Феномен Гиббса

В математике, феномен Гиббса, открытый Генри Уилбрахамом (1848) и заново открыт Дж. Уиллард Гиббс (1899) - это особая манера поведения ряда Фурье кусочно непрерывно дифференцируемой периодической функции. на разрыве скачка . Частичная сумма n-го ряда Фурье имеет сильные колебания около скачка, которые могут увеличить максимум частичной суммы выше, чем у самой функции. Выброс не затухает при увеличении n, но приближается к конечному пределу. Подобное поведение также наблюдали физики-экспериментаторы, но считалось, что оно связано с несовершенством измерительного прибора.

Это одна из причин звенящих артефактов в обработке сигналов.

Содержание

• 1 Описание
  • 1.1 История
  • 1.2 Объяснение
  • 1.3 Решения
• 2 Формальное математическое описание явления
• 3 Объяснение обработки сигнала
• 4 Пример прямоугольной волны
• 5 Последствия
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Описание

Функциональная аппроксимация прямоугольной волны с использованием 5 гармоник Функциональная аппроксимация прямоугольной волны с использованием 25 гармоники Функциональная аппроксимация прямоугольной волны с использованием 125 гармоник

Явление Гиббса включает в себя как тот факт, что сумма выбросов Фурье суммируется при скачкообразном скачке , так и то, что это превышение не исчезает по мере добавления дополнительных членов к сумме.

Три изображения справа демонстрируют явление для прямоугольной волны (высотой $\pi \; /\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; /\; 4\}$), чья Разложение Фурье:

$sin\; \; (x)\; +\; 1\; 3\; sin\; \; (3\; x)\; +\; 1\; 5\; sin\; \; (5\; x)\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (x)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; sin\; (3x)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\}\}\; \backslash \; sin\; (5x)\; +\; \backslash \; dotsb.\}$

Точнее, это функция f, которая равна $\pi \; /\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; /\; 4\}$между $2\; n\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2n\; \backslash \; pi\}$и $(2\; n\; +\; 1)\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; (2n\; +\; 1)\; \backslash \; pi\}$и $-\; \pi \; /\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; pi\; /\; 4\}$между $(2\; n\; +\; 1)\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; (2n\; +\; 1)\; \backslash \; pi\}$и $(2\; n\; +\; 2)\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; (2n\; +\; 2)\; \backslash \; pi\}$для каждого целого n; таким образом, эта прямоугольная волна имеет скачкообразный разрыв высотой $\pi \; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; /\; 2\}$в каждом целом кратном $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$.

Как может Как видно, по мере увеличения числа членов ошибка приближения уменьшается по ширине и энергии, но сходится к фиксированной высоте. Расчет для прямоугольной волны (см. Zygmund, глава 8.5. Или вычисления в конце этой статьи) дает явную формулу для предела высоты ошибки. Оказывается, ряд Фурье превышает высоту $\pi \; /\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; /\; 4\}$прямоугольной волны на

$1\; 2\; \int \; 0\; \pi \; sin\; \; ttdt\; -\; \pi \; 4\; =\; \pi \; 2\; \cdot \; (0,089489872236\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; t\}\; \{t\}\}\; \backslash ,\; dt\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cdot\; (0,089489872236\; \backslash \; dots)\}$(OEIS : A243268 )

или около 9 процентов прыжка. В более общем смысле, в любой точке скачка кусочно-непрерывно дифференцируемой функции со скачком на a, n-й частичный ряд Фурье (для очень большого n) превысит этот скачок примерно на $a\; \cdot \; (0,089489872236\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; cdot\; (0,089489872236\; \backslash \; dots)\}$на одном конце и занижение на ту же величину на другом конце; таким образом, «скачок» в частичном ряду Фурье будет примерно на 18% больше, чем скачок в исходной функции. В месте самого разрыва частичный ряд Фурье сходится к средней точке скачка (независимо от того, какое фактическое значение исходной функции находится в этой точке). Величина

$\int \; 0\; \pi \; sin\; \; ttdt\; =\; (1.851937051982\dots )\; =\; \pi \; 2\; +\; \pi \; \cdot \; (0,089489872236\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; t\}\; \{t\; \}\}\; \backslash \; dt\; =\; (1.851937051982\; \backslash \; dots)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; pi\; \backslash \; cdot\; (0.089489872236\; \backslash \; dots)\}$(OEIS : A036792 )

иногда известная как константа Уилбрахама –Гиббса.

