Личность Парсеваля

редактировать

В математическом анализе, идентичность замкнутости, названный в честь Парсеваль, является фундаментальным результатом на суммировании в ряд Фурье функции. Геометрически это обобщенная теорема Пифагора для пространств внутреннего продукта (которые могут иметь бесчисленное множество базисных векторов).

Неформально тождество утверждает, что сумма квадратов коэффициентов Фурье функции равна интегралу квадрата функции,

{\ displaystyle \ Vert f \ Vert _ {L ^ {2} (- \ pi, \ pi)} ^ {2} = \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | f (x) | ^ { 2} \, dx = 2 \ pi \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2}}

{\ displaystyle \ Vert f \ Vert _ {L ^ {2} (- \ pi, \ pi)} ^ {2} = \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | f (x) | ^ { 2} \, dx = 2 \ pi \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2}}

где коэффициенты Фурье от задаются

{\ displaystyle c_ {n}}

c_ {n}

{\ displaystyle f}

ж

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) e ^ {- inx} \, dx.}

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) e ^ {- inx} \, dx.}

Более формально результат сохраняется, как указано, при условии, что это функция, интегрируемая с квадратом, или, в более общем плане, в пространстве Lp. Аналогичным результатом является теорема Планшереля, которая утверждает, что интеграл от квадрата преобразования Фурье функции равен интеграл от квадрата самой функции. В одномерном, для ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle L ^ {2} [- \ pi, \ pi].}$ ${\ displaystyle L ^ {2} [- \ pi, \ pi].}$ ${\ Displaystyle е \ в L ^ {2} (\ mathbb {R}),}$ ${\ Displaystyle е \ в L ^ {2} (\ mathbb {R}),}$

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | {\ hat {f}} (\ xi) | ^ {2} \, d \ xi = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | f (x) | ^ {2} \, dx.}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | {\ hat {f}} (\ xi) | ^ {2} \, d \ xi = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | f (x) | ^ {2} \, dx.}

Обобщение теоремы Пифагора.

Это тождество связано с теоремой Пифагора в более общем случае сепарабельного гильбертова пространства следующим образом. Предположим, что гильбертово пространство с внутренним произведением Пусть быть ортонормированный базис из ; то есть линейная оболочка из является плотной в и взаимно ортонормированы: ${\ displaystyle H}$ $ЧАС$ ${\ Displaystyle \ langle \, \ cdot \,, \, \ cdot \, \ rangle.}$ ${\ Displaystyle \ langle \, \ cdot \,, \, \ cdot \, \ rangle.}$ ${\ Displaystyle \ влево (е_ {п} \ вправо)}$ ${\ Displaystyle \ влево (е_ {п} \ вправо)}$ ${\ displaystyle H}$ $ЧАС$ ${\ displaystyle e_ {n}}$ $e_ {n}$ ${\ displaystyle H,}$ $ЧАС,$ ${\ displaystyle e_ {n}}$ $e_ {n}$

{\ displaystyle \ langle e_ {m}, e_ {n} \ rangle = {\ begin {cases} 1 amp; {\ t_dv {if}} ~ m = n \\ 0 amp; {\ t_dv {if}} ~ m \ neq n. \ end {case}}}

{\ displaystyle \ langle e_ {m}, e_ {n} \ rangle = {\ begin {cases} 1 amp; {\ t_dv {if}} ~ m = n \\ 0 amp; {\ t_dv {if}} ~ m \ neq n. \ end {case}}}

Тогда личность Парсеваля утверждает, что для каждого ${\ Displaystyle х \ в H,}$ ${\ Displaystyle х \ в H,}$

{\ displaystyle \ sum _ {n} \ left | \ left \ langle x, e_ {n} \ right \ rangle \ right | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2}.}

{\ displaystyle \ sum _ {n} \ left | \ left \ langle x, e_ {n} \ right \ rangle \ right | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2}.}

Это прямо аналогично теореме Пифагора, которая утверждает, что сумма квадратов компонентов вектора в ортонормированном базисе равна квадрату длины вектора. Можно восстановить версию тождества Парсеваля в виде ряда Фурье, выбрав гильбертово пространство и установив для ${\ displaystyle H}$ $ЧАС$ ${\ Displaystyle L ^ {2} [- \ пи, \ пи],}$ ${\ Displaystyle L ^ {2} [- \ пи, \ пи],}$ ${\ displaystyle e_ {n} = e ^ {- inx}}$ ${\ displaystyle e_ {n} = e ^ {- inx}}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}.}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}.}$

В более общем смысле, тождество Парсеваля выполняется в любом внутреннем пространстве произведения, а не только в сепарабельных гильбертовых пространствах. Итак, предположим, что это внутреннее пространство продукта. Пусть быть ортонормированный базис из ; то есть ортонормированное множество, которое является полным в том смысле, что линейная оболочка плотна в Тогда ${\ displaystyle H}$ $ЧАС$ ${\ displaystyle B}$ $B$ ${\ displaystyle H}$ $ЧАС$ ${\ displaystyle B}$ $B$ ${\ displaystyle H.}$ $ЧАС.$

{\ displaystyle \ | x \ | ^ {2} = \ langle x, x \ rangle = \ sum _ {v \ in B} \ left | \ langle x, v \ rangle \ right | ^ {2}.}

{\ displaystyle \ | x \ | ^ {2} = \ langle x, x \ rangle = \ sum _ {v \ in B} \ left | \ langle x, v \ rangle \ right | ^ {2}.}

Предположение, что это тотальное, необходимо для действительности тождества. Если не является полным, то равенство в тождестве Парсеваля должно быть заменено получением неравенства Бесселя. Эту общую форму тождества Парсеваля можно доказать с помощью теоремы Рисса – Фишера. ${\ displaystyle B}$ $B$ ${\ displaystyle B}$ $B$ ${\ displaystyle \, \ geq,}$ ${\ displaystyle \, \ geq,}$

Смотрите также

Теорема Парсеваля

Рекомендации

«Равенство Парсеваля», Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]
Джонсон, Ли У.; Рис, Р. Дин (1982), Численный анализ (2-е изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-10392-3.
Титчмарш, E (1939), Теория функций (2-е изд.), Oxford University Press.
Зигмунд, Антони (1968), Тригонометрическая серия (2-е изд.), Cambridge University Press (опубликовано в 1988 г.), ISBN 978-0-521-35885-9.
Сиктар, Джошуа (2019), Пересмотр доказательства личности Парсеваля, Турецкий журнал неравенств. [1]