,\}$

Из-за круговой геометрии $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$он будет удобно использовать цилиндрические координаты, $(r,\; \theta ,\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; (r,\; \backslash \; theta,\; z).\}$Тогда приведенные выше уравнения записываются как

$u\; =\; 0\; для\; r\; =\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; 0\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; r\; =\; a.\; \backslash ,\}$

Здесь $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$- положительная константа, которая дает скорость при поперечные колебательные волны распространяются в мембране. С точки зрения физических параметров скорость волны c определяется выражением

$c\; =\; N\; rr\; \ast \; \rho \; h\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{N\_\; \{rr\}\; ^\; \{*\}\}\; \{\backslash \; rho\; h\}\}\}\}$

где $N\; rr\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{rr\}\; ^\; \{*\}\}$, - это радиальная мембрана, равная на границе мембраны ($r\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; a\}$), $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$- толщина мембраны, а $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$- плотность мембраны. Если мембрана имеет равномерное натяжение, сила равномерного натяжения при заданном радиусе $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$может быть записана как

$F\; =\; r\; N\; rrr\; =\; r\; N\; \theta \; \theta \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; rN\_\; \{rr\}\; ^\; \{r\}\; =\; rN\; \_\; \{\backslash \; theta\; \backslash \; theta\}\; ^\; \{r\}\}$

где $N\; \theta \; \theta \; r\; =\; N\; rrr\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \_\; \{\backslash \; theta\; \backslash \; theta\}\; ^\; \{\; r\}\; =\; N\_\; \{rr\}\; ^\; \{r\}\}$- результирующая мембрана в азимутальном направлении.

Сначала мы изучим возможные режимы колебаний круглой головки барабана, которые являются осесимметричными. Тогда функция $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$не зависит от угла $\theta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta,\}$, и волновое уравнение упрощается до

$\partial \; 2\; u\; \partial \; t\; 2\; =\; c\; 2\; (\partial \; 2\; u\; \partial \; r\; 2\; +\; 1\; r\; \partial \; u\; \partial \; r).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; r\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \backslash \; right).\}$

Мы будем искать решения в разделенных переменных, $u\; (r,\; t)\; =\; R\; (r)\; T\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (r,\; t)\; =\; R\; (r)\; T\; (t).\}$Подставив это в уравнение выше и разделив обе стороны на $c\; 2\; R\; (r)\; T\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{2\}\; R\; (r)\; T\; (t)\}$дает

$T\; ″\; (t)\; c\; 2\; T\; (t)\; =\; 1\; R\; (r)\; (R\; ″\; (r)\; +\; 1\; r\; R\; \prime \; (r)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{T\; \text{'}\text{'}\; (t)\}\; \{c\; ^\; \{2\}\; T\; (t)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{R\; (r)\}\}\; \backslash \; left\; (R\; \text{'}\text{'}\; (r)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; R\; \text{'}(r)\; \backslash \; right).\}$

Левая часть этого равенства не зависит от $r,\; \{\backslash \; displaystyle\; r,\}$и правая часть не зависит от $t,\; \{\backslash \; displaystyle\; t,\}$, следовательно, обе части должны быть равны некоторой константе $K.\; \{\backslash \; displaystyle\; K.\}$Мы получаем отдельные уравнения для $T\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (t)\}$и $R\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (r)\}$:

$T\; ″\; (t)\; =\; K\; c\; 2\; T\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \text{'}\text{'}\; (t)\; =\; Kc\; ^\; \{2\}\; T\; (t)\; \backslash ,\}$

$r\; R\; ″\; (r)\; +\; R\; \prime \; (r)\; -\; К\; р\; R\; (r)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; rR\; \text{'}\text{'}\; (r)\; +\; R\; \text{'}(r)\; -KrR\; (r)\; =\; 0.\; \backslash ,\}$

Уравнение для $T\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (t)\}$имеет решения, которые экспоненциально растут или затухают для $K>0,\; \{\backslash \; displaystyle\; K>0,\}$линейны или постоянны для $K\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; 0\}$и являются периодическими для . Физически ожидается, что решение проблемы вибрирующей головки барабана будет колебательным во времени, и при этом останется только в третьем случае , поэтому для удобства мы выбираем $K\; =\; -\; \lambda \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; -\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\}$. Затем $T\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (t)\}$- это лин Комбинация функций синуса и косинуса,

