Равномерно выпуклое пространство

редактировать

In математика, равномерно выпуклые пространства (или равномерно круглые пространства ) являются общими примерами рефлексивных банаховых пространств. Понятие равномерной выпуклости было впервые введено Джеймсом А. Кларксоном в 1936 году.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Примеры
4 См. Также
5 Ссылки

Определение

A равномерно выпуклое пространство - это нормированное векторное пространство, такое, что для каждого $0 < ε ≤ 2 {\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$ ${\ displaystyle 0 <\ varepsilon \ leq 2}$ существует некоторое $δ>0 {\ displaystyle \ delta>0 }$ $\delta>0$ такой что для любых двух векторов с $‖ x ‖ = 1 {\ displaystyle \ | x \ | = 1}$ $\ | x \ | = 1$ и $‖ y ‖ = 1, {\ displaystyle \ | y \ | = 1,}$ $\ | y \ | = 1,$ условие

‖ x - y ‖ ≥ ε {\ displaystyle \ | xy \ | \ geq \ varepsilon}

\ | ху \ | \ geq \ varepsilon

подразумевает, что:

‖ x + y 2 ‖ ≤ 1 - δ. {\ Displaystyle \ left \ | {\ frac {x + y} {2}} \ right \ | \ leq 1- \ delta.}

\ left \ | \ frac {x + y} {2} \ вправо \ | \ leq 1- \ delta.

Интуитивно понятно, что центр сегмента линии внутри единичный шар должен лежать глубоко внутри единичного шара, если сегмент не короткий.

Свойства

единичный сф ere можно заменить на закрытый элемент ball в определении. А именно, нормированное векторное пространство $X {\ displaystyle X}$ $X$ является равномерно выпуклым тогда и только тогда, когда для каждого $0 < ε ≤ 2 {\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$ ${\ displaystyle 0 <\ varepsilon \ leq 2}$ существует $δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}$ $\ delta>0$ так, чтобы для любых двух векторов $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ в замкнутый единичный шар (т.е. $‖ x ‖ ≤ 1 {\ displaystyle \ | x \ | \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ | x \ | \ leq 1}$ и $‖ y ‖ ≤ 1 {\ displaystyle \ | y \ | \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ | y \ | \ leq 1}$ ) с $‖ x - y ‖ ≥ ε {\ displaystyle \ | xy \ | \ geq \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ | xy \ | \ geq \ varepsilon}$ , у одного есть $‖ x + y 2 ‖ ≤ 1 - δ {\ displaystyle \ left \ | {\ frac {x + y} {2}} \ right \ | \ leq 1- \ delta}$ ${\ displaystyle \ left \ | {\ frac {x + y} {2}} \ right \ | \ leq 1- \ delta}$ (обратите внимание, что при $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , соответствующее значение $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ может быть меньше, чем значение, предоставленное исходным более слабым определением).

