Гиперболическое уравнение в частных производных

В математике, А гиперболические уравнения порядка является парциальное дифференциальное уравнение (ФДЭ), что, грубо говоря, имеет корректную начальную задачу для первых производных. Точнее, задача Коши может быть решена локально для произвольных начальных данных вдоль любой нехарактерной гиперповерхности. Многие уравнения механики являются гиперболическими, поэтому изучение гиперболических уравнений представляет значительный интерес для современников. Модельное гиперболическое уравнение - это волновое уравнение. В одном пространственном измерении это ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n-1}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} = c ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2 }}}}$

Уравнение обладает тем свойством, что если u и его первая производная по времени являются произвольно заданными начальными данными на прямой t = 0 (с достаточными свойствами гладкости), то существует решение для всего времени t.

Решения гиперболических уравнений «волнообразны». Если в исходные данные гиперболического дифференциального уравнения вносится возмущение, то не каждая точка пространства сразу ощущает возмущение. Относительно фиксированной координаты времени возмущения имеют конечную скорость распространения. Они движутся по характеристикам уравнения. Эта особенность качественно отличает гиперболические уравнения от эллиптических уравнений в частных производных и параболических уравнений в частных производных. Возмущение начальных (или граничных) данных эллиптического или параболического уравнения ощущается сразу практически во всех точках области.

Хотя определение гиперболичности по своей сути является качественным, существуют точные критерии, которые зависят от конкретного вида рассматриваемого дифференциального уравнения. Существует хорошо развитая теория линейных дифференциальных операторов, в связи с Ларсом Гордингом, в контексте микролокального анализа. Нелинейные дифференциальные уравнения являются гиперболическими, если их линеаризации гиперболичны по Гордингу. Для систем уравнений первого порядка, исходящих из систем законов сохранения, существует несколько иная теория.

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Гиперболическая система дифференциальных уравнений в частных производных
• 4 Гиперболическая система и законы сохранения
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Дальнейшее чтение
• 8 Внешние ссылки

Уравнение в частных производных является гиперболическим в точке при условии, что задача Коши однозначно разрешима в окрестности для любых начальных данных, заданных на нехарактерной гиперповерхности, через которую проходит. Здесь заданные начальные данные состоят из всех (поперечных) производных функции на поверхности до одного порядка меньшего, чем порядок дифференциального уравнения. ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$

Линейной заменой переменных любое уравнение вида

${\ displaystyle A {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + 2B {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x \ partial y}} + C {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} + {\ text {(производные более низкого порядка)}} = 0}$

с участием

${\ displaystyle B ^ {2} -ACgt; 0}$

может быть преобразовано в волновое уравнение, за исключением членов более низкого порядка, которые не являются существенными для качественного понимания уравнения. Это определение аналогично определению плоской гиперболы.

Одномерное волновое уравнение :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} - c ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2 }}} = 0}$

является примером гиперболического уравнения. Двумерные и трехмерные волновые уравнения также попадают в категорию гиперболических уравнений в частных производных. Этот тип гиперболического уравнения в частных производных второго порядка может быть преобразован в гиперболическую систему дифференциальных уравнений первого порядка.

Ниже представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для неизвестных функций,, где: ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s}$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} = (и_ {1}, \ ldots, и_ {s})}$${\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {u}} ({\ vec {x}}, т)}$${\ displaystyle {\ vec {x}} \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {u}}} {\ partial t}} + \ sum _ {j = 1} ^ {d} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j} }} {\ vec {f ^ {j}}} ({\ vec {u}}) = 0,}$

( *)

где - некогда непрерывно дифференцируемые функции, вообще говоря, нелинейные. ${\ displaystyle {\ vec {f ^ {j}}} \ in C ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {s}, \ mathbb {R} ^ {s}), j = 1, \ ldots, d}$

Затем для каждого определим матрицу Якоби ${\ displaystyle {\ vec {f ^ {j}}}}$${\ displaystyle s \ times s}$

${\ displaystyle A ^ {j}: = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial f_ {1} ^ {j}} {\ partial u_ {1}}} amp; \ cdots amp; {\ frac {\ partial f_ {1} ^ {j}} {\ partial u_ {s}}} \\\ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \\ {\ frac {\ partial f_ {s} ^ {j}} {\ partial u_ { 1}}} amp; \ cdots amp; {\ frac {\ partial f_ {s} ^ {j}} {\ partial u_ {s}}} \ end {pmatrix}}, {\ text {for}} j = 1, \ ldots, d.}$

Система ( ∗) является гиперболической, если для всех матрица имеет только действительные собственные значения и диагонализуема. ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {d} \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle A: = \ alpha _ {1} A ^ {1} + \ cdots + \ alpha _ {d} A ^ {d}}$

Если матрица имеет s различных действительных собственных значений, значит, она диагонализуема. В этом случае система ( ∗) называется строго гиперболической. ${\ displaystyle A}$

Если матрица симметрична, это означает, что она диагонализуема и собственные значения действительны. В этом случае система ( ∗) называется симметричной гиперболической. ${\ displaystyle A}$

Есть связь между гиперболической системой и законом сохранения. Рассмотрим гиперболическую систему одного уравнения в частных производных для одной неизвестной функции. Тогда система ( ∗) имеет вид ${\ Displaystyle и = и ({\ vec {х}}, т)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + \ sum _ {j = 1} ^ {d} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} {f ^ { j}} (u) = 0.}$

( ∗∗)

Здесь можно интерпретировать как величину, которая движется в соответствии с потоком, задаваемым выражением. Чтобы убедиться, что величина сохраняется, проинтегрируем ( ∗∗) по области${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle {\ vec {f}} = (е ^ {1}, \ ldots, f ^ {d})}$${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} \, d \ Omega + \ int _ {\ Omega} \ nabla \ cdot {\ vec {f}} (u) \, d \ Omega = 0.}$

Если и - достаточно гладкие функции, мы можем использовать теорему о расходимости и изменить порядок интегрирования и получить закон сохранения для величины в общем виде ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle {\ vec {f}}}$ ${\ Displaystyle \ partial / \ partial t}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {\ Omega} u \, d \ Omega + \ int _ {\ partial \ Omega} {\ vec {f}} (u) \ cdot {\ vec {n}} \, d \ Gamma = 0,}$

что означает, что скорость изменения во времени в области равна чистому потоку через ее границу. Поскольку это равенство, можно сделать вывод, что сохраняется внутри. ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ partial \ Omega}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ Omega}$

• Эллиптическое уравнение в частных производных
• Гипоэллиптический оператор
• Параболическое уравнение в частных производных

• А.Д. Полянин, Справочник по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными для инженеров и ученых, Chapman amp; Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN   1-58488-299-9

• "Гиперболическое уравнение в частных производных, численные методы", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Линейные гиперболические уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.
• Нелинейные гиперболические уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.