Метод Галеркина

В математике, в области численного анализа, Методы Галеркина - это класс методов преобразования непрерывной операторной задачи (такой как дифференциальное уравнение ) в дискретную задачу. В принципе, это эквивалент применения метода изменения параметров к функциональному пространству путем преобразования уравнения в слабую формулировку. Обычно затем применяют некоторые ограничения к функциональному пространству, чтобы охарактеризовать пространство с помощью конечного набора базисных функций.

Этот подход обычно приписывают Борису Галеркину. Метод был объяснен западному читателю, среди прочих, Хенки и Дункан. Его сходимость изучалась Михлиным и Лейпгольцем. Его совпадение с методом Фурье было проиллюстрировано Элишаковым и др. Его эквивалентность методу Ритца для консервативных задач была показана Зингером. Гандер и Ваннер показали, как методы Ритца и Галеркина привели к современному методу конечных элементов. Сто лет развития метода рассказал Репин. Часто, ссылаясь на метод Галеркина, наряду с типичными используемыми методами аппроксимации также указывается название, например, метод Бубнова – Галеркина (после Иван Бубнов ), метод Петрова – Галеркина (после Георгий И. Петров) или метод Ритца – Галеркина (по Вальтеру Ритцу ).

Примерами методов Галеркина являются:

• метод взвешенных остатков Галеркина, наиболее распространенный метод вычисления глобальной матрицы жесткости в конечном метод элементов,
• метод граничных элементов для решения интегральных уравнений,
• методы подпространства Крылова.

• 1 Введение с абстрактной задачей
  • 1.1 Задача в слабой постановке
  • 1.2 Уменьшение размерности Галеркина
  • 1.3 Ортогональность Галеркина
  • 1.4 Форма матрицы
    • 1.4.1 Симметрия матрицы
• 2 Анализ методов Галеркина
  • 2.1 Корректность уравнения Галеркина
  • 2.2 Квази-наилучшее приближение (лемма Сеа)
    • 2.2.1 Доказательство
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Проблема в слабой формулировка

Давайте познакомим вас с методом Галеркина с абстрактной проблемой, представленной как слабая формулировка на гильбертовом пространстве $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$, а именно,

найти $u\; \in \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; in\; V\}$такой, что для всех $v\; \in \; V,\; a\; (u,\; v)\; =\; f\; (v)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \backslash \; in\; V,\; a\; (u,\; v)\; =\; f\; (v)\}$.

Здесь $a\; (\cdot ,\; \cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (\backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot)\}$- билинейная форма (точные требования к $a\; (\cdot ,\; \cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (\backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot)\}$будут указаны позже) и $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$- линейный ограниченный функционал на $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$.

уменьшение размерности Галеркина

Выберите подпространство $V\; n\; \subset \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{n\}\; \backslash \; subset\; V\; \}$размерности n и решите прогнозируемую задачу:

Найдите $un\; \in \; V\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{n\}\; \backslash \; in\; V\_\; \{n\}\}$такое, что для все $vn\; \in \; V\; n,\; a\; (un,\; vn)\; =\; f\; (vn)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{n\}\; \backslash \; in\; V\_\; \{n\},\; a\; (u\_\; \{n\},\; v\_\; \{n\})\; =\; f\; (v\_\; \{n\})\}$.

Мы называем это уравнением Галеркина . Обратите внимание, что уравнение осталось неизменным, и изменились только пробелы. Сведение проблемы к конечномерному векторному подпространству позволяет нам численно вычислить $un\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{n\}\}$как конечную линейную комбинацию базисных векторов в $V\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{n\}\}$.

