Теорема открытого отображения (функциональный анализ)

редактировать

Теорема, дающая условия для того, чтобы непрерывная линейная карта была открытой картой

В функциональном анализе теорема об открытом отображении, также известная как теорема Банаха – Шаудера (названная в честь Стефана Банаха и Юлиуша Шаудера ), является фундаментальным результатом, который утверждает что если conti линейный оператор между банаховыми пространствами является сюръективным, тогда это открытая карта.

Содержание

1 Классическая (банахово пространство) форма
- 1.1 Связанные результаты
- 1.2 Последствия
2 Обобщения
- 2.1 Последствия
- 2.2 Перепончатые пространства
3 См. Также
4 Ссылки
5 Библиография

Классическая форма (банаховое пространство)

Теорема об открытом отображении для банаховых пространств (Рудин 1973, теорема 2.11) - Если X и Y - банаховы пространства и A: X → Y - сюръективный непрерывный линейный оператор, то A - открытое отображение (т.е. если U - открытое множество в X, то A (U) открыто в Y).

Одно доказательство использует теорему Бэра о категориях, а полнота как X, так и Y важна для теоремы. Утверждение теоремы больше не верно, если любое пространство просто предполагается как нормированное пространство, но верно, если X и Y взяты как пространства Фреше.
Доказательство -
Предположим, что A: X → Y - сюръективный непрерывный линейный оператор. Чтобы доказать, что A - открытое отображение, достаточно показать, что A отображает открытый единичный шар в X в окрестность начала координат Y.

Пусть $U знак равно В 1 Икс (0), В = В 1 Y (0) {\ Displaystyle U = B_ {1} ^ {X} (0), V = B_ {1} ^ {Y} (0)}$ ${\ displaystyle U = B_ {1} ^ {X} (0), V = B_ {1} ^ {Y} (0) }$ . Тогда
$Икс = ⋃ К ∈ N К U {\ Displaystyle X = \ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N}} kU}$ ${\ displaystyle X = \ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N}} kU}$ .
Поскольку А сюръективен:
$Y = A (X) = A (⋃ К ∈ N К U) знак равно ⋃ К ∈ NA (К U) {\ Displaystyle Y = A (X) = A \ left (\ bigcup _ {к \ in \ mathbb {N}} kU \ right) = \ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N}} A (kU)}$ ${\ displaystyle Y = A (X) = A \ left (\ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N}} kU \ right) = \ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N}} A (kU)}$ .
Но Y банахов, поэтому по теореме Бэра о категориях
$∃ k ∈ N: (A (k U) ¯) ∘ ≠ ∅ {\ displaystyle \ exists k \ in \ mathbb {N}: \ qquad \ left ({\ overline {A (kU)}} \ right) ^ {\ circ} \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ exists k \ in \ mathbb {N}: \ qquad \ left ({\ overline {A (kU)}} \ right) ^ {\ circ} \ neq \ varnothing}$ .
То есть у нас есть c ∈ Y и r>0 такие, что
$B r (c) ⊆ (A (k U) ¯) ∘ ⊆ A (k U) ¯ {\ displaystyle B_ {r} (c) \ substeq \ left ({\ overline {A (kU)}} \ right) ^ {\ circ} \ substeq {\ overline {A (kU)}}}$ ${\ displaystyle B_ {r} (c) \ substeq \ left ({\ overline {A (kU)}} \ right) ^ {\ circ } \ substeq {\ overline {A (kU)}}}$ .
Пусть v ∈ V, тогда
$c, c + rv ∈ B r (c) ⊆ A (К U) ¯ {\ displaystyle c, c + rv \ in B_ {r} (c) \ substeq {\ overline {A (kU)}}}$ ${\ displaystyle c, c + rv \ в B_ {r} (c) \ substeq {\ overline {A (kU)}}}$ .
По непрерывности сложения и линейность, разность rv удовлетворяет
$rv ∈ A (k U) ¯ + A (k U) ¯ ⊆ A (k U) + A (k U) ¯ ⊆ A (2 k U) ¯ {\ displaystyle rv \ в {\ overline {A (kU)}} + {\ overline {A (k U)}} \ substeq {\ overline {A (kU) + A (kU)}} \ substeq {\ overline {A (2kU)}}}$ ${\ displaystyle rv \ in {\ overline {A (kU)}} + {\ overline {A (kU)}} \ substeq {\ overline {A (kU) + A (kU)}} \ Substeq {\ overline {A (2kU)}}}$ ,
и опять же по линейности
$V ⊆ A (LU) ¯ {\ displaystyle V \ substeq {\ overline {A \ left (LU \ right)}}}$ ${\ displaystyle V \ substeq {\ overline {A \ left (LU \ right)}}}$
где мы установили L = 2k / r. Отсюда следует, что для всех y ∈ Y и всех>0 существует некоторый x ∈ X такой, что
$‖ x ‖ X ≤ L ‖ y ‖ Y и ‖ y - A x ‖ Y < ϵ. ( 1) {\displaystyle \qquad \|x\|_{X}\leq L\|y\|_{Y}\quad {\text{and}}\quad \|y-Ax\|_{Y}<\epsilon.\qquad (1)}$ ${ \ Displaystyle \ qquad \ | х \ | _ {X} \ Leq L \ | y \ | _ {Y} \ quad {\ text {and}} \ quad \ | y-Ax \ | _ {Y} <\ epsilon. \ qquad (1)}$ .
Наша следующая цель - чтобы показать, что V ⊆ A (2LU).

