Теорема о проекции Гильберта

редактировать

В математике теорема о проекции Гильберта является известным результатом выпуклого анализа который говорит, что для каждого вектора $x {\ displaystyle x}$ $x$ в гильбертовом пространстве $H {\ displaystyle H}$ $H$ и всех непустых закрытых выпуклый $C ⊂ H {\ displaystyle C \ subset H}$ $C \ subset H$ , существует уникальный вектор $y ∈ C {\ displaystyle y \ in C}$ $y \ in C$ , для которого $‖ x - z ‖ {\ displaystyle \ lVert xz \ rVert}$ ${\ displaystyle \ lVert xz \ rVert}$ минимизируется по векторам $z ∈ C {\ displaystyle z \ in C}$ ${\ displaystyle z \ in C}$ .

Это, в частности, истинно для любого закрытого подпространства $M {\ displaystyle M}$ $M$ из $H {\ displaystyle H}$ $H$ . В этом случае необходимым и достаточным условием для $y {\ displaystyle y}$ $y$ является то, что вектор $x - y {\ displaystyle xy}$ $xy$ ортогонален $M {\ displaystyle M}$ $M$ .

Доказательство

Покажем существование y:

Пусть δ будет расстоянием между x и C, (y n) последовательность в C такое, что квадрат расстояния между x и y n меньше или равен δ + 1 / n. Пусть n и m - два целых числа, тогда выполняются следующие равенства:

‖ yn - ym ‖ 2 = ‖ yn - x ‖ 2 + ‖ ym - x ‖ 2 - 2 ⟨yn - x, ym - x⟩ { \ Displaystyle \ | y_ {n} -y_ {m} \ | ^ {2} = \ | y_ {n} -x \ | ^ {2} + \ | y_ {m} -x \ | ^ {2} - 2 \ langle y_ {n} -x \,, \, y_ {m} -x \ rangle}

\ | y_ {n} -y_ {m } \ | ^ {2} = \ | y_ {n} -x \ | ^ {2} + \ | y_ {m} -x \ | ^ {2} -2 \ langle y_ {n} -x \,, \, y_ {m} -x \ rangle

4 ‖ yn + ym 2 - x ‖ 2 = ‖ yn - x ‖ 2 + ‖ ym - x ‖ 2 + 2 ⟨yn - x, ym - x⟩ {\ displaystyle 4 \ left \ | {\ frac {y_ {n} + y_ {m}} {2}} - x \ right \ | ^ {2 } = \ | y_ {n} -x \ | ^ {2} + \ | y_ {m} -x \ | ^ {2} +2 \ langle y_ {n} -x \,, \, y_ {m} -x \ rangle}

4 \ left \ | {\ frac {y_ {n} + y_ {m}} 2} -x \ right \ | ^ { 2} = \ | y_ {n} -x \ | ^ {2} + \ | y_ {m} -x \ | ^ {2} +2 \ langle y_ {n} -x \,, \, y_ {m } -x \ rangle

Следовательно:

‖ yn - ym ‖ 2 = 2 ‖ yn - x ‖ 2 + 2 ‖ ym - x ‖ 2 - 4 4 yn + ym 2 - x ‖ 2 {\ displaystyle \ | y_ {n} -y_ {m} \ | ^ {2} = 2 \ | y_ {n} -x \ | ^ {2} +2 \ | y_ {m} -x \ | ^ {2} -4 \ left \ | {\ frac {y_ {n} + y_ {m}} {2}} - x \ right \ | ^ {2}}

\ | y_ {n} -y_ {m} \ | ^ {2} = 2 \ | y_ { n} -x \ | ^ {2} +2 \ | y_ {m} -x \ | ^ {2} -4 \ left \ | {\ frac {y_ {n} + y_ {m}} 2} -x \ right \ | ^ {2}

(Вспомните формулу для медианы в треугольнике - Median_ (geometry) # Formulas_involving_the_medians'_lengths ) Задав верхнюю границу для первых двух членов равенства и заметив, что середина y n и y m принадлежат C и поэтому расстояние больше чем или равно δ из x, получаем:

‖ yn - ym ‖ 2 ≤ 2 (δ 2 + 1 n) + 2 (δ 2 + 1 m) - 4 δ 2 = 2 (1 n + 1 m) {\ displaystyle \ | y_ {n} -y_ {m} \ | ^ {2} \; \ leq \; 2 \ left (\ delta ^ {2} + {\ frac {1} {n}} \ right) +2 \ left (\ delta ^ {2} + {\ frac {1} {m}} \ right) -4 \ delta ^ {2} = 2 \ left ({\ frac {1} {n}} + {\ frac {1} {m}} \ right)}

\ | y_ {n} -y_ {m} \ | ^ {2} \ ; \ leq \; 2 \ left (\ delta ^ {2} + {\ frac 1n} \ right) +2 \ left (\ delta ^ {2} + {\ frac 1m} \ right) -4 \ delta ^ { 2} = 2 \ left ({\ frac 1n} + {\ frac 1m} \ right)

Последнее неравенство доказывает, что (y n) является последовательностью Коши. Поскольку C полна, последовательность сходится к точке y в C, расстояние от которой до x минимально.