Ортогональность Галеркина

Ключевым свойством подхода Галеркина является то, что ошибка ортогональна выбранным подпространствам. Поскольку $V\; n\; \subset \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{n\}\; \backslash \; subset\; V\}$, мы можем использовать $vn\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{n\}\}$в качестве теста вектор в исходном уравнении. Вычитая два, мы получаем соотношение ортогональности Галеркина для ошибки, $ϵ\; n\; =\; u\; -\; un\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{n\}\; =\; u-u\_\; \{n\}\}$, что является ошибкой между решением исходной задачи $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$и решением уравнения Галеркина $un\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{n\}\}$

$a\; (ϵ\; n,\; vn)\; знак\; равно\; a\; (u,\; vn)\; -\; a\; (un,\; vn)\; =\; f\; (vn)\; -\; f\; (vn)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (\backslash \; epsilon\; \_\; \{n\},\; v\_\; \{n\})\; =\; a\; (u,\; v\_\; \{n\})\; -\; a\; (u\_\; \{n\},\; v\_\; \{n\})\; =\; f\; (v\_\; \{n\})\; -\; f\; (v\_\; \{n\})\; =\; 0.\}$

Форма матрицы

Поскольку целью метода Галеркина является создание линейной системы уравнений, мы строим ее матричную форму, которую можно использовать для алгоритмического вычисления решения.

Пусть $e\; 1,\; e\; 2,\dots ,\; en\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{1\},\; e\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; e\_\; \{n\}\}$будет a основа для $V\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{n\}\}$. Затем достаточно использовать их по очереди для проверки уравнения Галеркина, то есть: найти $un\; \in \; V\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{n\}\; \backslash \; in\; V\_\; \{n\}\}$такое, что

$a\; (un,\; ei)\; =\; f\; (ei)\; i\; =\; 1,\dots ,\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (u\_\; \{n\},\; e\_\; \{i\})\; =\; f\; (e\_\; \{i\})\; \backslash \; quad\; i\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; n.\}$

Мы расширяем $un\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{n\; \}\}$относительно этого базиса $un\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; nujej\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; u\_\; \{j\}\; e\_\; \{\; j\}\}$и вставьте его в уравнение выше, чтобы получить

$a\; (\sum \; j\; =\; 1\; nujej,\; ei)\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; nuja\; (ej,\; ei)\; =\; f\; (ei)\; i\; =\; 1,\dots ,\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; u\_\; \{j\}\; e\_\; \{j\},\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; u\_\; \{\; j\}\; a\; (e\_\; \{j\},\; e\_\; \{i\})\; =\; f\; (e\_\; \{i\})\; \backslash \; quad\; i\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; n.\}$

Это предыдущее уравнение на самом деле является линейной системой уравнений $A\; u\; =\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; Au\; =\; f\}$, где

$A\; ij\; =\; a\; (ej,\; ei),\; fi\; =\; f\; (ei).\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{ij\}\; =\; a\; (e\_\; \{j\},\; e\_\; \{i\}),\; \backslash \; quad\; f\_\; \{i\}\; =\; f\; (e\_\; \{i\}).\}$

Симметрия матрицы

Из-за определения элементов матрицы матрица уравнения Галеркина является симметричной тогда и только тогда, когда билинейная форма $a\; (\cdot ,\; \cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (\backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot)\; \}$симметричен.

Здесь мы ограничимся симметричными билинейными формами, то есть

$a\; (u,\; v)\; =\; a\; (v,\; u).\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (u,\; v)\; =\; a\; (v,\; u).\}$

Хотя на самом деле это не ограничение методов Галеркина, применение стандартной теории становится намного проще. Кроме того, в несимметричном случае может потребоваться метод Петрова – Галеркина.

Анализ этих методов проводится в два этапа. Во-первых, мы покажем, что уравнение Галеркина является корректно поставленной задачей в смысле Адамара и поэтому допускает единственное решение. На втором этапе мы изучаем качество аппроксимации решения Галеркина $un\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{n\}\}$.