Доказательство
Часть «если» тривиальна. Con Верно, предположим теперь, что $X {\ displaystyle X}$ $X$ равномерно выпуклый и что $x, y {\ displaystyle x, y}$ $x, y$ такие же, как в инструкции, для некоторого фиксированного $0 < ε ≤ 2 {\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$ ${\ displaystyle 0 <\ varepsilon \ leq 2}$ . Пусть $δ 1 ≤ 1 {\ displaystyle \ delta _ {1} \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ delta _ {1} \ leq 1}$ будет значением $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ , соответствующим $ε 3 {\ displaystyle {\ frac {\ varepsilon} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ varepsilon} {3}}}$ в определении равномерной выпуклости. Мы покажем, что $‖ x + y 2 ‖ ≤ 1 - δ {\ displaystyle \ left \ \| {\ frac {x + y} {2}} \ right \ \| \ leq 1- \ delta}$ ${\ displaystyle \ left \ \| {\ frac {x + y} {2}} \ right \ \| \ leq 1- \ delta}$ , с $δ = min {ε 6, δ 1 3} {\ displaystyle \ delta = \ min \ left \ {{\ frac {\ varepsilon} {6}}, {\ frac {\ delta _ {1}} {3}} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ delta = \ min \ left \ {{\ frac {\ varepsilon} {6}}, {\ frac {\ delta _ {1}} {3}} \ right \}}$ . Если $‖ x ‖ ≤ 1-2 δ {\ displaystyle \ \| x \ \| \ leq 1-2 \ delta}$ ${\ displaystyle \ \| x \ \| \ leq 1-2 \ delta}$ тогда $‖ x + y 2 ‖ ≤ 1 2 (1-2 δ) + 1 2 = 1 - δ {\ displaystyle \ left \ \| {\ frac {x + y} {2}} \ right \ \| \ leq {\ frac {1} {2}} (1-2 \ delta) + {\ frac {1} {2}} = 1- \ delta}$ ${\ displaystyle \ left \ \| {\ frac {x + y} {2}} \ right \ \| \ leq {\ frac {1} {2}} (1-2 \ delta) + {\ frac {1} {2}} = 1- \ delta}$ и утверждение доказано. Аналогичный аргумент применим и для случая $‖ y ‖ ≤ 1-2 δ {\ displaystyle \ \| y \ \| \ leq 1-2 \ delta}$ ${\ displaystyle \ \| y \ \| \ leq 1-2 \ delta}$ , поэтому мы можем предположить, что $1 - 2 δ < ‖ x ‖, ‖ y ‖ ≤ 1 {\displaystyle 1-2\delta <\\|x\\|,\\|y\\|\leq 1}$ ${\ displaystyle 1-2 \ delta <\ \| x \ \|, \ \| y \ \| \ leq 1}$ . В этом случае, поскольку $δ ≤ 1 3 {\ displaystyle \ delta \ leq {\ frac {1} {3}}}$ ${\ displaystyle \ delta \ leq {\ frac {1} {3}}}$ , оба вектора отличны от нуля, поэтому мы можем позволить $x '= Икс ‖ Икс ‖ {\ Displaystyle x' = {\ frac {x} {\ \| x \ \|}}}$ $x'={\frac {x}{\\|x\\|}}$ и $y '= y ‖ y ‖ {\ displaystyle y' = {\ frac {y} {\ \| y \ \|}}}$ $y'={\frac {y}{\\|y\\|}}$ . У нас есть $‖ x ′ - x ‖ = 1 - ‖ x ‖ ≤ 2 δ {\ displaystyle \ \| x'-x \ \| = 1- \ \| x \ \| \ leq 2 \ delta}$ $\\|x'-x\\|=1-\\|x\\|\leq 2\delta$ и аналогично $‖ y ′ - y ‖ ≤ 2 δ {\ displaystyle \ \| y'-y \ \| \ leq 2 \ delta}$ $\\|y'-y\\|\leq 2\delta$ , поэтому $x ′ {\ displaystyle x ' }$ $x'$ и $y ′ {\ displaystyle y '}$ $y'$ принадлежат единичной сфере и имеют расстояние $‖ x ′ - y ′ ‖ ≥ ‖ x - y ‖ - 4 δ ≥ ε - 4 ε 6 = ε 3 {\ displaystyle \ \| x'-y '\ \| \ geq \ \| xy \ \| -4 \ delta \ geq \ varepsilon - {\ frac {4 \ varepsilon} {6} } = {\ frac {\ varepsilon} {3}}}$ $\\|x'-y'\\|\geq \\|x-y\\|-4\delta \geq \varepsilon -{\frac {4\varepsilon }{6}}={\frac {\varepsilon }{3}}$ . Следовательно, по нашему выбору $δ 1 {\ displaystyle \ delta _ {1}}$ $\ delta _ {1}$ , мы имеем $‖ x ′ + y ′ 2 ‖ ≤ 1 - δ 1 {\ displaystyle \ left \ \| {\ frac {x '+ y'} {2}} \ right \ \| \ leq 1- \ delta _ {1}}$ $\left\\|{\frac {x'+y'}{2}}\right\\|\leq 1-\delta _{1}$ . Отсюда следует, что $‖ x + y 2 ‖ ≤ ‖ x ′ + y ′ 2 ‖ + ‖ x ′ - x ‖ + ‖ y ′ - y ‖ 2 ≤ 1 - δ 1 + 2 δ ≤ 1 - δ 1 3 ≤ 1 - δ {\ displaystyle \ left \ \| {\ frac {x + y} {2}} \ right \ \| \ leq \ left \ \| {\ frac {x '+ y'} {2}} \ right \ \| + {\ frac {\ \| x'-x \ \| + \ \| y'-y \ \|} {2}} \ leq 1- \ delta _ {1} +2 \ delta \ leq 1 - {\ frac { \ delta _ {1}} {3}} \ leq 1- \ delta}$ $\left\\|{\frac {x+y}{2}}\right\\|\leq \left\\|{\frac {x'+y'}{2}}\right\\|+{\frac {\\|x'-x\\|+\\|y'-y\\|}{2}}\leq 1-\delta _{1}+2\delta \leq 1-{\frac {\delta _{1}}{3}}\leq 1-\delta$ и утверждение доказано.

