В математике, особенно в абстрактной алгебре, полугруппа с инволюция или * -полугруппа - это полугруппа, оснащенная инволютивным антиавтоморфизмом, который, грубо говоря, приносит она ближе к группе , потому что эта инволюция, рассматриваемая как унарный оператор, демонстрирует определенные фундаментальные свойства операции взятия обратного в группе: уникальность, двойное применение, "отменяющее себя", и тот же закон взаимодействия с бинарной операцией, что и в случае групповой обратной. Поэтому неудивительно, что любая группа является полугруппой с инволюцией. Однако есть важные естественные примеры полугрупп с инволюцией, не являющихся группами.
Пример из линейной алгебры - это мультипликативный моноид вещественных квадратных матриц порядок n (называемый полным линейным моноидом ). Карта map, которая отправляет матрицу в ее transpose, является инволюцией, потому что транспонирование хорошо определено для любой матрицы и подчиняется закону (AB) = BA, который имеет ту же форму взаимодействия с умножением, как взятие обратного, имеет в общую линейную группу (которая является подгруппой полного линейного моноида). Однако для произвольной матрицы AA не равно единичному элементу (а именно диагональной матрице ). Другой пример, взятый из теории формального языка, - это свободная полугруппа, сгенерированная непустым множеством (алфавитом ) со строкой конкатенация в качестве бинарной операции, а инволюция представляет собой карту, которая меняет линейный порядок букв в строке. Третий пример из базовой теории множеств - это набор всех бинарных отношений между набором и им самим, при этом инволюция является обратным отношением, а умножение, задаваемое обычной композицией отношений.
Полугруппы с инволюцией были явно названы в статье Виктора Вагнера 1953 года в результате его попытки связать теорию полугрупп с этой of полукучей.
Пусть S будет полугруппой с ее двоичной операцией, записанной мультипликативно. Инволюция в S - это унарная операция * на S (или преобразование *: S → S, x ↦ x *), удовлетворяющая следующим условиям:
Полугруппа S с инволюцией * называется полугруппой с инволюцией.
Полугруппы, удовлетворяющие только первой из этих аксиом, принадлежат к более широкому классу U-полугрупп.
В некоторых приложениях вторая из этих аксиом была названа антидистрибутивной. Что касается натурфилософии этой аксиомы, Х.С.М. Коксетер заметил, что «становится ясно, когда мы думаем о [x] и [y] как об операциях надевания наших носков и обуви, соответственно».
Элемент x полугруппы с инволюцией иногда называют эрмитовым (по аналогии с Эрмитова матрица ), когда она остается инвариантной инволюцией, то есть x * = x. Элементы формы xx * или x * x всегда эрмитовы, как и все степени эрмитовского элемента. Как отмечалось в разделе примеров, полугруппа S является обратной полугруппой тогда и только тогда, когда S является регулярной полугруппой и допускает инволюцию, такую что каждый идемпотент эрмитов.
Некоторые базовые концепции могут быть определены на * -полугруппах способом, который аналогичен понятиям, происходящим от регулярного элемента в полугруппе. Частичная изометрия - это такой элемент s, что ss * s = s; множество частичных изометрий полугруппы S обычно обозначается сокращенно PI (S). Проекция - это идемпотентный элемент e, который также эрмитов, что означает, что ee = e и e * = e. Каждая проекция является частичной изометрией, а для каждой частичной изометрии s, s * s и ss * являются проекциями. Если e и f являются проекциями, то e = ef тогда и только тогда, когда e = fe.
Частичные изометрии могут быть частично упорядочены по s ≤ t, определяемым как удержание всякий раз, когда s = ss * t и ss * = ss * tt *. Эквивалентно s ≤ t тогда и только тогда, когда s = et и e = ett * для некоторой проекции e. В * -полугруппе PI (S) является элементом с частичным продуктом, заданным s byt = st, если s * s = tt *.
В терминах примеров для этих понятий в * -полугруппе бинарных отношений на множестве частичные изометрии - это отношения, которые являются дифункциональными. Проекции в этой * -полугруппе являются отношениями частичной эквивалентности.
частичными изометриями в C * -алгебре в точности те, которые определены в этом разделе. В случае M n(C) можно сказать больше. Если E и F - проекции, то E ≤ F тогда и только тогда, когда im E ⊆ imF. Для любых двух проекций, если E ∩ F = V, то единственная проекция J с изображением V и ядром ортогональным дополнением к V является пересечением E и F. Поскольку проекции образуют пересечение- полурешетка, частичные изометрии на M n(C) образуют обратную полугруппу с произведением .