Анализ в основном будет опираться на два свойства билинейной формы, а именно

• Ограниченность: для всех $u,\; v\; \in \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; u,\; v\; \backslash \; in\; V\}$выполняется

  $a\; (u,\; v)\; \le \; C\; \Vert \; u\; \Vert \; \Vert \; v\; \Vert \; \{\; \backslash \; displaystyle\; a\; (u,\; v)\; \backslash \; leq\; C\; \backslash \; |\; u\; \backslash \; |\; \backslash ,\; \backslash \; |\; v\; \backslash \; |\}$для некоторой константы $C>0\; \{\backslash \; displaystyle\; C>0\}$

• Эллиптичность: для все $u\; \in \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; in\; V\}$содержит

  $a\; (u,\; u)\; \ge \; c\; \Vert \; u\; \Vert \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (u,\; u)\; \backslash \; geq\; c\; \backslash \; |\; u\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\}$для некоторой константы $c>0.\; \{\backslash \; displaystyle\; c>0.\}$

По теореме Лакса-Милграма ( см. слабая формулировка ), эти два условия подразумевают корректность исходной задачи в слабой формулировке. Все нормы в следующих разделах будут нормами, для которых выполняются указанные выше неравенства (эти нормы часто называют энергетической нормой).

Корректность уравнения Галеркина

Поскольку $V\; n\; \subset \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{n\}\; \backslash \; subset\; V\}$, ограниченность и эллиптичность билинейная форма применяется к $V\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{n\}\}$. Следовательно, корректность проблемы Галеркина фактически унаследована от корректности исходной проблемы.

Квази-наилучшее приближение (лемма Сеа)

Ошибка $u\; -\; un\; \{\backslash \; displaystyle\; u-u\_\; \{n\}\}$между оригиналом и галеркинским решение допускает оценку

$\Vert \; u\; -\; un\; \Vert \; \le \; C\; c\; inf\; vn\; \in \; V\; n\; \Vert \; u\; -\; vn\; \Vert .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; u-u\_\; \{n\}\; \backslash \; |\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{c\}\}\; \backslash \; inf\; \_\; \{v\_\; \{n\}\; \backslash \; in\; V\_\; \{n\}\}\; \backslash \; |\; u-v\_\; \{n\}\; \backslash \; |.\}$

Это означает, что до константы $C\; /\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; /\; c\}$решение Галеркина $un\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{n\}\}$настолько близок к исходному решению $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$, как и любой другой вектор в $V\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{n\}\}$. В частности, будет достаточно изучить аппроксимацию пробелами $V\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{n\}\}$, полностью забыв о решаемом уравнении.

Доказательство

Поскольку доказательство очень простое и является основным принципом, лежащим в основе всех методов Галеркина, мы включаем его сюда: в силу эллиптичности и ограниченности билинейной формы (неравенства) и ортогональности Галеркина (знак равенства в середине), мы имеем для произвольного $vn\; \in \; V\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{n\}\; \backslash \; in\; V\_\; \{n\}\}$:

$c\; \Vert \; u\; -\; un\; \Vert \; 2\; \le \; a\; (u\; -\; un,\; u\; -\; un)\; =\; a\; (u\; -\; un,\; u\; -\; vn)\; \le \; C\; \Vert \; u\; -\; un\; \Vert \; \Vert \; u\; -\; vn\; \Vert .\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \backslash \; |\; u-u\_\; \{n\}\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; leq\; a\; (u-u\_\; \{n\},\; u-u\_\; \{n\})\; =\; a\; (u-u\_\; \{n\},\; u-v\_\; \{\; n\})\; \backslash \; leq\; C\; \backslash \; |\; u-u\_\; \{n\}\; \backslash \; |\; \backslash ,\; \backslash \; |\; u-v\_\; \{n\}\; \backslash \; |.\}$

Деление на $c\; \Vert \; u\; -\; un\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \backslash \; |\; u-u\_\; \{n\}\; \backslash \; |\}$и взяв инфимум по всем возможным $vn\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{n\}\}$, получаем лемму.