$T\; (t)\; =\; A\; cos\; \; c\; \lambda \; t\; +\; B\; sin\; \; c\; \lambda \; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (t)\; =\; A\; \backslash \; cos\; c\; \backslash \; lambda\; t\; +\; B\; \backslash \; sin\; c\; \backslash \; lambda\; t.\; \backslash ,\}$

Переходя к уравнению для $R\; (r),\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (r),\}$с замечанием, что $K\; =\; -\; \lambda \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; -\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\},\}$все решения этого дифференциального уравнения второго порядка являются линейной комбинацией функций Бесселя порядка 0, поскольку это частный случай дифференциального уравнения Бесселя :

$R\; (r)\; =\; c\; 1\; J\; 0\; (\lambda \; r)\; +\; c\; 2\; Y\; 0\; (\lambda \; r).\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (r)\; =\; c\_\; \{1\}\; J\_\; \{0\}\; (\backslash \; lambda\; r)\; +\; c\_\; \{2\}\; Y\_\; \{0\}\; (\backslash \; lambda\; r).\; \backslash ,\}$

Функция Бесселя $Y\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{0\}\}$не ограничен для $r\; \to \; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; to\; 0,\}$, что приводит к нефизическому решению вибрирующей головки барабана проблема, поэтому константа $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$должна быть нулевой. Мы также предположим, что $c\; 1\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\}\; =\; 1,\}$, поскольку в противном случае эта константа может быть позже преобразована в константы $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$из $T\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (t).\}$Отсюда следует, что

$R\; (r)\; =\; J\; 0\; (\lambda \; r).\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (r)\; =\; J\_\; \{0\}\; (\backslash \; lambda\; r).\}$

Требование, чтобы высота $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$была равна нулю на границе головки барабана приводит к условию

$R\; (a)\; =\; J\; 0\; (\lambda \; a)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (a)\; =\; J\_\; \{0\}\; (\backslash \; lambda\; a)\; =\; 0.\}$

Функция Бесселя $J\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{0\}\}$имеет бесконечное количество положительных корней,

Мы получаем, что $\lambda \; a\; =\; \alpha \; 0\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; a\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{0n\},\}$для $n\; =\; 1,\; 2,\dots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 1,2,\; \backslash \; dots,\}$поэтому

$R\; (r)\; =\; J\; 0\; (\alpha \; 0\; nar).\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (r)\; =\; J\_\; \{0\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{0n\}\}\; \{a\}\}\; r\; \backslash \; right).\}$

Следовательно, осесимметричные решения $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$проблемы вибрирующей головки барабана, которая может быть представлена ​​в виде отдельных переменных:

$u\; 0\; n\; (r,\; t)\; =\; (A\; cos\; \; c\; \lambda \; 0\; nt\; +\; B\; sin\; \; c\; \lambda \; 0\; nt)\; J\; 0\; (\lambda \; 0\; nr)\; для\; n\; =\; 1,\; 2,\dots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{0n\}\; (r,\; t)\; =\; \backslash \; left\; (A\; \backslash \; cos\; c\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0n\}\; t\; +\; B\; \backslash \; sin\; c\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0n\}\; t\; \backslash \; right)\; J\_\; \{0\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{0n\}\; r\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; n\; =\; 1,2,\; \backslash \; dots,\; \backslash ,\}$

где $\lambda \; 0\; n\; =\; \alpha \; 0\; n\; /\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0n\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{0n\}\; /\; a.\}$

Общий случай, когда $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$также может зависеть от угла $\theta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta,\}$обрабатывается аналогично. Мы предполагаем решение в разделенных переменных,

$u\; (r,\; \theta ,\; t)\; =\; R\; (r)\; \Theta \; (\theta )\; T\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (r,\; \backslash \; theta,\; t)\; =\; R\; (r)\; \backslash \; Theta\; (\backslash \; theta)\; T\; (t).\; \backslash ,\}$