Покажем уникальность y:

Пусть y 1 и y 2 - два минимизатора. Тогда:

‖ y 2 - y 1 ‖ 2 = 2 ‖ y 1 - x ‖ 2 + 2 ‖ y 2 - x ‖ 2-4 ‖ y 1 + y 2 2 - x ‖ 2 {\ displaystyle \ | y_ {2} -y_ {1} \ | ^ {2} = 2 \ | y_ {1} -x \ | ^ {2} +2 \ | y_ {2} -x \ | ^ {2} -4 \ left \ | {\ frac {y_ {1} + y_ {2}} {2}} - x \ right \ | ^ {2}}

\ | y_ {2} -y_ {1} \ | ^ {2} = 2 \ | y_ {1} -x \ | ^ {2} +2 \ | y_ {2} -x \ | ^ {2} -4 \ left \ | {\ frac {y_ {1} + y_ {2}} 2} -x \ right \ | ^ { 2}

Поскольку $y 1 + y 2 2 {\ displaystyle {\ frac {y_ {1} + y_ {2}} {2}}}$ ${\ frac {y_ {1} + y_ {2}} 2}$ принадлежит C, мы имеем $‖ y 1 + y 2 2 - x ‖ 2 ≥ δ 2 {\ displaystyle \ left \ | {\ frac {y_ {1} + y_ {2}} {2}} - x \ right \ | ^ {2} \ geq \ delta ^ {2}}$ $\ left \ | {\ frac {y_ {1} + y_ {2}} 2} -x \ right \ | ^ {2} \ geq \ delta ^ {2}$ и, следовательно,

‖ Y 2 - Y 1 ‖ 2 ≤ 2 δ 2 + 2 δ 2 - 4 δ 2 знак равно 0 {\ displaystyle \ | y_ {2} -y_ {1} \ | ^ {2} \ leq 2 \ delta ^ {2 } +2 \ delta ^ {2} -4 \ delta ^ {2} = 0 \,}

\ | y_ {2} -y_ {1} \ | ^ {2} \ leq 2 \ delta ^ {2} +2 \ delta ^ {2} -4 \ delta ^ {2} = 0 \,

Следовательно, $y 1 = y 2 {\ displaystyle y_ {1} = y_ {2}}$ $y_{1}=y_{2}$ , что доказывает уникальность.

Покажем эквивалентное условие на y, когда C = M - замкнутое подпространство.

Условие достаточно: пусть $z ∈ M {\ displaystyle z \ in M}$ $z \ in M $ такой что $⟨Z - Икс, a⟩ знак равно 0 {\ displaystyle \ langle zx, a \ rangle = 0}$ $\ langle zx, a \ rangle = 0$ для всех $a ∈ M {\ displaystyle a \ in M}$ $a \ in M $ . $‖ Икс - a ‖ 2 знак равно ‖ Z - Икс ‖ 2 + ‖ A - Z ‖ 2 + 2 ⟨Z - Икс, а - Z⟩ = ‖ Z - Икс ‖ 2 + ‖ a - Z ‖ 2 {\ Displaystyle \ | xa \ | ^ {2} = \ | zx \ | ^ {2} + \ | az \ | ^ {2} +2 \ langle zx, az \ rangle = \ | zx \ | ^ {2} + \ | az \ | ^ {2}}$ $\ | xa \ | ^ {2} = \ | zx \ | ^ {2} + \ | az \ | ^ {2} +2 \ langle zx, az \ rangle = \ | zx \ | ^ {2} + \ | az \ | ^ {2}$ , что доказывает, что $z {\ displaystyle z}$ $z$ является минимизатором.

Условие является необходимым: пусть $y ∈ M {\ displaystyle y \ in M}$ $y \ in M $ будет минимизатором. Пусть $a ∈ M {\ displaystyle a \ in M}$ $a \ in M $ и $t ∈ R {\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ $t \ in {\ mathbb R}$ .

‖ (y + ta) - Икс ‖ 2 - ‖ Y - Икс ‖ 2 знак равно 2 T ⟨Y - Икс, a⟩ + T 2 ‖ a ‖ 2 = 2 t ⟨Y - x, a⟩ + O (T 2) {\ Displaystyle \ | (y + ta) -x \ | ^ {2} - \ | yx \ | ^ {2} = 2t \ langle yx, a \ rangle + t ^ {2} \ | a \ | ^ {2} = 2t \ langle yx, a \ rangle + O (t ^ {2})}

\ | (y + ta) -x \ | ^ {2} - \ | yx \ | ^ {2} = 2t \ langle yx, a \ rangle + t ^ {2} \ | a \ | ^ {2} = 2t \ langle yx, a \ rangle + O (t ^ {2})

всегда неотрицательно. Следовательно, $⟨y - x, a⟩ = 0. {\ displaystyle \ langle yx, a \ rangle = 0.}$ $\ langle yx, a \ rangle = 0.$

QED

References

Walter Rudin, Real и комплексный анализ. Третье издание, 1987 .

См. Также

Принцип ортогональности