Слабые формулировки

редактировать

Слабые формулировки - важные инструменты для анализа математических уравнений, которые позволяют передавать концепции из линейной алгебры для решения задач в других областях, таких как уравнения в частных производных. В слабой формулировке уравнение больше не обязательно должно выполняться абсолютно (и это даже не определено четко), а вместо этого имеет слабые решения только в отношении определенных «тестовых векторов» или «тестовые функции ». Это эквивалентно формулировке проблемы, требующей решения в смысле распределения .

Мы вводим слабые формулировки на нескольких примерах и представляем основную теорему для решения, теорему Лакса – Милграма . Теорема названа в честь Питера Лакса и Артура Милгрэма, которые доказали ее в 1954 году.

Содержание

1 Общая концепция
2 Пример 1: линейная система уравнений
3 Пример 2: уравнение Пуассона
4 Теорема Лакса – Милграма
- 4.1 Применение к примеру 1
- 4.2 Применение к примеру 2
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние links

Общая концепция

Пусть $V {\ displaystyle V}$ $V$ будет банаховым пространством. Мы хотим найти решение $u ∈ V {\ displaystyle u \ in V}$ $u \ in V$ уравнения

A u = f {\ displaystyle Au = f}

Au = f

где $A: V → V ′ {\ displaystyle A \ двоеточие V \ to V '}$ $A\colon V\to V'$ и $f ∈ V ′ {\ displaystyle f \ in V'}$ $f\in V'$ , с $V ′ {\ displaystyle V '}$ $V'$ является двойным из $V {\ displaystyle V}$ $V$ .

. Это эквивалентно нахождению $u ∈ V { \ displaystyle u \ in V}$ $u \ в V$ так, что для всех $v ∈ V {\ displaystyle v \ in V}$ $v \ in V$ выполняется:

[A u] (v) = f (v) {\ displaystyle [Au] (v) = f (v)}

[Au] (v) = f (v)

Здесь мы вызываем $v {\ displaystyle v}$ $v$ тестовый вектор или тестовую функцию.

Мы переводим это в общую форму слабой формулировки, а именно, находим $u ∈ V {\ displaystyle u \ in V}$ $u \ в V$ такое, что

a (u, v) знак равно е (v) ∀ v ∈ V, {\ displaystyle a (u, v) = f (v) \ quad \ forall v \ in V,}

a (u, v) = f (v) \ quad \ forall v \ in V,

путем определения билинейной формы

a (u, v): = [A u] (v). {\ displaystyle a (u, v): = [Au] (v).}

a(u,v):=[Aught(v).

Поскольку это очень абстрактно, давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: линейная система уравнений

Теперь пусть $V = R n {\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {n}}$ $V = { \ mathbb R} ^ {n}$ и $A: V → V {\ displaystyle A: V \ to V}$ $A: V \ to V$ быть линейным отображением. Затем слабая формулировка уравнения

A u = f {\ displaystyle Au = f}

Au = f

включает нахождение $u ∈ V {\ displaystyle u \ in V}$ $u \ в V$ такого, что для все $v ∈ V {\ displaystyle v \ in V}$ $v \ in V$ выполняется следующее уравнение:

⟨A u, v⟩ = ⟨f, v⟩, {\ displaystyle \ langle Au, v \ rangle = \ langle f, v \ rangle,}

{\ displaystyle \ langle Au, v \ rangle = \ langle f, v \ rangle,}

где $⟨⋅, ⋅⟩ {\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ обозначает внутренний продукт.

Поскольку $A {\ displaystyle A}$ $A$ является линейным отображением, достаточно протестировать с базисными векторами, и мы получаем

⟨A u, ei⟩ = ⟨ f, ei⟩ i = 1,…, n. {\ displaystyle \ langle Au, e_ {i} \ rangle = \ langle f, e_ {i} \ rangle \ quad i = 1, \ ldots, n.}

{\ displaystyle \ langle Au, e_ {i} \ rangle = \ langle f, e_ {i} \ rangle \ quad i = 1, \ ldots, n.}

Фактически, расширение $u = ∑ j = 1 nujej {\ displaystyle u = \ sum _ {j = 1} ^ {n} u_ {j} e_ {j}}$ $u = \ сумма _ {{j = 1}} ^ {n} u_ {j} e_ {j}$ , получаем матричную форму уравнения

A u = f, {\ Displaystyle \ mathbf {A} \ mathbf {u} = \ mathbf {f},}

{\ mathbf A} {\ mathbf u} = {\ mathbf f},

где $aij = ⟨A ej, ei⟩ {\ displaystyle a_ {ij} = \ langle Ae_ {j }, e_ {i} \ rangle}$ $a _ {{ij}} = \ langle Ae_ {j}, e_ {i} \ rangle$ и $fi = ⟨f, ei⟩ {\ displaystyle f_ {i} = \ langle f, e_ {i} \ rangle}$ $f_ {i} = \ langle f, e_ {i} \ rangle$ .

