Войти
В математике, некоммутативный гармонический анализ - это поле, в котором результаты анализа Фурье расширяются до топологических групп, которые не являются коммутативными. Поскольку локально компактные абелевы группы имеют хорошо изученную теорию, двойственность Понтрягина, которая включает в себя базовые структуры рядов Фурье и преобразований Фурье, основной задачей некоммутативного гармонического анализа обычно считается расширение теории на все группы G, которые локально компактны. Случай компактных групп понимается качественно и после теоремы Питера – Вейля из 1920-х годов как в целом аналогичный случаю конечных групп и их теория характеров.
Поэтому основной задачей является случай G, который является локально компактным, некомпактным и не коммутативным. Интересные примеры включают множество групп Ли, а также алгебраических групп над p-адическими полями. Эти примеры представляют интерес и часто применяются в математической физике и современной теории чисел, особенно в автоморфных представлениях.
. То, чего ожидать, известно как результат основной работы Джон фон Нейман. Он показал, что если групповая алгебра фон Неймана группы G имеет тип I, то L (G) как унитарное представление группы G является прямым интегралом неприводимые представления. Поэтому он параметризуется унитарным двойственным, набором классов изоморфизма таких представлений, которому задана топология оболочка-ядро. Аналог теоремы Планшереля абстрактно дается путем идентификации меры на унитарном двойственном, мере Планшереля, относительно которой берется прямой интеграл. (Для двойственности Понтрягина мера Планшереля - это некоторая мера Хаара на двойственной группе к G, поэтому единственной проблемой является ее нормализация.) Для общих локально компактных групп или даже счетных дискретных групп групповая алгебра фон Неймана не обязательно иметь тип I, и регулярное представление группы G не может быть записано в терминах неприводимых представлений, даже если оно унитарно и полностью приводимо. Примером, где это происходит, является бесконечная симметрическая группа, где групповая алгебра фон Неймана представляет собой фактор гиперконечного типа II 1. Дальнейшая теория делит меру Планшереля на дискретную и непрерывную части. Для полупростых групп и классов разрешимых групп Ли доступна очень подробная теория.
