Войти
В математике общая линейная группа степени n представляет собой набор обратимых матриц размера n × n вместе с операцией обычного умножения матриц. Это формирует группу , поскольку произведение двух обратимых матриц снова обратимо, а обратная матрица обратимой матрицы обратима с единичной матрицей как единичным элементом группы. Группа названа так потому, что столбцы обратимой матрицы линейно независимы, следовательно, векторы / точки, которые они определяют, находятся в общем линейном положении, а матрицы в общей линейной группе принимают точки в общем линейном положении на точки в общем линейном положении.
Чтобы быть более точным, необходимо указать, какие объекты могут появляться в записях матрицы. Например, общая линейная группа над R (набор действительных чисел ) является группой n × n обратимых матриц действительных чисел и обозначается GL n(R) или GL (n, R ).
В более общем смысле, общая линейная группа степени n над любым полем F (например, комплексными числами ) или кольцом R (например, кольцо целых чисел ), представляет собой набор обратимых матриц размера n × n с элементами из F (или R), опять же с матричным умножением в качестве групповой операции. Типичное обозначение - GL n (F) или GL (n, F) или просто GL (n), если поле понятно.
В более общем смысле, общая линейная группа векторного пространства GL (V) является абстрактной группой автоморфизмов, не обязательно записанной в виде матриц.
Специальная линейная группа, записываемая как SL (n, F) или SL n (F), является подгруппой группы GL (n, F), состоящей из матриц с определителем , равным 1.
Группу GL (n, F) и ее подгруппы часто называют линейные группы или матричные группы (абстрактная группа GL (V) является линейной группой, но не матричной группой). Эти группы важны в теории представлений групп, а также возникают при изучении пространственных симметрий и симметрий векторных пространств в целом, а также изучение многочленов. Модульная группа может быть реализована как фактор специальной линейной группы SL (2, Z ).
Если n ≥ 2, то группа GL (n, F) не является абелевой.
Если V является векторным пространством над полем F, Общая линейная группа V, обозначаемая как GL (V) или Aut (V), - это группа всех автоморфизмов V, то есть множество всех биективных линейных преобразований V → V, вместе с функциональной композицией как групповой операцией. Если V имеет конечную размерность n, то GL (V) и GL (n, F) изоморфны. Изоморфизм неканоничен; это зависит от выбора базиса в V. Для заданного базиса (e 1,..., e n) V и автоморфизма T в GL (V), тогда для каждого базисного вектора e i имеем
для некоторых констант a ij в F; матрица, соответствующая T, тогда будет просто матрицей с элементами, заданными a ij.
. Аналогичным образом для коммутативного кольца R группа GL (n, R) может быть интерпретирована как группа автоморфизмов a свободный R-модуль M ранга n. Можно также определить GL (M) для любого R-модуля, но в общем случае он не изоморфен GL (n, R) (для любого n).
над полем F матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Следовательно, альтернативное определение GL (n, F) - это группа матриц с ненулевым определителем.
Над коммутативным кольцом R требуется больше внимания: матрица над R обратима тогда и только тогда, когда ее определитель является единицей в R, то есть если ее определитель обратим в R. Следовательно, GL (n, R) можно определить как группу матриц, определители которых являются единицами.
В некоммутативном кольце R детерминанты ведут себя не очень хорошо. В этом случае GL (n, R) может быть определен как группа элементов кольца матриц M (n, R).
Общая линейная группа GL (n, R ) над полем действительных чисел является реальной группой Ли размерности n. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что набор всех действительных матриц размера n × n, M n(R), образует вещественное векторное пространство размерности n. Подмножество GL (n, R ) состоит из тех матриц, у которых определитель не равен нулю. Детерминант представляет собой полиномиальное отображение , и, следовательно, GL (n, R ) является открытым аффинным подмногообразием в M n(R) (не -пустое открытое подмножество из M n(R) в топологии Зарисского ), и, следовательно, гладкое многообразие той же размерности.
алгебра Ли GL (n, R ), обозначаемая 
Как многообразие, GL (n, R ) не связан, а имеет два связанных компонента : матрицы с положительным определителем и с отрицательным определителем. Компонент идентичности, обозначенный GL (n, R ), состоит из вещественных матриц размера n × n с положительным определителем. Это также группа Ли размерности n; он имеет ту же алгебру Ли, что и GL (n, R ).