История

Феномен Гиббса был впервые замечен и проанализирован Генри Уилбрахамом в статье 1848 года. Работа привлекала мало внимания до 1914 года, когда она была упомянута в обзоре математического анализа Генриха Буркхардта в энциклопедии Кляйна. В 1898 году Альберт А. Майкельсон разработал устройство, которое могло вычислять и повторно синтезировать ряды Фурье. Широко распространенный миф гласит, что, когда в машину вводились коэффициенты Фурье для прямоугольной волны, график колебался на неоднородностях, и что, поскольку это было физическое устройство, подверженное производственным дефектам, Майкельсон был убежден, что перерегулирование было вызвано ошибками. в машине. На самом деле графики, созданные машиной, были недостаточно хороши, чтобы ясно продемонстрировать явление Гиббса, и Майкельсон, возможно, не заметил этого, поскольку он не упомянул об этом эффекте в своей статье (Michelson Stratton 1898) о его машина или его более поздние письма Nature. Вдохновленный некоторой корреспонденцией в природе между Майкельсоном и Лавом о сходимости ряда Фурье квадратной волновой функции, в 1898 г. Дж. Уиллард Гиббс опубликовал небольшую заметку, в которой он рассмотрел то, что сегодня назвали бы пилообразной волной, и указал на важное различие между пределом графиков частичных сумм ряда Фурье и график функции, которая является пределом этих частичных сумм. В своем первом письме Гиббс не заметил феномена Гиббса, и предел, который он описал для графиков частичных сумм, был неточным. В 1899 г. он опубликовал поправку, в которой описал выброс в точке разрыва (Nature: 27 апреля 1899 г., стр. 606). В 1906 году Максим Бохер дал подробный математический анализ этого превышения, придумав термин «феномен Гиббса» и широко использовав этот термин.

После существования Генри Уилбрахама Статья стала широко известной, в 1925 г. Горацио Скотт Карслоу заметил: «Мы все еще можем называть это свойство ряда Фурье (и некоторых других рядов) феноменом Гиббса; но мы больше не должны утверждать, что это свойство был впервые обнаружен Гиббсом. "

Объяснение

Неформально, явление Гиббса отражает сложность, присущую приближению прерывистой функции конечной серией непрерывных синусоидальные и косинусоидальные волны. Важно сделать акцент на слове конечный, потому что даже если каждая частичная сумма ряда Фурье выходит за пределы функции, которую она приближает, предел частичных сумм этого не делает. Значение x, при котором достигается максимальное превышение, смещается все ближе и ближе к разрыву по мере увеличения количества суммированных членов, поэтому, опять же неформально, после того, как превышение прошло на конкретный x, сходимость при этом значении x возможна.

Нет никакого противоречия в том, что превышение сходится к ненулевой величине, но предел частичных сумм не имеет превышения, потому что местоположение этого превышения перемещается. У нас есть поточечная сходимость, но не равномерная сходимость. Для кусочной C-функции ряд Фурье сходится к функции в каждой точке, кроме скачков. На самих разрывах скачка предел будет сходиться к среднему значению функции по обе стороны от скачка. Это следствие теоремы Дирихле.