Подставляя это в волновое уравнение и разделяя переменные, получаем

$T\; ″\; (T)\; c\; 2\; T\; (t)\; =\; R\; ″\; (r)\; R\; (r)\; +\; R\; \prime \; (r)\; r\; R\; (r)\; +\; \Theta \; ″\; (\theta )\; r\; 2\; \Theta \; (\theta )\; =\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{T\; \text{'}\text{'}\; (t)\}\; \{c\; ^\; \{2\}\; T\; (t)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \text{'}\text{'}\; (r)\}\; \{R\; (r)\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \text{'}(r)\; \}\; \{rR\; (r)\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Theta\; \text{'}\text{'}\; (\backslash \; theta)\}\; \{r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Theta\; (\backslash \; theta)\}\}\; =\; K\}$

где $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$- постоянная величина. Как и раньше, из уравнения для $T\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (t)\}$следует, что $K\; =\; -\; \lambda \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; -\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\; \}\}$с $\lambda >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda>0\}$и

$T\; (t)\; =\; A\; cos\; \; c\; \lambda \; t\; +\; B\; sin\; \; c\; \lambda \; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (t)\; =\; A\; \backslash \; cos\; c\; \backslash \; lambda\; t\; +\; B\; \backslash \; sin\; c\; \backslash \; lambda\; t.\; \backslash ,\}$

Из уравнения

$R\; ″\; (r)\; R\; (r)\; +\; R\; \prime \; (r)\; r\; R\; (r)\; +\; \Theta \; ″\; (\theta )\; р\; 2\; \Theta \; (\theta )\; =\; -\; \lambda \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \text{'}\text{'}\; (r)\}\; \{R\; (r)\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \text{'}(r)\}\; \{rR\; (r)\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Theta\; \text{'}\text{'}\; (\backslash \; theta)\}\; \{r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Theta\; (\backslash \; theta)\}\}\; =\; -\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\}$

получаем, умножая обе стороны на $r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{2\}\}$и разделяя переменные,

$\lambda \; 2\; r\; 2\; +\; r\; 2\; R\; ″\; (r)\; R\; (r)\; +\; r\; R\; \text{'}(Г)\; р\; (г)\; знак\; равно\; L\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; лямбда\; ^\; \{2\}\; г\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{г\; ^\; \{2\}\; R\text{'}\; \text{'}(г)\}\; \{R\; (г)\}\}\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{rR\; \text{'}(r)\}\; \{R\; (r)\}\}\; =\; L\}$

и

$-\; \Theta \; ″\; (\theta )\; \Theta \; (\theta )\; =\; L,\; \{\backslash \; displa\; ystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Theta\; \text{'}\text{'}\; (\backslash \; theta)\}\; \{\backslash \; Theta\; (\backslash \; theta)\}\}\; =\; L,\}$

для некоторой константы $L.\; \{\backslash \; displaystyle\; L.\}$Поскольку $\Theta \; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Theta\; (\backslash \; theta)\}$периодический, с периодом $2\; \pi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi,\}$$\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$, будучи угловой переменной, следует, что

$\Theta \; (\theta )\; =\; C\; cos\; \; m\; \theta \; +\; D\; sin\; \; m\; \theta ,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; Theta\; (\backslash \; theta)\; =\; C\; \backslash \; cos\; m\; \backslash \; theta\; +\; D\; \backslash \; sin\; m\; \backslash \; theta,\; \backslash ,\}$

где $m\; =\; 0,\; 1,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; 0,1,\; \backslash \; точки\}$и $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$и $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$- некоторые константы. Это также подразумевает $L\; =\; м\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; m\; ^\; \{2\}.\}$

Возвращаясь к уравнению для $R\; (r),\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (r),\}$, его решение представляет собой линейную комбинацию из функций Бесселя $J\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{m\}\}$и $Y\; m.\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{m\}.\}$Используя аргументы, аналогичные аргументам в предыдущем разделе, мы приходим к