Другой простой пример этих понятий представлен в следующем разделе.
Есть два связанных, но не идентичных понятия регулярности в * -полугруппах. Они были введены почти одновременно Nordahl Scheiblich (1978) и, соответственно, Drazin (1979).
Как упоминалось в предыдущих примерах, инверсные полугруппы являются подклассом * -полугрупп. Также из учебника известно, что инверсную полугруппу можно охарактеризовать как регулярную полугруппу, в которой любые два идемпотента коммутируют. В 1963 г. Борис М. Шейн показал, что следующие две аксиомы обеспечивают аналогичную характеристику инверсных полугрупп как подмногообразия * -полугрупп:
Первый из них выглядит как определение обычного элемента, но на самом деле в терминах инволюции. Точно так же вторая аксиома, похоже, описывает коммутацию двух идемпотентов. Однако известно, что регулярные полугруппы не образуют разнообразия, потому что их класс не содержит свободных объектов (результат установлен в 1968 г.). Эта линия рассуждений побудила Нордаля и Шейблиха начать в 1977 г. изучение (разнообразия) * -полугрупп, удовлетворяющих только первым из этих двух аксиом; из-за сходства по форме со свойством, определяющим регулярные полугруппы, они назвали это разнообразие регулярными * -полугруппами.
Это простое вычисление, чтобы установить, что регулярная * -полугруппа также является регулярной полугруппой, потому что x * оказывается инверсией x. Прямоугольная лента из примера 7 является регулярной * -полугруппой, которая не является инверсной полугруппой. Также легко проверить, что в регулярной * -полугруппе произведение любых двух проекций является идемпотентом. В вышеупомянутом примере прямоугольной ленты проекции являются элементами формы (x, x) и [как и все элементы ленты] идемпотентны. Однако две разные проекции в этой полосе не обязательно коммутируют, и их произведение не обязательно является проекцией, поскольку (a, a) (b, b) = (a, b).
Полугруппы, удовлетворяющие только x ** = x = xx * x (но не обязательно антидистрибутивности * по умножению), также изучались под названием I-полугруппы.
Проблема определения того, когда регулярная полугруппа является регулярной * -полугруппой (в смысле Нордала и Шейблиха), была рассмотрена М. Ямада (1982). Он определил P-систему F (S) как подмножество идемпотентов S, обычно обозначаемых E (S). Используя обычное обозначение V (a) для обратных к a, F (S) должно удовлетворять следующим аксиомам:
Регулярная полугруппа S является * -регулярной полугруппой, как определено Нордалом и Шейблихом, тогда и только тогда, когда она имеет p-систему F (S). В этом случае F (S) - множество проекций S относительно операции °, определенной F (S). В обратной полугруппе вся полурешетка идемпотентов является p-системой. Кроме того, если регулярная полугруппа S имеет мультипликативно замкнутую p-систему (то есть подполугруппу), то S является обратной полугруппой. Таким образом, p-систему можно рассматривать как обобщение полурешетки идемпотентов обратной полугруппы.
Полугруппа S с инволюцией * называется * -регулярной полугруппой (в смысле Дразина), если для каждого x в S x * H-эквивалентен некоторому обратному к x, где H - отношение Грина H. Это определяющее свойство можно сформулировать несколькими эквивалентными способами. Другой - сказать, что каждый L-класс содержит проекцию. Аксиоматическое определение - это условие, что для каждого x в S существует элемент x ′ такой, что x′xx ′ = x ′, xx′x = x, (xx ′) * = xx ′, (x′x) * = х'х. Майкл П. Дразин первым доказал, что при заданном x элемент x ′, удовлетворяющий этим аксиомам, уникален. Он называется инверсией Мура – Пенроуза к x. Это согласуется с классическим определением обратного преобразования Мура – Пенроуза квадратной матрицы.
Одним из мотивов изучения этих полугрупп является то, что они позволяют обобщить свойства обратного преобразования Мура – Пенроуза из и в более общие наборы.
В мультипликативной полугруппе M n (C) квадратных матриц порядка n карта, которая присваивает матрице A ее эрмитово сопряженное A * - инволюция. Полугруппа M n (C) является * -регулярной полугруппой с этой инволюцией. Обращение Мура – Пенроуза к A в этой * -регулярной полугруппе является классическим обратным Мура – Пенроуза к A.
Как и все многообразия, категория полугрупп с инволюцией допускает свободных объектов. Построение свободной полугруппы (или моноида) с инволюцией основано на построении свободной полугруппы (и, соответственно, свободного моноида). Более того, конструкция свободной группы может быть легко получена путем уточнения конструкции свободного моноида с инволюцией.
