Потенциал Бесселя

редактировать

В математике потенциал Бесселя равен потенциал (названный в честь Фридриха Вильгельма Бесселя ), аналогичный потенциалу Рисса, но с лучшими характеристиками затухания на бесконечности.

Если s - комплексное число с положительной действительной частью, то потенциал Бесселя порядка s - это оператор

(I - Δ) - s / 2 {\ displaystyle (I- \ Delta) ^ {- s / 2}}

{\ displaystyle (I- \ Delta) ^ {- s / 2}}

, где Δ - это оператор Лапласа, а дробная степень определяется с использованием преобразований Фурье.

Потенциалы Юкавы являются частными случаями потенциалов Бесселя для $s = 2 {\ displaystyle s = 2}$ $s = 2$ в трехмерном пространстве.

Содержание

1 Представление в пространстве Фурье
2 Интегральные представления
3 Асимптотика
4 См. Также
5 Ссылки

Представление в пространстве Фурье

Потенциал Бесселя действует путем умножения на преобразования Фурье : для каждого $ξ ∈ R d {\ displaystyle \ xi \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$ $\ xi \ in {\ mathbb {R}} ^ {d}$

F ((I - Δ) - s / 2 u) (ξ) = F u (ξ) (1 + 4 π 2 | ξ | 2) s / 2. {\ displaystyle {\ mathcal {F}} ((I- \ Delta) ^ {- s / 2} u) (\ xi) = {\ frac {{\ mathcal {F}} u (\ xi)} {( 1 + 4 \ pi ^ {2} \ vert \ xi \ vert ^ {2}) ^ {s / 2}}}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} ((I- \ Delta) ^ {- s / 2} u) (\ xi) = {\ frac {{\ mathcal {F}} u (\ xi)} {(1 + 4 \ pi ^ {2} \ vert \ xi \ vert ^ {2}) ^ {s / 2}}}. }

Интегральные представления

Когда $s>0 {\ displaystyle s>0}$ $s>0$ , потенциал Бесселя на $R d {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ $\ mathbb {R} ^ {d}$ может быть представлен как

(I - Δ) - s / 2 u = G s ∗ u, {\ displaystyle (I- \ Delta) ^ {- s / 2} u = G_ {s} \ ast u,}

{\ displaystyle (I- \ Delta) ^ {- s / 2} u = G_ {s} \ ast u,}

где ядро Бесселя $G s {\ displaystyle G_ {s }}$ ${\ displaystyle G_ {s}}$ определен для $x ∈ R d ∖ {0} {\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d} \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d} \ setminus \ {0 \}}$ по интегральной формуле

G s (x) = 1 (4 π) s / 2 Γ (s / 2) ∫ 0 ∞ e - π | x | 2 y - y 4 π y 1 + d - s 2 dy. {\ displaystyle G_ {s} (x) = {\ frac {1} {(4 \ pi) ^ {s / 2} \ Gamma (s / 2)}} \ int _ {0} ^ {\ infty } {\ frac {e ^ {- {\ frac {\ pi \ vert x \ vert ^ {2}} {y}} - {\ frac {y} {4 \ pi}}}} {y ^ {1+ {\ frac {ds} {2}}} }} \, \ mathrm {d} y.}

{\ displaystyle G_ {s} (x) = {\ frac {1} {(4 \ pi) ^ {s / 2} \ Gamma (s / 2)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- {\ frac {\ pi \ vert x \ vert ^ {2}} {y}} - {\ frac {y} {4 \ pi}}}} {y ^ {1 + {\ frac {ds} {2 }}}}} \, \ mathrm {d} y.}

Здесь $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ обозначает гамма-функцию. Ядро Бесселя также может быть представлено для $x ∈ R d ∖ {0} {\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d} \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d} \ setminus \ {0 \}}$ by