$R\; (r)\; =\; J\; m\; (\lambda \; mnr),\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (r)\; =\; J\_\; \{m\}\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{mn\}\; r),\; \backslash ,\}$$m\; =\; 0,\; 1,\dots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; 0,1,\; \backslash \; dots,\}$$n\; =\; 1,\; 2,\dots ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; n\; =\; 1,2,\; \backslash \; dots,\}$

где $\lambda \; mn\; =\; \alpha \; mn\; /\; a,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{mn\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{mn\}\; /\; a,\; \}$с $\alpha \; mn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{mn\}\}$$n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-й положительный корень $Дж\; м.\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{m\}.\}$

Мы показали, что все решения в отдельных переменных задачи вибрирующей головки барабана имеют вид

$umn\; (r,\; \theta ,\; t)\; =\; (A\; cos\; \; c\; \lambda \; mnt\; +\; В\; грех\; \; с\; \lambda \; mnt)\; J\; м\; (\lambda \; mnr)\; (C\; соз\; \; м\; \theta \; +\; D\; грех\; \; м\; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{mn\}\; (r,\; \backslash \; theta,\; t)\; =\; \backslash \; left\; (A\; \backslash \; cos\; c\; \backslash \; лямбда\; \_\; \{mn\}\; t\; +\; B\; \backslash \; sin\; c\; \backslash \; lambda\; \_\; \{mn\}\; t\; \backslash \; right)\; J\_\; \{m\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{mn\}\; r\; \backslash \; right)\; (C\; \backslash \; cos\; m\; \backslash \; theta\; +\; D\; \backslash \; sin\; m\; \backslash \; theta)\}$

для $m\; =\; 0,\; 1,\dots ,\; n\; =\; 1,\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; 0,1,\; \backslash \; dots,\; n\; =\; 1,2,\; \backslash \; dots\}$

Ряд режимов показан ниже вместе с их квантовыми числами. Также указаны аналогичные волновые функции атома водорода, а также соответствующие угловые частоты $\omega \; =\; \lambda \; mnc\; =\; \alpha \; mnc\; /\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{mn\}\; c\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{mn\}\; c\; /\; a\}$.

• 

  Mode $u\; 01\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{01\}\}$(1s) с $\alpha \; 01\; =\; 2.40483\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{01\}\; =\; 2.40483\}$

• 

  Режим $u\; 02\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{02\}\}$(2s) с $\alpha \; 02\; =\; 5.52008\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{02\}\; =\; 5.52008\}$

• 

  Mode $u\; 03\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{03\}\}$(3s) с $\alpha \; 03\; =\; 8.65373\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{03\}\; =\; 8.65373\}$

• 

  Mode $u\; 11\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{11\}\}$(2p) с $\alpha \; 11\; =\; 3.83171\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{11\}\; =\; 3.83171\}$

• 

  Mode $u\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{12\}\}$(3p) с $\alpha \; 12\; =\; 7.01559\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{12\}\; =\; 7.01559\}$

• 

  Mode $u\; 13\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{13\}\; \}$(4p) с $\alpha \; 13\; =\; 10.1735\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{13\}\; =\; 10.1735\}$

• 

  Mode $u\; 21\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{21\}\}$(3d) с $\alpha \; 21\; =\; 5,13\; 562\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{21\}\; =\; 5.13562\}$

• 

  Mode $u\; 22\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{22\}\}$(4d) с $\alpha \; 22\; =\; 8.41724\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{22\}\; =\; 8.41724\}$

• 

  Mode $u\; 23\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{23\}\}$(5d) с $\alpha \; 23\; =\; 11.6198\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{\; 23\}\; =\; 11.6198\}$

• Вибрирующая струна, одномерный случай
• Узоры Хладни, раннее описание связанного явления, в частности, с музыкальными инструментами; см. также киматика
• Слушание формы барабана, характеристика режимов по отношению к форме мембраны
• Атомная орбиталь, связанная квантово-механическая и трехмерная проблема

• H. Асмар, Нахле (2005). Уравнения в частных производных с рядами Фурье и краевые задачи. Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Pearson Prentice Hall. п. 198. ISBN 0-13-148096-0. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | coauthors =()