Группа GL (n, R ) также некомпактная. «» максимальная компактная подгруппа группы GL (n, R ) - это ортогональная группа O (n), в то время как «» максимальная компактная подгруппа GL ( n, R ) является специальной ортогональной группой SO (n). Что касается SO (n), группа GL (n, R ) не является односвязной (кроме случаев, когда n = 1), а скорее имеет фундаментальную группу изоморфен Z для n = 2 или Z2для n>2.
Общая линейная группа над полем комплексных чисел, GL (n, C ), является комплексной Группа Ли комплексной размерности n. Как реальная группа Ли (благодаря реализации) она имеет размерность 2n. Набор всех вещественных матриц образует вещественную подгруппу Ли. Они соответствуют включениям
, которые имеют реальные размеры n, 2n и 4n = (2n). Комплексные n-мерные матрицы можно охарактеризовать как реальные 2n-мерные матрицы, которые сохраняют линейная комплексная структура - конкретно, коммутирующие с такой матрицей J, что J = −I, где J соответствует умножению на мнимую единицу i.
Алгебра Ли, соответствующая GL (n, C ) состоит из всех комплексных матриц n × n с коммутатором , служащим скобкой Ли.
В отличие от реального случая, GL (n, C ) является связным. Это частично следует из того, что мультипликативная группа комплексных чисел C связна. Групповое многообразие GL (n, C ) не компактно; скорее его максимальная компактная подгруппа является унитарной группой U (n). Что касается U (n), то групповое многообразие GL (n, C ) не является односвязным, но имеет фундаментальную группу, изоморфную Z.
таблица Кэли GL (2, 2), который изоморфен S3.. Если F - это конечное поле с q элементами, то мы иногда пишем GL (n, q) вместо GL (n, F). Когда p простое число, GL (n, p) является группой внешних автоморфизмов группы Zp, а также группой автоморфизмов, потому что Zpабелева, поэтому Группа внутренних автоморфизмов тривиальна.
Порядок GL (n, q):
Это можно показать, посчитав возможные столбцы матрицы: первый столбец может быть любым, кроме нулевого вектора; второй столбец может быть любым, но не кратным первому столбцу; и в общем случае k-й столбец может быть любым вектором, не входящим в линейный диапазон первых k - 1 столбцов. В обозначении q-аналог это ![[n] _ {q}! (Q-1) ^ {n} q ^ {n \ select 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d410356b7a8dbdf1d9ddf6ced60f2a4d4a9d980e)
Например, GL (3, 2) имеет порядок (8 - 1) (8 - 2) (8 - 4) = 168. Это группа автоморфизмов плоскости Фано и группы Z2, также известная как PSL (2, 7).
В более общем смысле, можно подсчитывать точки грассманиана над F: другими словами, количество подпространств данной размерности k. Для этого требуется только найти порядок подгруппы стабилизатора одного такого подпространства и разделить его на только что приведенную формулу по теореме о стабилизаторе орбиты.
Эти формулы связаны с Шубертом. разложение грассманиана и являются q-аналогами чисел Бетти комплексных грассманианов. Это был один из ключей, ведущих к гипотезе Вейля..
Обратите внимание, что в пределе q ↦ 1 порядок GL (n, q) стремится к 0! - но при правильной процедуре (деление на (q - 1)) мы видим, что это порядок симметричной группы (см. Статью Лоршеида) - в философии поля с одним элементом, таким образом интерпретирует симметрическую группу как общую линейную группу над полем с одним элементом: S n ≅ GL (n, 1).
Общая линейная группа над простым полем, GL (ν, p), была построена, и ее порядок вычислен Эваристом Галуа в 1832 году в его последней работе. письмо (к шевалье) и вторая (из трех) приложенных рукописей, которые он использовал в контексте изучения группы Галуа общего уравнения порядка стр.
Специальная линейная группа SL (n, F) - это группа всех матриц с определителем 1. Они особенные в том, что они лежат на подмногообразии - они удовлетворяют полиномиальному уравнению (поскольку определитель является полиномом от элементов). Матрицы этого типа образуют группу, поскольку определитель произведения двух матриц является произведением определителей каждой матрицы. SL (n, F) - это нормальная подгруппа группы GL (n, F).
