Принудительная функция

В математике коэрцитивная функция - это функция, которая «быстро растет» в крайних точках пространства, в котором она определена. В зависимости от контекста используются разные точные определения этой идеи.

• 1 Коэрцитивные векторные поля
• 2 Коэрцитивные операторы и формы
• 3 Нормально-коэрцитивные отображения
• 4 (Расширенные значения) коэрцитивные функции
• 5 Ссылки

Векторное поле f: R→ Rназывается коэрцитивным, если

$f\; (x)\; \cdot \; x\; \Vert \; x\; \Vert \; \to \; +\; \infty \; как\; \Vert \; x\; \Vert \; \to \; +\; \infty ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x)\; \backslash \; cdot\; x\}\; \{\backslash \; |\; x\; \backslash \; |\}\}\; \backslash \; to\; +\; \backslash \; infty\; \{\backslash \; t\_dv\; \{as\}\}\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; \backslash \; to\; +\; \backslash \; infty,\}$

где "$\cdot \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cdot\}$"обозначает обычное точечное произведение, а $\Vert \; x\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\}$обозначает обычное Евклидова норма вектора x.

Коэрцитивное векторное поле, в частности, коэрцитивно по норме, поскольку $\Vert \; f\; (x)\; \Vert \; \ge \; (f\; (x)\; \cdot \; x)\; /\; \Vert \; x\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; f\; (x)\; \backslash \; |\; \backslash \; geq\; (е\; (х)\; \backslash \; cdot\; x)\; /\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\}$для $x\; \in \; R\; n\; \setminus \; \{0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\; \}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\}$, согласно неравенству Коши-Шварца. Однако нормо-коэрцитивное отображение f: R→ Rне обязательно является коэрцитивным векторным полем. Например, поворот f: R→ R, f (x) = (-x 2, x 1) на 90 ° является нормальным коэрцитивным отображением, которое не может быть принудительным. векторное поле, поскольку $f\; (x)\; \cdot \; x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; cdot\; x\; =\; 0\}$для каждого $x\; \in \; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$.

A самосопряженный оператор $A:\; H\; \to \; H,\; \{\backslash \; displaystyle\; A:\; H\; \backslash \; to\; H,\}$где $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$- действительное гильбертово пространство, называется принудительным, если существует константа $c>0\; \{\; \backslash \; displaystyle\; c>0\}$такой, что

$⟨A\; x,\; x⟩\; \ge \; c\; \Vert \; x\; \Vert \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; Ax,\; x\; \backslash \; rangle\; \backslash \; geq\; c\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\}$

для всех $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $H.\; \{\backslash \; Displaystyle\; H.\}$

A билинейная форма $a:\; H\; \times \; H\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; a:\; H\; \backslash \; times\; H\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$называется принудительным, если th Существует константа $c>0\; \{\backslash \; displaystyle\; c>0\}$такое, что

$a\; (x,\; x)\; \ge \; c\; \Vert \; x\; \Vert \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (x,\; x)\; \backslash \; geq\; c\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\}$

для всех $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $H.\; \{\backslash \; displaystyle\; H.\}$

Из теоремы о представлении Рисса следует, что любой симметричный (определяемый как $a\; (x,\; y)\; =\; a\; (y,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (\; x,\; y)\; =\; a\; (y,\; x)\}$для всех $x,\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\}$в $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$), непрерывный ($|\; a\; (x,\; y)\; |\; \le \; k\; \Vert \; x\; \Vert \; \Vert \; y\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; |\; a\; (x,\; y)\; |\; \backslash \; Leq\; k\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; \backslash ,\; \backslash \; |\; y\; \backslash \; |\}$для всех $x,\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\}$в $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$и некоторых константа $k>0\; \{\backslash \; displaystyle\; k>0\}$) и принудительная билинейная форма $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$имеет представление

$a\; (x,\; y)\; =\; ⟨A\; x,\; y\; ⟩\; \{\backslash \; Displaystyle\; a\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; langle\; Ax,\; y\; \backslash \; rangle\}$

для некоторого самосопряженного оператора $A:\; H\; \to \; H,\; \{\backslash \; displaystyle\; A:\; H\; \backslash \; to\; H,\}$, который затем оказывается коэрцитивным оператором. Кроме того, учитывая принудительный самосопряженный оператор или $A,\; \{\backslash \; displaystyle\; A,\}$билинейная форма $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, определенная, как указано выше, является принудительной.