• Метод Ритца

1. ^Галеркин Б.Г., 1915, Стержни и пластины, серии, встречающиеся в различных вопросах, касающихся упругого равновесия стержней и пластин, Вестник Инженеров и Техников, ( Бюллетень инженеров и технологов. 19, 897-908 (на русском языке), (английский перевод: 63-18925, Clearinghouse Fed. Sci. Tech. Info, 1963).
2. ^"Le destin douloureux de Walther Ritz (1878-1909)", (Жан-Клод Пон, редактор), Cahiers de Vallesia, 24, (2012), ISBN 978-2- 9700636-5-0
3. ^Хенки Х., 1927, Eine wichtige Vereinfachung der Methode von Ritz zur angennäherten Behandlung von Variationproblemen, ZAMM: Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik, Vol. 7, 80-81 (на немецком языке).
4. ^Дункан, У. Дж., 1937, Метод Галеркина в механике и дифференциальных уравнениях, Отчеты и меморандумы Комитета по авиационным исследованиям, № 1798.
5. ^Дункан, У. Дж., 1938, Принципы метода Галеркина, Отчет и меморандумы об авиационных исследованиях, № 1894.
6. ^С. Г. Михлин, "Вариационные методы в математической физике", Pergamon Press, 1964
7. ^Leipholz H.H.E., 1976, Использование метода Галеркина для задач вибрации, Shock and Vibration Digest, Vol. 8, 3-18
8. ^Leipholz H.H.E., 1967, Über die Wahl der Ansatzfunktionen bei der Durchfuchrung des Verfahrens von Galerkin, Acta Mech., Vol. 3, 295-317 (на немецком языке).
9. ^Leipholz H.H.E., 1967, Über die Befreiung der Anzatzfunktionen des Ritzschen und Galerkinschen Verfahrens von den Randbedingungen, Ing. Arch., Vol. 36, 251-261 (на немецком языке).
10. ^Лейпхольц, H.H.E., 1976, Использование метода Галеркина для решения проблем с вибрацией, The Shock and Vibration Digest Vol. 8, 3-18, 1976.
11. ^Элишаков И., Ли Л.Х.Н., 1986, Об эквивалентности методов рядов Галеркина и Фурье для одного класса задач, Journal of Sound and Vibration, Vol. 109, 174–177.
12. ^Елишаков, И., Зингалес, М., 2003, Совпадение решения Бубнова-Галеркина и точного решения в задаче прикладной механики, Журнал прикладной механики, т. 70, 777-779.
13. ^Елишаков И., Зингалес М., 2004, На примере сходимости метода Бубнова-Галеркина, AIAA Journal, Vol. 42 (9), 1931-1933.
14. ^Сингер Дж., 1962, Об эквивалентности методов Галеркина и Рэлея-Ритца, Журнал Королевского авиационного общества, т. 66, No. 621, p.592.
15. ^Гандер, М.Дж., Ваннер, Г., 2012 г., От Эйлера, Ритца и Галеркина до современных вычислений, SIAM Review, Vol. 54 (4), 627-666.
16. ^] Репин С., 2017, Сто лет метода Галеркина, вычислительные методы и прикладная математика, Том 17 (3), 351-357.
17. ^«Георгий Иванович Петров (к 100-летию со дня рождения)», Fluid Dynamics, май 2012 г., том 47, выпуск 3, стр. 289-291, DOI 10.1134 / S0015462812030015
18. ^A. Эрн, Дж.Л. Гермонд, Теория и практика конечных элементов, Springer, 2004, ISBN 0-387-20574-8
19. ^S. Бреннер, Р. Л. Скотт, Математическая теория методов конечных элементов, 2-е издание, Springer, 2005 г., ISBN 0-387-95451-1
20. ^P. Дж. Чиарлет, Метод конечных элементов для эллиптических задач, Северная Голландия, 1978, ISBN 0-444-85028-7
21. ^Y. Саад, Итерационные методы для разреженных линейных систем, 2-е издание, SIAM, 2003, ISBN 0-89871-534-2

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Метод Галеркина из MathWorld