Феномен Гиббса также тесно связан с принципом, согласно которому убывание коэффициентов Фурье функции на бесконечности контролируется гладкостью этой функции; очень гладкие функции будут иметь очень быстро убывающие коэффициенты Фурье (что приведет к быстрой сходимости ряда Фурье), тогда как прерывистые функции будут иметь очень медленно убывающие коэффициенты Фурье (что приведет к очень медленной сходимости ряда Фурье). Обратите внимание, например, что коэффициенты Фурье 1, -1/3, 1/5,... прерывистой прямоугольной волны, описанной выше, затухают только с такой же скоростью, как гармонический ряд, что не является абсолютно конвергентный ; действительно, приведенный выше ряд Фурье оказывается сходящимся лишь условно для почти для каждого значения x. Это дает частичное объяснение явления Гиббса, так как ряды Фурье с абсолютно сходящимися коэффициентами Фурье будут равномерно сходящимися по М-критерию Вейерштрасса и, следовательно, не смогут продемонстрировать вышеупомянутые колебательные поведение. Точно так же для разрывной функции невозможно иметь абсолютно сходящиеся коэффициенты Фурье, поскольку функция, таким образом, была бы равномерным пределом непрерывных функций и, следовательно, была бы непрерывной, противоречие. См. подробнее об абсолютной сходимости рядов Фурье..

Решения

На практике трудности, связанные с феноменом Гиббса, могут быть уменьшены с помощью более плавного метода суммирования рядов Фурье, такого как Фейер суммирование или суммирование по Риссу, или с использованием сигма-аппроксимации. Используя непрерывное вейвлет-преобразование, феномен вейвлета Гиббса никогда не превосходит феномен Фурье-Гиббса. Кроме того, при использовании дискретного вейвлет-преобразования с базисными функциями Хаара явление Гиббса вообще не возникает в случае непрерывных данных на скачкообразных скачках и минимально в дискретном случае в точках больших изменений. В вейвлет-анализе это обычно называется расширением. В настройке полиномиальной интерполяции явление Гиббса можно уменьшить с помощью алгоритма S-Гиббса. Python реализацию этой процедуры можно найти здесь.

Формальное математическое описание явления

Пусть $f:\; R\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\}$- кусочно-непрерывно дифференцируемая функция, периодическая с некоторым периодом $L>0\; \{\backslash \; displaystyle\; L>0\}$. Предположим, что в какой-то момент $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$, левый предел $f\; (x\; 0\; -)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\_\; \{0\}\; ^\; \{-\})\}$и правый предел $f\; (x\; 0\; +)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\_\; \{0\}\; ^\; \{+\})\}$функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$отличаются ненулевым разрывом $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$:

$f\; (x\; 0\; +)\; -\; f\; (x\; 0\; -)\; =\; a\; \ne \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\_\; \{0\})\; ^\; \{+\})\; -\; f\; (x\_\; \{0\}\; ^\; \{-\})\; =\; a\; \backslash \; neq\; 0.\}$

Для каждого натурального числа N ≥ 1 пусть S N f будет N-м частичным Фурье серия

$SN\; f\; (x):\; =\; \sum \; -\; N\; \le \; n\; \le \; N\; f\; ^\; (n)\; e\; 2\; i\; \pi \; nx\; L\; =\; 1\; 2\; a\; 0\; +\; \sum \; n\; =\; 1\; N\; (an\; cos\; \; (2\; \pi \; nx\; L)\; +\; bn\; sin\; \; (2\; \pi \; nx\; L)),\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\_\; \{N\}\; е\; (х):\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{-\; N\; \backslash \; leq\; n\; \backslash \; leq\; N\}\; \{\backslash \; widehat\; \{f\}\}\; (n)\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2i\; \backslash \; pi\; nx\; \}\; \{L\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; a\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; left\; (a\_\; \{n\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; nx\}\; \{L\}\}\; \backslash \; right)\; +\; b\_\; \{n\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; nx\}\; \{L\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right),\}$

где коэффициенты Фурье $f\; ^\; (n),\; an,\; bn\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{f\}\}\; (n),\; a\_\; \{n\},\; b\_\; \{n\}\}$даются по обычным формулам