G s (x) = e - | х | (2 π) d - 1 2 2 s 2 Γ (s 2) Γ (d - s + 1 2) ∫ 0 ∞ e - | х | t (t + t 2 2) d - s - 1 2 d t. {\ displaystyle G_ {s} (x) = {\ frac {e ^ {- \ vert x \ vert}} {(2 \ pi) ^ {\ frac {d-1} {2}} 2 ^ {\ frac {s} {2}} \ Gamma ({\ frac {s} {2}}) \ Gamma ({\ frac {d-s + 1} {2}})}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ vert x \ vert t} {\ Big (} t + {\ frac {t ^ {2}} {2}} {\ Big)} ^ {\ frac {ds-1} {2} } \, \ mathrm {d} t.}

{\ displaystyle G_ {s} (x) = {\ frac {e ^ {- \ vert x \ vert}} {( 2 \ pi) ^ {\ frac {d-1} {2}} 2 ^ {\ frac {s} {2}} \ Gamma ({\ frac {s} {2}}) \ Gamma ({\ frac { d-s + 1} {2}})}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ vert x \ vert t} {\ Big (} t + {\ frac {t ^ {2}) } {2}} {\ Big)} ^ {\ frac {ds-1} {2}} \, \ mathrm {d} t.}

Асимптотика

В начале координат как $| х | → 0 {\ displaystyle \ vert x \ vert \ to 0}$ ${\ displaystyle \ vert x \ vert \ to 0}$ ,

G s (x) = Γ (d - s 2) 2 s π s / 2 | х | d - s (1 + o (1)), если 0 < s < d, {\displaystyle G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {d-s}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}\vert x\vert ^{d-s}}}(1+o(1))\quad {\text{ if }}0

{\ displaystyle G_ { s} (x) = {\ frac {\ Gamma ({\ frac {ds} {2}})} {2 ^ {s} \ pi ^ {s / 2} \ vert x \ vert ^ {ds}}} (1 + о (1)) \ quad {\ text {if}} 0 <s <d,}

G d (x) = 1 2 d - 1 π d / 2 ln ⁡ 1 | х | (1 + о (1)), {\ displaystyle G_ {d} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {d-1} \ pi ^ {d / 2}}} \ ln {\ frac { 1} {\ vert x \ vert}} (1 + o (1)),}

{\ displaystyle G_ {d} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {d-1} \ pi ^ {d / 2}}} \ ln {\ frac {1} {\ vert x \ vert}} (1 + o (1)),}

G s (x) = Γ (s - d 2) 2 s π s / 2 (1 + o (1)) если s>d. {\ displaystyle G_ {s} (x) = {\ frac {\ Gamma ({\ frac {sd} {2}})} {2 ^ {s} \ pi ^ {s / 2}}} (1 + o (1)) \ quad {\ text {if}} s>d.}

G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {s-d}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}}}(1+o(1))\quad {\text{ if }}s>d.

В частности, когда $0 < s < d {\displaystyle 0$ ${\ displaystyle 0 <s <d}$ потенциал Бесселя ведет себя асимптотически, как потенциал Рисса.

на бесконечности, $| x | → ∞ {\ displaystyle \ vert x \ vert \ to \ infty}$ ${\ displaystyle \ vert x \ vert \ to \ infty}$ ,

G s (x) = e - | x | 2 d + s - 1 2 π d - 1 2 Γ (s 2) | x | d + 1 - s 2 (1 + o (1)). {\ Displaystyle G_ {s} (x) = {\ frac {e ^ {- \ vert x \ vert}} {2 ^ { \ frac {d + s-1} {2}} \ pi ^ {\ frac {d-1} {2}} \ Gamma ({\ frac {s} {2}}) \ vert x \ vert ^ {\ frac {d + 1-s} {2}}}} (1 + o (1)).}

{\ displaystyle G_ {s} (x) = {\ frac {e ^ {- \ vert x \ vert}} {2 ^ {\ frac {d + s-1} {2}} \ pi ^ {\ frac {d-1} {2}} \ Gamma ({\ frac {s} {2}}) \ vert x \ vert ^ {\ frac {d + 1-s} {2}}}} (1 + o (1)).}

См. также

Ссылки

Дудучава, Р. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Графакос, Лукас (2009), Modern Fourier анализ, Тексты для выпускников по математике, 250 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-0-387-09434-2, ISBN 978-0-387-09433-5, MR 2463316
Hedberg, LI (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Stein, Elias (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций, Princeton, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 0-691-08079-8