Пусть y ∈ V. По (1) существует некоторый x 1 с || x 1 || < L and ||y − Ax1 || < 1/2. Define a sequence (xn) индуктивно следующим образом. Предположим:
$‖ xn ‖ < L 2 n − 1 and ‖ y − A ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n) ‖ < 1 2 n. ( 2) {\displaystyle \|x_{n}\|<{\frac {L}{2^{n-1}}}\quad {\text{and}}\quad \left\|y-A\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\right\|<{\frac {1}{2^{n}}}.\qquad (2)}$ ${\ displaystyle \ | x_ {n} \ | <{ \ frac {L} {2 ^ {n-1}}} \ quad {\ text {and}} \ quad \ left \ | yA \ left (x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n } \ right) \ right \ | <{\ frac {1} {2 ^ {n}}}. \ qquad (2)}$
Тогда по (1) мы можем выбрать x n + 1 так, чтобы:
$‖ xn + 1 ‖ < L 2 n and ‖ y − A ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n) − A ( x n + 1) ‖ < 1 2 n + 1, {\displaystyle \|x_{n+1}\|<{\frac {L}{2^{n}}}\quad {\text{and}}\quad \left\|y-A\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)-A\left(x_{n+1}\right)\right\|<{\frac {1}{2^{n+1}}},}$ ${\ displaystyle \ | x_ {n + 1} \ | <{\ frac {L} {2 ^ {n}}} \ quad {\ text {and}} \ quad \ left \ | yA \ left (x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n} \ right) -A \ left (x_ {n + 1} \ right) \ right \ | <{\ frac {1} {2 ^ {n + 1}}},}$
, поэтому (2) выполняется для х п + 1. Пусть
$sn = x 1 + x 2 + ⋯ + xn {\ displaystyle s_ {n} = x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}}$ ${\ displaystyle s_ {n} = x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}}$ .
Из первого неравенства в ( 2), {s n } является последовательностью Коши, и поскольку X полно, s n сходится к некоторому x ∈ X. Согласно (2), последовательность As n стремится к y, поэтому Ax = y по непрерывности A. Кроме того,
$‖ x ‖ = lim n → ∞ ‖ sn ‖ ≤ ∑ n = 1 ∞ ‖ xn ‖ < 2 L {\displaystyle \|x\|=\lim _{n\to \infty }\|s_{n}\|\leq \sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|<2L}$ ${\ displaystyle \ | x \ | = \ lim _ {n \ to \ infty} \ | s_ {n} \ | \ leq \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty } \ | x_ {n} \ | <2L}$ .
Это показывает, что y принадлежит A (2LU), поэтому V ⊆ A (2LU), как утверждается. Таким образом, образ A (U) единичного шара в X содержит открытый шар V / 2L в Y. Следовательно, A (U) является окрестностью 0 в Y, что завершает доказательство.
Связанные результаты
Теорема - Пусть X и Y - банаховы пространства, пусть B X и B Y обозначают их открытые единичные шары, и пусть T: X → Y - линейный ограниченный оператор. Если δ>0, то среди следующих четырех утверждений мы имеем $(1) ⟹ (2) ⟹ (3) ⟹ (4) {\ displaystyle (1) \ implies (2) \ implies (3) \ includes (4))}$ ${\ displaystyle (1) \ подразумевает (2) \ подразумевает (3) \ подразумевает ( 4)}$ (с тем же δ)
$‖ T ∗ y ∗ ‖ ≥ δ ‖ y ∗ ‖ {\ displaystyle \ left \ | T ^ {*} y ^ {*} \ right \ | \ geq \ delta \ left \ | y ^ {*} \ right \ |}$ ${\ displaystyle \ left \ | T ^ {*} y ^ {*} \ вправо \ | \ geq \ дельта \ влево \ | у ^ {*} \ вправо \ |}$ для всех $y ∗ ∈ Y ∗ {\ displaystyle y ^ {*} \ в Y ^ {*}}$ ${\ displaystyle y ^ {*} \ in Y ^ {*}}$ ;
$T (BX) ¯ ⊆ δ BY {\ displaystyle {\ overline {T \ left (B_ {X} \ right)}} \ substeq \ delta B_ {Y}}$ ${\ displaystyle {\ overline {T \ left (B_ {X} \ справа)}} \ substeq \ delta B_ {Y}}$ ;
T (B X) ⊆ δ B Y;
Im T = Y (т.е. T сюръективен).
Кроме того, если T сюръективен, то (1) выполняется для некоторого δ>0
Последствия
Теорема об открытом отображении имеет несколько важных следствий:
Если A: X → Y является биективным непрерывным линейным оператором между банаховыми пространствами X и Y, то обратный оператор A: Y → X также является непрерывным (это называется ограниченной обратной теоремой ).
Если A: X → Y является линейным оператором между банаховыми пространствами X и Y, и если для каждой последовательности (xn) в X с x n → 0 и Ax n → y следует, что y = 0, тогда A непрерывно (теорема о замкнутом графике ).
Обобщения
Локальная выпуклость X или Y не является существенным для доказательства, но полнота: теорема остается верной в случае, когда X и Y являются F-пространствами. Кроме того, теорему можно объединить с теоремой Бэра о категориях следующим образом:

Теорема ((Рудин 1991, теорема 2.11)) - Пусть X - F-пространство и Y топологическое векторное пространство. Если A: X → Y - непрерывный линейный оператор, то либо A (X) является скудным множеством в Y, либо A (X) = Y. В последнем случае A - открытое отображение и Y также является F-пространством.

Кроме того, в этом последнем случае, если N является ядром A, то существует каноническая факторизация A в форме
$X → X / N → α Y {\ displaystyle X \ в X / N {\ overset {\ alpha} {\ to}} Y}$ ${\ displaystyle X \ to X / N {\ overset {\ alpha} {\ to} } Y}$
, где X / N - фактор-пространство (также F-пространство) X по замкнутому подпространство N. Фактор-отображение X → X / N открыто, а отображение α является изоморфизмом топологических векторных пространств.

Теорема об открытом отображении () - Если A: X → Y - сюръективный замкнутый линейный оператор из полного псевдометризуемого TVS X в топологическое векторное пространство Y и если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
Y - это пространство Бэра, или
X - локально выпуклое, а Y - пробел с бочками,
либо A (X) - скудное множество в Y, или A (X) = Y. тогда A - открытое отображение.

Теорема об открытом отображении для непрерывных отображений () - Пусть A: X → Y - непрерывный линейный оператор из полного псевдометризуемого TVS X в топологическое векторное пространство Хаусдорфа. Y. Если Im A является не скромным в Y, то A: X → Y - сюръективное открытое отображение, а Y - полная псевдометризуемая TVS.

Теорема об открытом отображении также может быть сформулирована как

Теорема - Пусть X и Y - два F-пространства. Тогда любое непрерывное линейное отображение X на Y является гомоморфизмом TVS, где линейное отображение u: X → Y является гомоморфизмом топологического векторного пространства (TVS), если индуцированное отображение $u ^: X / ker ⁡ (u) → Y {\ displaystyle {\ hat {u}}: X / \ ker (u) \ to Y}$ ${\ hat {u}}: X / \ ker (u) \ to Y$ - это TVS-изоморфизм своего изображения.
Последствия
Теорема - Если A: X → Y является непрерывной линейной биекцией из полного Псевдометризуемого топологического векторного пространства (TVS) на хаусдорфову ТВП, которая является бэровским пространством, то A: X → Y является гомеоморфизмом (и, следовательно, изоморфизмом ТВП).
Перепончатые пространства
Перепончатые пространства - это класс топологических векторных пространств, для которых верны теорема об открытом отображении и теорема о закрытом графе.
См. Также
Почти открытая линейная карта
Ограниченная обратная теорема
Замкнутый график - График функции, которая также является замкнутым подмножеством пространства продукта
Замкнутый граф теорема
Теорема об открытом отображении (комплексный анализ)
Surjection пространств Фреше
Webbed space
Ссылки
Библиография
Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости. Конспект лекций по математике. {3834. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003.
Банах, Стефан (1932). Теория линейных операций [Теория линейных операций] (PDF). Monografie Matematyczne (на французском языке). 1 . Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901. Архивировано из оригинального (PDF) на 2014-01-11. Проверено 11 июля 2020 г.
Jarchow, Hans (1981). Локально выпуклые пространства. Штутгарт: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 [Sur specific espaces vectoriels topologiques]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Перевод Eggleston, H.G.; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа. Тексты для выпускников по математике. 96(2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
Дьедонне, Жан (1970), Трактат по анализу, Том II, Academic Press
Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства. Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
Ярчоу, Ханс (1981). Локально выпуклые пространства. Штутгарт: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
Кёте, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, Д.Дж.Х. Нью-Йорк: Springer Science Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
; (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства.. 53 . Кембридж, Англия: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
Рудин, Вальтер (1973). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 25 (Первое изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 9780070542259.
Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Swartz, Charles (1992). Введение в функциональный анализ. Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.
Эта статья включает материал из Доказательства теоремы об открытом картировании на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.