$е\; ^\; (п):\; знак\; равно\; 1\; L\; \int \; 0\; L\; е\; (х)\; е\; -\; 2\; я\; \pi \; nx\; /\; L\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{f\}\}\; (n):\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{L\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{L\}\; f\; (x)\; e\; ^\; \{-\; 2i\; \backslash \; pi\; nx\; /\; L\}\; \backslash ,\; dx\}$

$an:\; =\; 2\; L\; \int \; 0\; L\; f\; (x)\; cos\; \; (2\; \pi \; nx\; L)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}:\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{L\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{L\}\; f\; (x)\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; nx\})\; \{L\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dx\}$

$bn:\; =\; 2\; L\; \int \; 0\; L\; f\; (x)\; sin\; \; (2\; \pi \; nx\; L)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}:\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{L\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{L\}\; f\; (x)\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; nx\}\; \{L\})\; \}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dx.\}$

Тогда мы имеем

$lim\; N\; \to \; \infty \; SN\; f\; (x\; 0\; +\; L\; 2\; N)\; =\; f\; (x\; 0\; +)\; +\; a\; \cdot \; (0,089489872236\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{N\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; S\_\; \{N\}\; f\; \backslash \; left\; (x\_\; \{0\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{L\}\; \{2N\}\}\; \backslash \; right)\; =\; f\; (x\_\; \{0\}\; ^\; \{+\})\; +\; a\; \backslash \; cdot\; (0,089489872236\; \backslash \; dots)\}$

и

$lim\; N\; \to \; \infty \; SN\; f\; (x\; 0\; -\; L\; 2\; N)\; =\; f\; (x\; 0\; -)\; -\; a\; \cdot \; (0,089489872236\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{N\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; S\_\; \{N\}\; f\; \backslash \; left\; (x\_\; \{0\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{L\}\; \{2N\}\}\; \backslash \; right)\; =\; f\; (x\_\; \{0\}\; ^\; \{-\})\; -\; a\; \backslash \; cdot\; (0.089489872236\; \backslash \; точки)\}$

но

$lim\; N\; \to \; \infty \; SN\; f\; (x\; 0)\; =\; f\; (x\; 0\; -)\; +\; f\; (x\; 0\; +)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{N\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; S\_\; \{N\}\; f\; (x\_\; \{0\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x\_\; \{0\}\; ^\; \{-\})\; +\; f\; (x\_\; \{0\}\; ^\; \{+\; \})\}\; \{2\}\}.\}$

В более общем смысле, если $x\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{N\}\}$- любая последовательность действительных чисел, сходящаяся к $x\; 0\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$as $N\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}$, и если разрыв a положительный, то

$lim\; sup\; N\; \to \; \infty \; SN\; е\; (Икс\; N)\; \le \; е\; (Икс\; 0\; +)\; +\; a\; \cdot \; (0,089489872236\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; limsup\; \_\; \{N\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; S\_\; \{N\}\; f\; (x\_\; \{N\})\; \backslash \; leq\; f\; (\; x\_\; \{0\}\; ^\; \{+\})\; +\; a\; \backslash \; cdot\; (0,089489872236\; \backslash \; dots)\}$

и

$lim\; inf\; N\; \to \; \infty \; SN\; f\; (x\; N)\; \ge \; f\; (x\; 0\; -)\; -\; a\; \cdot \; (0,089489872236\dots ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; liminf\; \_\; \{N\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; S\_\; \{N\}\; f\; (x\_\; \{N\})\; \backslash \; geq\; f\; (x\_\; \{0\}\; ^\; \{-\})\; -\; a\; \backslash \; cdot\; (0,089489872236\; \backslash \; dots).\}$

Если вместо этого зазор a отрицательный, нужно поменять местами верхний предел на нижний предел, а также поменять местами знаки ≤ и ≥ в двух приведенных выше неравенствах.

Описание обработки сигналов

функция sinc, импульсная характеристика идеального фильтра нижних частот. Масштабирование сужает функцию и, соответственно, увеличивает величину (которая здесь не показана), но не уменьшает величину недостижения, которая является интегралом хвоста.

