Ядро сегу

В математическом исследовании нескольких комплексных переменных, то Сег ядро является интегральным ядром, которое приводит к воспроизводящему ядру на естественное гильбертово пространство из голоморфных функций. Он назван в честь его первооткрывателя, венгерского математика Габора Сегу.

Пусть Ω - ограниченная область в C ⁿ с границей C ², и пусть A (Ω) обозначает пространство всех голоморфных функций в Ω, непрерывных на. Определим пространство Харди H ² (дП), чтобы замыкание в L ² (∂Ω) из ограничений элементов A (Q) на границе. Интеграл Пуассона следует, что каждый элемент ƒ из H ² (дП) продолжается до голоморфной функции Pƒ в Оме. Кроме того, для каждого z  ∈ Ω отображение ${\ displaystyle {\ overline {\ Omega}}}$

${\ displaystyle f \ mapsto Pf (z)}$

определяет непрерывный линейный функционал на H ² (∂Ω). По теореме Рисса о представлении этот линейный функционал представляется ядром k z, т. Е.

${\ Displaystyle Pf (z) = \ int _ {\ partial \ Omega} f (\ zeta) {\ overline {k_ {z} (\ zeta)}} \, d \ sigma (\ zeta).}$

Ядро Сегё определяется формулой

${\ Displaystyle S (z, \ zeta) = {\ overline {k_ {z} (\ zeta)}}, \ quad z \ in \ Omega, \ zeta \ in \ partial \ Omega.}$

Как и его близкий родственник, ядро Бергмана, ядро Сегё голоморфно по z. Фактически, если φ i - ортонормированный базис в H ² (∂Ω), состоящий целиком из ограничений функций из A (Ω), то рассуждение теоремы Рисса – Фишера показывает, что

${\ Displaystyle S (z, \ zeta) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ phi _ {i} (z) {\ overline {\ phi _ {i} (\ zeta)}}. }$

• Кранц, Стивен Г. (2002), Теория функций нескольких комплексных переменных, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN   978-0-8218-2724-6