Билинейный форма, связанная с этой слабой формулировкой, имеет вид

a (u, v) = v TA u. {\ displaystyle a (u, v) = \ mathbf {v} ^ {T} \ mathbf {A} \ mathbf {u}.}

a (u, v) = {\ mathbf v} ^ {T} {\ mathbf A} {\ mathbf u}.

Пример 2: уравнение Пуассона

Наша цель - решить уравнение Пуассона

- ∇ 2 u = f, {\ displaystyle - \ nabla ^ {2} u = f,}

{\ displaystyle - \ nabla ^ {2} u = f,}

в области $Ω ⊂ R d {\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {d}}$ $\ Omega \ subset {\ mathbb R} ^ {d}$ с $u = 0 {\ displaystyle u = 0}$ $u = 0$ на границе, и мы хотим указать пространство решений $V {\ displaystyle V}$ $V$ позже. Мы будем использовать $L 2 {\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ -scalar product

⟨u, v⟩ = ∫ Ω uvdx {\ displaystyle \ langle u, v \ rangle = \ int _ {\ Omega} uv \, dx}

\ langle u, v \ rangle = \ int _ {\ Omega} uv \, dx

, чтобы получить нашу слабую формулировку. Затем, проверяя дифференцируемые функции $v {\ displaystyle v}$ $v$ , мы получаем

- ∫ Ω (∇ 2 u) v d x = ∫ Ω f v d x. {\ displaystyle - \ int _ {\ Omega} (\ nabla ^ {2} u) v \, dx = \ int _ {\ Omega} fv \, dx.}

- \ int _ {\ Omega} (\ nabla ^ {2} u) v \, dx = \ int _ {\ Omega} fv \, dx.

Мы можем составить левую часть этого уравнения более симметричным путем интегрирования по частям с использованием идентичности Грина и предположения, что $v = 0 {\ displaystyle v = 0}$ $v=0$ на $∂ Ω { \ Displaystyle \ partial \ Omega}$ $\ partial \ Omega$ :

∫ Ω ∇ U ⋅ ∇ vdx = ∫ Ω fvdx. {\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla v \, dx = \ int _ {\ Omega} fv \, dx.}

\ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla v \, dx = \ int _ {\ Omega} fv \, dx.

Это то, что обычно называют слабой формулировкой Уравнение Пуассона. Нам еще предстоит указать пробел $V {\ displaystyle V}$ $V$ , в котором нужно найти решение, но, как минимум, он должен позволить нам записать это уравнение. Следовательно, мы требуем, чтобы функции в $V {\ displaystyle V}$ $V$ были равны нулю на границе и имели интегрируемые с квадратом производные. Подходящим пространством для удовлетворения этих требований является пространство Соболева $H 0 1 (Ω) {\ displaystyle H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$ $H_ {0} ^ {1} (\ Omega)$ функций со слабыми производными в $L 2 (Ω) {\ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}$ $L ^ 2 (\ Omega)$ и с нулевыми граничными условиями, поэтому мы устанавливаем $V Знак равно H 0 1 (Ω) {\ displaystyle V = H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$ $V = H_ {0} ^ {1} (\ Омега)$

Мы получаем общую форму, присвоив

a (u, v) = ∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ vdx {\ displaystyle a (u, v) = \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla v \, dx}

a (u, v) = \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla v \, dx

f (v) = ∫ Ω fvdx. {\ displaystyle f (v) = \ int _ {\ Omega} fv \, dx.}

f (v) = \ int _ {\ Omega} fv \, dx.

Теорема Лакса – Милгрэма

Это формулировка теоремы Лакса – Милграма, который основан на свойствах симметричной части билинейной формы . Это не самая общая форма.