Доказательство

Часть «если» тривиальна. Con Верно, предположим теперь, что $X {\ displaystyle X}$ $X$ равномерно выпуклый и что $x, y {\ displaystyle x, y}$ $x, y$ такие же, как в инструкции, для некоторого фиксированного $0 < ε ≤ 2 {\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$ ${\ displaystyle 0 <\ varepsilon \ leq 2}$ . Пусть $δ 1 ≤ 1 {\ displaystyle \ delta _ {1} \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ delta _ {1} \ leq 1}$ будет значением $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ , соответствующим $ε 3 {\ displaystyle {\ frac {\ varepsilon} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ varepsilon} {3}}}$ в определении равномерной выпуклости. Мы покажем, что $‖ x + y 2 ‖ ≤ 1 - δ {\ displaystyle \ left \ | {\ frac {x + y} {2}} \ right \ | \ leq 1- \ delta}$ ${\ displaystyle \ left \ | {\ frac {x + y} {2}} \ right \ | \ leq 1- \ delta}$ , с $δ = min {ε 6, δ 1 3} {\ displaystyle \ delta = \ min \ left \ {{\ frac {\ varepsilon} {6}}, {\ frac {\ delta _ {1}} {3}} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ delta = \ min \ left \ {{\ frac {\ varepsilon} {6}}, {\ frac {\ delta _ {1}} {3}} \ right \}}$ .

Если $‖ x ‖ ≤ 1-2 δ {\ displaystyle \ | x \ | \ leq 1-2 \ delta}$ ${\ displaystyle \ | x \ | \ leq 1-2 \ delta}$ тогда $‖ x + y 2 ‖ ≤ 1 2 (1-2 δ) + 1 2 = 1 - δ {\ displaystyle \ left \ | {\ frac {x + y} {2}} \ right \ | \ leq {\ frac {1} {2}} (1-2 \ delta) + {\ frac {1} {2}} = 1- \ delta}$ ${\ displaystyle \ left \ | {\ frac {x + y} {2}} \ right \ | \ leq {\ frac {1} {2}} (1-2 \ delta) + {\ frac {1} {2}} = 1- \ delta}$ и утверждение доказано. Аналогичный аргумент применим и для случая $‖ y ‖ ≤ 1-2 δ {\ displaystyle \ | y \ | \ leq 1-2 \ delta}$ ${\ displaystyle \ | y \ | \ leq 1-2 \ delta}$ , поэтому мы можем предположить, что $1 - 2 δ < ‖ x ‖, ‖ y ‖ ≤ 1 {\displaystyle 1-2\delta <\|x\|,\|y\|\leq 1}$ ${\ displaystyle 1-2 \ delta <\ | x \ |, \ | y \ | \ leq 1}$ . В этом случае, поскольку $δ ≤ 1 3 {\ displaystyle \ delta \ leq {\ frac {1} {3}}}$ ${\ displaystyle \ delta \ leq {\ frac {1} {3}}}$ , оба вектора отличны от нуля, поэтому мы можем позволить $x '= Икс ‖ Икс ‖ {\ Displaystyle x' = {\ frac {x} {\ | x \ |}}}$ $x'={\frac {x}{\|x\|}}$ и $y '= y ‖ y ‖ {\ displaystyle y' = {\ frac {y} {\ | y \ |}}}$ $y'={\frac {y}{\|y\|}}$ . У нас есть $‖ x ′ - x ‖ = 1 - ‖ x ‖ ≤ 2 δ {\ displaystyle \ | x'-x \ | = 1- \ | x \ | \ leq 2 \ delta}$ $\|x'-x\|=1-\|x\|\leq 2\delta$ и аналогично $‖ y ′ - y ‖ ≤ 2 δ {\ displaystyle \ | y'-y \ | \ leq 2 \ delta}$ $\|y'-y\|\leq 2\delta$ , поэтому $x ′ {\ displaystyle x ' }$ $x'$ и $y ′ {\ displaystyle y '}$ $y'$ принадлежат единичной сфере и имеют расстояние $‖ x ′ - y ′ ‖ ≥ ‖ x - y ‖ - 4 δ ≥ ε - 4 ε 6 = ε 3 {\ displaystyle \ | x'-y '\ | \ geq \ | xy \ | -4 \ delta \ geq \ varepsilon - {\ frac {4 \ varepsilon} {6} } = {\ frac {\ varepsilon} {3}}}$ $\|x'-y'\|\geq \|x-y\|-4\delta \geq \varepsilon -{\frac {4\varepsilon }{6}}={\frac {\varepsilon }{3}}$ . Следовательно, по нашему выбору $δ 1 {\ displaystyle \ delta _ {1}}$ $\ delta _ {1}$ , мы имеем $‖ x ′ + y ′ 2 ‖ ≤ 1 - δ 1 {\ displaystyle \ left \ | {\ frac {x '+ y'} {2}} \ right \ | \ leq 1- \ delta _ {1}}$ $\left\|{\frac {x'+y'}{2}}\right\|\leq 1-\delta _{1}$ . Отсюда следует, что $‖ x + y 2 ‖ ≤ ‖ x ′ + y ′ 2 ‖ + ‖ x ′ - x ‖ + ‖ y ′ - y ‖ 2 ≤ 1 - δ 1 + 2 δ ≤ 1 - δ 1 3 ≤ 1 - δ {\ displaystyle \ left \ | {\ frac {x + y} {2}} \ right \ | \ leq \ left \ | {\ frac {x '+ y'} {2}} \ right \ | + {\ frac {\ | x'-x \ | + \ | y'-y \ |} {2}} \ leq 1- \ delta _ {1} +2 \ delta \ leq 1 - {\ frac { \ delta _ {1}} {3}} \ leq 1- \ delta}$ $\left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq \left\|{\frac {x'+y'}{2}}\right\|+{\frac {\|x'-x\|+\|y'-y\|}{2}}\leq 1-\delta _{1}+2\delta \leq 1-{\frac {\delta _{1}}{3}}\leq 1-\delta$ и утверждение доказано.