образующие свободной полугруппы с инволюцией являются элементы объединения двух (равномного ) непересекающихся множеств в биективном соответствии : . (Здесь обозначение подчеркивает, что объединение на самом деле является непересекающимся объединением.) В случае, когда два набора конечны, их объединение Y иногда называют алфавитом с инволюцией или симметричным алфавитом. Пусть будет биекцией; естественно расширяется до взаимно однозначного соответствия по существу, взяв непересекающееся объединение (как набор) с его обратным, или в кусочно обозначение:
Теперь создайте как свободную полугруппу на обычным способом с бинарной (полугрупповой) операцией над , являющимся конкатенацией :
Биекция на затем расширяется как биекция , определяемая как обращение строки элементов , состоящих из более чем одной буквы:
Эта карта является инволюцией в полугруппе . Таким образом, полугруппа с картой - полугруппа с инволюцией, называемая свободной полугруппой с инволюцией на X. (Нерелевантность конкретного тождества и взаимного однозначности в этом выборе терминологии объясняется ниже в терминах универсального свойства Обратите внимание, что в отличие от примера 6, инволюция каждой буквы является отдельным элементом в алфавите с инволюцией, и, следовательно, то же самое наблюдение распространяется на свободную полугруппу с инволюцией.
Если в приведенной выше конструкции вместо мы используем свободный моноид , которая представляет собой свободную полугруппу, расширенную с помощью пустое слово (которое является элементом идентичности моноида ) и соответствующим образом расширить инволюцию с помощью , мы получаем свободный моноид с инволюцией .
Вышеупомянутая конструкция фактически является единственным способом расширить данную карту из до до инволюции на (и аналогично ). Квалификатор «бесплатно» для этих конструкций оправдан в обычном смысле, что они являются универсальными конструкциями. В случае свободной полугруппы с инволюцией, для произвольной полугруппы с инволюцией и карты , тогда гомоморфизм полугрупп существует такое, что , где - это карта включения, а композиция функций берется в порядке диаграммы. Конструкция как полугруппы с инволюцией уникальна с точностью до изоморфизм. Аналогичное рассуждение справедливо для свободного моноида с инволюцией в терминах гомоморфизмов моноидов и единственности с точностью до изоморфизма конструкции как моноид с инволюцией.
Построение свободной группы не очень далеко от конструкции свободного моноида с инволюцией. Дополнительный ингредиент, необходимый для определения понятия сокращенного слова и правила перезаписи для создания таких слов простым удалением любых смежных пар букв формы или . Можно показать, что порядок перезаписи (удаления) таких пар не имеет значения, т.е. любой порядок удаления дает тот же результат. (Иначе говоря, эти правила определяют конфлюэнтную переписывающую систему.) Эквивалентно свободная группа строится из свободного моноида с инволюцией, беря частное последнего на сравнение , которую иногда называют конгруэнцией Дика - в определенном смысле она обобщает язык Дика на несколько видов «скобок». Однако упрощение в конгруэнции Дика имеет место независимо от порядка. Например, если ")" является обратным к "(", то ; одностороннее сравнение который появляется в собственно языке Дейка , который соответствует только , (возможно, сбивает с толку) называется конгруэнцией Шамира . Частное от свободного моноид с инволюцией по конгруэнции Шамира является не группой, а моноидом; тем не менее, его первый первооткрыватель - Эли Шамир - назвал его свободной полугруппой, хотя в последнее время был назван инволютивным моноидом, порожденным X. (Этот последний выбор терминологии противоречит, однако, использованию «инволютивного» для обозначения любой полугруппы с инволюцией - практика, также встречающаяся в литературе). 121>Бэра * -полугруппы
Бэра * -полугруппа - это * -полугруппа с (двусторонним) нулем, в которой правая t аннулятор каждого элемента совпадает с правым идеалом некоторой проекции; это свойство формально выражается как: для всех x ∈ S существует проекция e такая, что
Проекция e на самом деле однозначно определяется x.
В последнее время Бэра * -полугруппы также назывались полугруппами Фулиса после Дэвид Джеймс Фоулис, который изучил их подробно.
Набор всех бинарных отношений в наборе (из примера 5) является Бэра * -полугруппа.
Бэра * -полугруппы также встречаются в квантовой механике, в частности, как мультипликативные полугруппы Бэровских * -колец.
Если H является Гильбертово пространство, то мультипликативная полугруппа всех ограниченных операторов на H является бэровской * -полугруппой. Инволюция в этом случае отображает оператор в его сопряженную.
-полугруппу Бэра *, допускающую из ортомодулярных решеток.