Пусть $V {\ displaystyle V}$ $V$ будет гильбертовым пространством и $a (⋅, ⋅) {\ displaystyle a (\ cdot, \ cdot)}$ $a (\ cdot, \ cdot)$ a билинейная форма на $V {\ displaystyle V}$ $V$ , которая

ограничена : $| а (и, v) | ≤ С ‖ U ‖ ‖ v ‖ {\ displaystyle | a (u, v) | \ leq C \ | u \ | \ | v \ |}$ $| a (u, v) | \ leq C \ | u \ | \ | v \ |$ и
принудительный : $a (u, u) ≥ c ‖ u ‖ 2. {\ displaystyle a (u, u) \ geq c \ | u \ | ^ {2}.}$ $a (u, u) \ geq c \ | u \ | ^ { 2}.$

Тогда для любого $f ∈ V ′ {\ displaystyle f \ in V '}$ $f\in V'$ , существует единственное решение $u ∈ V {\ displaystyle u \ in V}$ $u \ в V$ уравнения

a (u, v) = f (v) ∀ v ∈ V { \ displaystyle a (u, v) = f (v) \ quad \ forall v \ in V}

{\ displaystyle a (u, v) = f (v) \ quad \ forall v \ in V}

и имеет значение

‖ u ‖ ≤ 1 c ‖ f ‖ V '. {\ displaystyle \ | u \ | \ leq {\ frac {1} {c}} \ | f \ | _ {V '}.}

\|u\|\leq {\frac 1c}\|f\|_{{V'}}.

Применение к примеру 1

Здесь применение Теорема Лакса – Милграма определенно является более сильным результатом, чем необходимо, но мы все же можем использовать ее и придать этой задаче ту же структуру, что и другие.

Ограниченность: все билинейные формы на $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ограничены. В частности, у нас
$| а (и, v) | ≤ ‖ A ‖ ‖ U ‖ ‖ v ‖ {\ displaystyle | a (u, v) | \ leq \ | A \ | \, \ | u \ | \, \ | v \ |}$ ${\ displaystyle | a (u, v) | \ leq \ | A \ | \, \ | u \ | \, \ | v \ |}$
Коэрцитивность: это на самом деле означает, что действительные части собственных значений $A {\ displaystyle A}$ $A$ не меньше, чем $c {\ displaystyle c}$ $c$ . Поскольку это, в частности, означает, что никакое собственное значение не равно нулю, система разрешима.

Кроме того, мы получаем оценку

‖ u ‖ ≤ 1 c ‖ f ‖, {\ displaystyle \ | u \ | \ leq {\ frac {1} {c}} \ | f \ |,}

{\ displaystyle \ | u \ | \ leq {\ frac {1} {c}} \ | f \ |,}

где $c {\ displaystyle c}$ $c$ - минимальная действительная часть собственного значения $A {\ displaystyle A}$ $A$ .

Применение к примеру 2

Здесь, как мы упоминали выше, мы выбираем $V = H 0 1 (Ω) {\ displaystyle V = H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$ $V = H_ {0} ^ {1} (\ Омега)$ с нормой

‖ v ‖ V: = ‖ ∇ v ‖, {\ displaystyle \ | v \ | _ {V}: = \ | \ nabla v \ |,}

\ | v \ | _ {V}: = \ | \ nabla v \ |,

, где норма справа - это $L 2 {\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ -норма на $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ ( это обеспечивает истинную норму для $V {\ displaystyle V}$ $V$ с помощью неравенства Пуанкаре ). Но мы видим, что $| а (и, и) | = ‖ ∇ u ‖ 2 {\ displaystyle | a (u, u) | = \ | \ nabla u \ | ^ {2}}$ $| a (u, u) | = \ | \ nabla u \ | ^ {2}$ и по неравенству Коши – Шварца, $| а (и, v) | ≤ ‖ ∇ U ‖ ‖ ∇ v ‖ {\ displaystyle | a (u, v) | \ leq \ | \ nabla u \ | \, \ | \ nabla v \ |}$ $| a (u, v) | \ leq \ | \ nabla u \ | \, \ | \ nabla v \ |$ .

Следовательно, для любого $f ∈ [H 0 1 (Ω)] ′ {\ displaystyle f \ in [H_ {0} ^ {1} (\ Omega)] '}$ $f\in [H_{0}^{1}(\Omega)]'$ , существует единственное решение $u ∈ V {\ displaystyle u \ in V}$ $u \ в V$ of уравнение Пуассона, и у нас есть оценка

‖ ∇ u ‖ ≤ ‖ f ‖ [H 0 1 (Ω)] ′. {\ displaystyle \ | \ nabla u \ | \ leq \ | f \ | _ {[H_ {0} ^ {1} (\ Omega)] '}.}

\|\nabla u\|\leq \|f\|_{{[H_{0}^{1}(\Omega)]'}}.

См. также

Ссылки

Лакс, Питер Д. ; Милгрэм, Артур Н. (1954), «Параболические уравнения», Вклад в теорию уравнений с частными производными, Annals of Mathematics Studies, 33, Принстон, Нью-Джерси : Princeton University Press, стр. 167–190, doi : 10.1515 / 9781400882182-010, MR 0067317, Zbl 0058.08703

Внешние ссылки

Страница MathWorld, посвященная теореме Лакса – Милгрэма