Из точки обработки сигнала С нашей точки зрения, явление Гиббса - это переходная характеристика фильтра нижних частот, а колебания называются звонком или артефактами звонка. Усечение преобразования Фурье сигнала на действительной линии или ряда Фурье периодического сигнала (эквивалентно сигнала на круге) соответствует фильтрации более высоких частот идеальным (кирпичом -wall ) фильтр низких / высоких частот. Это может быть представлено как свертка исходного сигнала с импульсной характеристикой фильтра (также известной как ядро ​​ ), которая является sinc функция. Таким образом, явление Гиббса можно рассматривать как результат свертки ступенчатой ​​функции Хевисайда (если периодичность не требуется) или прямоугольной волны (если периодическая) с функцией sinc: колебания в функции sinc вызывают рябь на выходе.

интеграл синуса, демонстрирующий явление Гиббса для ступенчатой ​​функции на действительной прямой.

В случае свертки с помощью ступенчатой ​​функции Хевисайда, результирующая функция является в точности интегралом sinc функция, интеграл синуса ; для прямоугольной волны описание не так просто. Для ступенчатой ​​функции величина недорега, таким образом, является в точности интегралом от (левого) хвоста, интегрированного до первого отрицательного нуля: для нормированного sinc единичного периода дискретизации это $\int \; -\; \infty \; -\; 1\; sin\; \; (\pi \; x)\; \pi \; xdx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; (\backslash \; pi\; x)\}\; \{\backslash \; pi\; x\}\}\; \backslash ,\; dx.\}$Перерегулирование соответственно одинаковая величина: интеграл правого хвоста или, что то же самое, разность между интегралом от отрицательной бесконечности до первого положительного нуля минус 1 (значение без выхода за пределы).

Перерегулирование и недорезание можно понимать так: ядра обычно нормализуются, чтобы иметь интеграл 1, поэтому они приводят к отображению постоянных функций в постоянные функции - в противном случае они имеют усиление. Значение свертки в точке представляет собой линейную комбинацию входного сигнала с коэффициентами (весами) значений ядра. Если ядро ​​неотрицательно, например, для гауссова ядра, тогда значение отфильтрованного сигнала будет выпуклой комбинацией входных значений (коэффициентов (ядра) интегрируются в 1 и являются неотрицательными), и, таким образом, будет находиться между минимумом и максимумом входного сигнала - он не будет недооценивать или перескакивать. Если, с другой стороны, ядро ​​принимает отрицательные значения, такие как функция sinc, тогда значение отфильтрованного сигнала вместо этого будет аффинной комбинацией входных значений и может выйти за пределы минимума. и максимум входного сигнала, приводящий к недорегулированию и перерегулированию, как в явлении Гиббса.

Более длительное расширение - резка с более высокой частотой - соответствует в частотной области расширению кирпичной стены, что во временной области соответствует сужению функции sinc и увеличению ее высоты в тот же раз, оставляя интегралы между соответствующими точками неизменны. Это общая особенность преобразования Фурье: расширение в одной области соответствует сужению и увеличению высоты в другой. Это приводит к тому, что колебания в sinc становятся более узкими и высокими, а в отфильтрованной функции (после свертки) получаются более узкие колебания и, следовательно, меньшие площади, но не уменьшает их величину: отключение на любой конечной частоте приводит к sinc функция, какой бы узкой она ни была, с теми же хвостовыми интегралами. Это объясняет стойкость перерегулирования и недорегулирования.

• 

  Колебания можно интерпретировать как свертку с синк.

• 

  Более высокая граница делает синк более узким, но более высоким, с такими же величинами хвостовых интегралов, что приводит к колебаниям более высокой частоты, но величина которых не исчезает.