Теорема Милмана – Петтиса утверждает, что любое равномерно выпуклое банахово пространство является рефлексивным, в то время как обратное неверно.
Каждое равномерно выпуклое банахово пространство является пространством Радона-Рисса, то есть если ${fn} n = 1 ∞ {\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n = 1} ^ { \ infty}}$ $\ {f_n \} _ {n = 1} ^ {\ infty}$ - последовательность в равномерно выпуклом банаховом пространстве, которая слабо сходится к $f {\ displaystyle f}$ $f$ и удовлетворяет $‖ fn ‖ → ‖ f ‖, {\ displaystyle \ | f_ {n} \ | \ to \ | f \ |,}$ $\ | f_n \ | \ к \ | е \ |,$ , затем $fn {\ displaystyle f_ {n}}$ $f_ {n}$ сильно сходится к $f {\ displaystyle f}$ $f$ , то есть $‖ fn - f ‖ → 0 {\ displaystyle \ | f_ {n} -f \ | \ to 0}$ $\ | f_n - f \ | \ к 0$ .
A банаховое пространство $X {\ displaystyle X}$ $X$ является равномерно выпуклым тогда и только тогда, когда его двойственный элемент $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ *$ равен равномерно гладкое.
Любое равномерно выпуклое пространство строго выпукло. Интуитивно строгая выпуклость означает более сильное неравенство треугольника $‖ x + y ‖ < ‖ x ‖ + ‖ y ‖ {\displaystyle \|x+y\|<\|x\|+\|y\|}$ ${\ displaystyle \ | x + y \ | <\ | x \ | + \ | y \ |}$ всякий раз, когда $x, y {\ displaystyle x, y}$ $x, y$ линейно независимы, в то время как равномерная выпуклость требует, чтобы это неравенство выполнялось равномерно.

Примеры

Каждое гильбертово пространство равномерно выпукло.
Каждое замкнутое подпространство равномерно выпуклого банахова пространства равномерно выпукло.
Неравенства Ханнера подразумевают, что пробелы L $(1 < p < ∞) {\displaystyle (1$ $(1 <p <\ infty)$ равномерно выпуклые.
И наоборот, $L ∞ {\ displaystyle L ^ {\ infty}}$ $L ^ {\ infty}$ не является равномерно выпуклым.

См. также

Ссылки

Кларксон, JA (1936). «Равномерно выпуклые пространства». Trans. Amer. Math. Soc. American Mathematical Society. 40 (3): 396–414. doi : 10.2307 / 1989630. JSTOR 1989630..
Ханнер, О. (1956). «О равномерной выпуклости $L p {\ disp laystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ и $l p {\ displaystyle l ^ {p}}$ $l ^ p$ ". Арк. Мат. 3 : 239–244. doi : 10.1007 / BF02589410..
Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Введение в банаховы пространства и их геометрию (второе исправленное издание). Северная Голландия. ISBN 0-444-86416-4.
Пер Энфло (1972). «Банаховы пространства, которым можно задать эквивалентную равномерно выпуклую норму». Израильский математический журнал. 13 (3–4): 281–288. doi : 10.1007 / BF02762802.
Линденштраус, Джорам и Беньямини, Йоав. Публикации коллоквиума по геометрическому нелинейному функциональному анализу, 48. Американское математическое общество.