Если мы напишем F для мультипликативной группы группы F (исключая 0), то определитель будет гомоморфизмом группы
, который является сюръективным, а его ядро является специальной линейной группой. Следовательно, по первой теореме об изоморфизме, GL (n, F) / SL (n, F) изоморфен F. Фактически, GL (n, F) может быть записано как полупрямое произведение :
Специальная линейная группа также является производной группой (также известной как коммутаторная подгруппа) GL (n, F) (для поля или делительного кольца F) при условии, что 
Когда F равно R или C, SL (n, F) является подгруппой Ли GL (n, F) размерности n - 1. Алгебра Ли в SL (n, F) состоит из всех матриц размера n × n над F с исчезающим следом. Скобка Ли задается коммутатором .
. Специальную линейную группу SL (n, R ) можно охарактеризовать как группу объема и ориентации с сохранением линейных преобразований R.
Группа SL (n, C ) односвязна, а SL (n, R ) - нет. SL (n, R ) имеет ту же фундаментальную группу, что и GL (n, R ), то есть Z для n = 2 и Z2для п>2.
Набор всех обратимых диагональных матриц образует подгруппу в GL (n, F), изоморфную (F). В таких полях, как R и C, они соответствуют изменению масштаба пространства; так называемые расширения и сжатия.
A скалярная матрица представляет собой диагональную матрицу, которая является постоянной, умноженной на единичную матрицу. Множество всех ненулевых скалярных матриц образует подгруппу в GL (n, F), изоморфную F. Эта группа является центром GL (n, F). В частности, это нормальная абелева подгруппа.
Центр SL (n, F) - это просто набор всех скалярных матриц с единичным определителем и изоморфен группе n-х корней из единицы в поле F.
Так называемые классические группы - это подгруппы в GL (V), которые сохраняют некоторую билинейную форму на векторном пространстве V. К ним относятся
Эти группы являются важными примерами групп Ли.
Проективная линейная группа PGL (n, F) и проективная специальная линейная группа PSL (n, F) являются частными групп GL (n, F) и SL (n, F) их центрами (которые состоят из кратных содержащихся в них единичной матрицы); они являются индуцированным действием на ассоциированном проективном пространстве.
Аффинная группа Aff (n, F) является расширение группы GL (n, F) группой трансляций в F. Его можно записать как полупрямое произведение :
где GL (n, F) действует на F. естественным образом. Аффинную группу можно рассматривать как группу всех аффинных преобразований аффинного пространства, лежащего в основе векторного пространства F.
Аналогичные конструкции имеются для других подгрупп общая линейная группа: например, специальная аффинная группа - это подгруппа, определяемая полупрямым произведением SL (n, F) ⋉ F, а группа Пуанкаре - это аффинная группа, ассоциированная к группе Лоренца, O (1, 3, F) ⋉ F.
Общая полулинейная группа ΓL (n, F) - группа всех обратимых полулинейных преобразований и содержит GL. Полулинейное преобразование - это преобразование, которое является линейным «с точностью до поворота», что означает «с точностью до автоморфизма поля при скалярном умножении». Его можно записать в виде полупрямого произведения:
, где Gal (F) - группа Галуа группы F (над своим простым полем ), который действует на GL (n, F) действием Галуа над записями.
Основной интерес группы ΓL (n, F) состоит в том, что ассоциированная проективная полулинейная группа PΓL (n, F) (которая содержит PGL (n, F)) является группа коллинеаций проективного пространства, для n>2, и, таким образом, полулинейные отображения представляют интерес в проективной геометрии.
Если снять ограничение если определитель отличен от нуля, результирующая алгебраическая структура представляет собой моноид, обычно называемый полным линейным моноидом, но иногда также полной линейной полугруппой, общим линейным моноидом и т. д. a регулярная полугруппа.
Бесконечная общая линейная группа или стабильная общая линейная группа - это прямой предел включений GL (n, F) → GL (n + 1, F) в качестве верхней левой блочной матрицы. Он обозначается либо GL (F), либо GL (∞, F), а также может интерпретироваться как обратимые бесконечные матрицы, которые отличаются от единичной матрицы только в конечном числе мест.
Используется в алгебраическая K-теория для определения K1, и над вещественными числами имеет хорошо понятную топологию благодаря периодичности Ботта.
Ее не следует путать с пространством (ограниченных) обратимых операторов на Гильбертово пространство, которое является большей группой и топологически намного проще, а именно стягиваемым - см. теорему Койпера.