Таким образом, особенности явления Гиббса интерпретируются следующим образом:

• недорез вызван импульсной характеристикой, имеющей отрицательный хвостовой интеграл, что возможно, потому что функция принимает отрицательные значения;
• перерегулирование компенсирует это за счет симметрии (общий интеграл не изменяется при фильтрации);
• устойчивость колебаний обусловлена ​​тем, что увеличение отсечки сужает импульсную характеристику, но не уменьшает ее интеграл - колебания, таким образом, движутся в сторону прерывистость, но не уменьшается по величине.

Пример прямоугольной волны

Анимация аддитивного синтеза прямоугольной волны с возрастающим числом гармоник. Феномен Гиббса особенно заметен при большом количестве гармоник.

В случае прямоугольной волны период L равен $2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\}$, разрыв $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$равен нулю, а скачок равен $\pi \; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; /\; 2\}$. Для простоты рассмотрим случай, когда N четно (случай нечетного N очень похож). Тогда имеем

$S\; N\; f\; (x)\; =\; sin\; \; (x)\; +\; 1\; 3\; sin\; \; (3\; x)\; +\; \cdots \; +\; 1\; N\; -\; 1\; sin\; \; ((N\; -\; 1)\; x).\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\_\; \{N\}\; е\; (х)\; =\; \backslash \; sin\; (x)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; sin\; (3x)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N-1\}\}\; \backslash \; sin\; ((N-1)\; x).\}$

Подставляя $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$, получаем

$SN\; f\; (0)\; =\; 0\; =\; -\; \pi \; 4\; +\; \pi \; 4\; 2\; знак\; равно\; е\; (0\; -)\; +\; е\; (0\; +)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{N\}\; f\; (0)\; =\; 0\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}\}\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (0\; ^\; \{-\})\; +\; f\; (0\; ^\; \{+\})\}\; \{2\}\}\}$

, как указано выше. Затем мы вычисляем

$SN\; f\; (2\; \pi \; 2\; N)\; =\; sin\; \; (\pi \; N)\; +\; 1\; 3\; sin\; \; (3\; \pi \; N)\; +\; \cdots \; +\; 1\; N\; -\; 1\; sin\; \; ((N\; -\; 1)\; \pi \; N).\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{N\}\; f\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{2N\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{N\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; pi\}\; \{N\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N-1\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{(N-1)\; \backslash \; pi\}\; \{N\}\}\; \backslash \; right).\}$

Если мы введем нормализованную функцию sinc, $sinc\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{\; sinc\}\; (x)\; \backslash ,\}$, мы можем переписать это как

$SN\; f\; (2\; \pi \; 2\; N)\; =\; \pi \; 2\; [2\; N\; sinc\; \; (1\; N)\; +\; 2\; N\; sinc\; \; (3\; N)\; +\; \cdots \; +\; 2\; N\; sinc\; \; ((N\; -\; 1)\; N)].\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{N\}\; f\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{2N\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{N\}\; \}\; \backslash \; operatorname\; \{sinc\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{N\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{sinc\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{N\}\; \}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{N\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{sinc\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{(N-1)\}\; \{N\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right].\}$

Но выражение в квадратных скобках является суммой Римана приближением к интегралу $\int \; 0\; 1\; sinc\; \; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; operatorname\; \{sinc\; \}\; (x)\; \backslash \; dx\}$(точнее, это правило средней точки приближение с интервалом $2\; /\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; /\; N\}$). Поскольку функция sinc является непрерывной, это приближение сходится к фактическому интегралу как $N\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}$. Таким образом,

$lim\; N\; \to \; \infty \; SN\; f\; (2\; \pi \; 2\; N)\; =\; \pi \; 2\; \int \; 0\; 1\; sinc\; \; (x)\; dx\; =\; 1\; 2\; \int \; x\; =\; 0\; 1\; sin\; \; (\pi \; x)\; \pi \; xd\; (\pi \; x)\; Знак\; равно\; 1\; 2\; \int \; 0\; \pi \; грех\; \; (t)\; tdt\; =\; \pi \; 4\; +\; \pi \; 2\; \cdot \; (0,089489872236\dots ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; lim\; \_\; \{N\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; S\_\; \{N\}\; f\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{2N\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; operatorname\; \{sinc\}\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; [8pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{x\; =\; 0\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; (\backslash \; pi\; x)\}\; \{\backslash \; pi\; x\}\}\; \backslash ,\; d\; (\backslash \; pi\; x)\; \backslash \backslash \; [8pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; (t)\}\; \{t\}\}\; \backslash \; dt\; \backslash \; quad\; =\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cdot\; (0,089489872236\; \backslash \; dots),\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