Если $A:\; H\; \to \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; A:\; H\; \backslash \; to\; H\}$является коэрцитивным оператором, то это коэрцитивное отображение (в смысле коэрцитивности вектора поле, где нужно заменить скалярный продукт более общим внутренним продуктом). В самом деле, $⟨A\; x,\; x⟩\; \ge \; C\; \Vert \; x\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; Ax,\; x\; \backslash \; rangle\; \backslash \; geq\; C\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\}$для большого $\Vert \; x\; \Vert \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\}$(если $\Vert \; x\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\}$ограничен, то он легко следует); затем заменяя $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$на $x\; \Vert \; x\; \Vert \; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; ^\; \{-\; 2\}\}$, получаем что $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$- оператор принуждения. Можно также показать, что обратное верно, если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$самосопряжен. Определения коэрцитивности векторных полей, операторов и билинейных форм тесно связаны и совместимы.

Отображение $f:\; X\; \to \; X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; X\; \text{'}\}$между двумя нормированными векторными пространствами $(Икс,\; \Vert \; \cdot \; \Vert )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \backslash \; |\; \backslash \; cdot\; \backslash \; |)\}$и $(X\; \text{'},\; \Vert \; \cdot \; \Vert \; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\text{'},\; \backslash \; |\; \backslash \; cdot\; \backslash \; |\; \text{'})\}$называется нормо-коэрцитивным тогда и только тогда, когда

$\Vert \; f\; (x)\; \Vert \; \prime \; \to \; +\; \infty \; как\; \Vert \; x\; \Vert \; \to \; +\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; f\; (x)\; \backslash \; |\; \text{'}\backslash \; to\; +\; \backslash \; infty\; \{\backslash \; t\_dv\; \{as\}\}\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; \backslash \; to\; +\; \backslash \; infty\}$.

В более общем смысле, функция $f:\; X\; \to \; X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; X\; \text{'}\}$между двумя топологическими пространствами $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \text{'}\}$называется принудительным, если для каждого компактного подмножества $K\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; K\text{'}\}$из $X\; \prime \; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; \text{'}\}$существует компактное подмножество $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$такое что

$f\; (X\; \setminus \; K)\; \subseteq \; X\; \prime \; \setminus \; K\; \prime .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (X\; \backslash \; setminus\; K)\; \backslash \; substeq\; X\; \text{'}\backslash \; setminus\; K\text{'}.\}$

композиция биективной правильной карты, за которой следует принудительная карта принудительна.

(расширенные значения) функция $f:\; R\; n\; \to \; R\; \cup \; \{-\; \infty ,\; +\; \infty \}\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \backslash \; mathbb\; \{R\; \}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; cup\; \backslash \; \{-\; \backslash \; infty,\; +\; \backslash \; infty\; \backslash \}\}$называется принудительным iff

$f\; (x)\; \to \; +\; \infty \; при\; \Vert \; x\; \Vert \; \to \; +\; \infty .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; to\; +\; \backslash \; infty\; \{\backslash \; t\_dv\; \{as\}\}\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; \backslash \; to\; +\; \backslash \; infty.\}$

вещественнозначная коэрцитивная функция $f:\; R\; n\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, в частности, является принудительным по норме. Однако норма-коэрцитивная функция $f:\; R\; n\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$не обязательно является принудительной. Например, функция идентичности на $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$является принудительной по норме, но не принудительной.

См. Также: радиально неограниченные функции

• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. xiv + 434. ISBN 0-387-00444-0.
• Баширов, Агамирза Э (2003). Частично наблюдаемые линейные системы в условиях зависимых шумов. Базель; Бостон: Birkhäuser Verlag. ISBN 0-8176-6999-X.
• Gilbarg, D.; Трудингер, Н. (2001). Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка, 2-е изд. Берлин; Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-41160-7.

Эта статья включает материал из Coercive Function на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share- Аналогичная лицензия.