как было заявлено в предыдущем разделе. Аналогичное вычисление показывает

$lim\; N\; \to \; \infty \; S\; N\; f\; (-\; 2\; \pi \; 2\; N)\; =\; -\; \pi \; 2\; \int \; 0\; 1\; sinc\; \; (x)\; d\; x\; =\; -\; \pi \; 4\; -\; \pi \; 2\; \cdot \; (0,089489872236\dots ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{N\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; S\_\; \{N\}\; f\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{2N\}\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; operatorname\; \{sinc\}\; (x)\; \backslash \; dx\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cdot\; (0,089489872236\; \backslash \; точек).\}$

Последствия

При обработке сигналов явление Гиббса нежелательно, потому что оно вызывает артефакты, а именно отсечение из-за перерегулирования и недорегулирования, и артефакты звонка от колебаний. В случае фильтрации нижних частот их можно уменьшить или устранить с помощью различных фильтров нижних частот.

В МРТ феномен Гиббса вызывает артефакты в присутствии соседних областей с заметно различающейся интенсивностью сигнала. Это наиболее часто встречается при МРТ позвоночника, где феномен Гиббса может имитировать появление сирингомиелии.

. Феномен Гиббса проявляется как артефакт перекрестного рисунка в дискретном преобразовании Фурье изображения, где большинство изображений (например, микрофотографии или фотографии) имеют резкий разрыв между границами сверху / снизу и слева / справа изображения. Когда периодические граничные условия накладываются в преобразовании Фурье, этот скачок прерывистости представлен континуумом частот вдоль осей в обратном пространстве (то есть перекрестная картина интенсивности в преобразовании Фурье).

См. Также

• σ-приближение, которое регулирует суммирование Фурье, чтобы устранить явление Гиббса, которое в противном случае возникло бы на разрывах
• Феномен Пинского
• Феномен Рунге (аналогичное явление в полиномиальном приближении)
• Интеграл синуса
• полосы Маха

Примечания

Ссылки

• Гиббс, Дж. Уиллард (1898), «Ряд Фурье», Природа, 59(1522): 200, doi : 10.1038 / 059200b0, ISSN 0028-0836, S2CID 4004787
• Гиббс, Дж. Уиллард (1899), «Ряд Фурье», Nature, 59(1539): 606, doi : 10.1038 / 059606a0, ISSN 0028-0836, S2CID 13420929
• Майкельсон, AA; Страттон, SW (1898), «Новый гармонический анализатор», Philosophical Magazine, 5 (45): 85–91
• Антони Зигмунд, Тригонометрическая серия, Дувр публикации, 1955.
• Уилбрахам, Генри (1848), «Об определенной периодической функции», The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, 3: 198–201
• Пол Дж. Нахин, Невероятная формула доктора Эйлера, Princeton University Press, 2006. Ch. 4, разд. 4.
• Вретблад, Андерс (2000), Анализ Фурье и его приложения, Тексты для выпускников по математике, 223, Нью-Йорк: Springer Publishing, с. 93, ISBN 978-0-387-00836-3

Внешние ссылки

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В., «Феномен Гиббса ». Из MathWorld - веб-ресурс Wolfram.
• Прандони, Паоло, «Феномен Гиббса ".
• Радаэлли-Санчес, Рикардо и Ричард Баранюк,« Феномен Гиббса ». Связи Проект. (Лицензия Creative Commons Attribution License)
• Горацио С. Карслав: Введение в теорию рядов и интегралов Фурье.pdf (Introductiontot00unkngoog.pdf) на archive.org