Обратное отношение

редактировать

В математике, обратное отношение или транспонирование, бинарного отношения - это отношение, которое возникает при изменении порядка элементов в отношении. Например, отношение «дочерний элемент», обратное отношению «родительский элемент». Формально, если X и Y - множества и L ⊆ X × Y - отношение от X к Y, то L - отношение, определенное так, что y L x тогда и только тогда, когда x L y. В нотации конструктора множеств L = {(y, x) ∈ Y × X | (x, y) ∈ L}.

Обозначения аналогичны обозначениям для обратной функции. Хотя многие функции не имеют обратного, каждое отношение имеет уникальное обратное. Унарная операция , отображающая отношение в обратное отношение, является инволюцией, поэтому она индуцирует структуру полугруппы с инволюцией на бинарных отношениях на множестве, или, в более общем смысле, вызывает категорию кинжала в категории отношений как, подробно описанное ниже. Как унарная операция, взятие обратного (иногда называемого преобразованием или транспонированием ) коммутирует с операциями, связанными с порядком исчисления отношений, то есть коммутирует с объединением, пересечением и дополнением.

Обратное отношение также называется отношением или транспонированием - последнее ввиду его сходства с транспонированием матрицы. Его также называли противоположным или двойным исходного отношения, или обратным исходному отношению, или обратным L ° отношения L.

Другие обозначения для обратного отношения включают L, L, L, $L ˘ {\ displaystyle {\ breve {L}}}$ ${\ breve {L}}$ , L °, или L.

Содержание

1 Примеры
2 Свойства
3 Инверсии
- 3.1 Обратное отношение функции
4 См. также
5 Ссылки

Примеры

Для обычных (может быть, строгих или частичных) отношений порядка обратным является наивно ожидаемый «противоположный» порядок, например, $≤ T = ≥, < T =>. {\ displaystyle {\ leq ^ {\ mathsf {T}}} = {\ geq}, \ quad {<^{\mathsf {T}}}={>}.}$ ${\leq ^{\mathsf {T}}}={\geq },\quad {<^{\mathsf {T}}}={>}.$

Отношение может быть представлено в виде логической матрицы например

(1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1). {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 1 1 1 1 \\ 0 1 0 1 \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \ end {pmatrix}}.}

{\ begin {pmatrix} 1 1 1 1 \\ 0 1 0 1 \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \ end {pmatrix}}.

Тогда обратное отношение представлено его транспонированной матрицей :

(1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1). {\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 0 0 0 \\ 1 1 0 0 \\ 1 0 1 0 \\ 1 1 0 1 \ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 0 0 0 \\ 1 1 0 0 \\ 1 0 1 0 \\ 1 1 0 1 \ end {pmatrix}}.}

Обратные отношения родства называются: "A является дочерним элементом B" имеет обратное "B является родительским элементом A "." A является племянником или племянницей из B "имеет обратное выражение" B является дядей или тетей из A ". Отношение" A является родственник из B "является его собственным обратным, поскольку это симметричное отношение.

В теории множеств предполагается универсум U дискурса, а фу Основное отношение принадлежности к множеству x ∈ A, когда A является подмножеством U. мощный набор всех подмножеств U является областью обратного $∋ = ∈ T. {\ displaystyle {\ ni} = {\ in ^ {\ mathsf {T}}}.}$ ${\ displaystyle {\ ni} = {\ in ^ {\ mathsf {T}}}.}$

Свойства

В моноиде двоичных эндореляций на множестве (с бинарной операцией на отношениях, являющейся композицией отношений ), обратное отношение не удовлетворяет определению обратного из теории групп, т. е. если L - произвольное отношение на X, тогда $L ∘ LT {\ displaystyle L \ circ L ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ displaystyle L \ circ L ^ {\ mathsf {T}}}$ не равно тождественному отношению на X в целом. Обратное отношение удовлетворяет (более слабым) аксиомам полугруппы с инволюцией : $(LT) T = L {\ displaystyle \ left (L ^ {\ mathsf {T}} \ right) ^ {\ mathsf {T}} = L}$ ${\ displaystyle \ left (L ^ {\ mathsf {T}} \ right) ^ {\ mathsf {T}} = L}$ и $(L ∘ R) T = RT ∘ LT {\ displaystyle \ left (L \ circ R \ right) ^ {\ mathsf {T} } = R ^ {\ mathsf {T}} \ circ L ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ displaystyle \ left (L \ circ R \ right) ^ {\ mathsf {T}} = R ^ {\ mathsf {T }} \ circ L ^ {\ mathsf {T}}}$ .

Так как обычно можно рассматривать отношения между различными наборами (которые образуют категорию, а не моноид, а именно категория отношений Rel ), в этом контексте обратное отношение соответствует аксиомам категории кинжала (также известной как категория с инволюцией). Отношение, равное его обратному, является симметричным отношением ; на языке категорий кинжала это самосопряженный.

Кроме того, полугруппа эндореляций на множестве также является частично упорядоченной структурой (с включением отношений как множеств) и фактически инволютивным квантом. Аналогично, категория разнородных отношений, Rel также является упорядоченной категорией.

В исчислении отношений преобразование (унарная операция перехода к обратному отношению) коммутирует с другими бинарными операциями объединения и пересечения. Преобразование также коммутируется с унарной операцией дополнения, а также с взятием suprema и infima. Преобразование также совместимо с упорядочением отношений по включению.

Если отношение рефлексивное, иррефлексивное, симметричное, антисимметричное, асимметричный, транзитивный, всего, трихотомический, частичный порядок, всего порядок, строгий слабый порядок, общий предварительный порядок (слабый порядок) или отношение эквивалентности, его обратное тоже.

Инверсия

Если I представляет отношение идентичности, то отношение R может иметь обратное следующим образом:

Отношение R называется правообратимым, если существует существует отношение X с

R ∘ X = I {\ displaystyle R \ circ X = I}

{\ displaystyle R \ circ X = I}

, и обратимое слева, если существует Y с

Y ∘ R = I {\ стиль отображения Y \ circ R = I}

{\ displaystyle Y \ circ R = I}

. Тогда X и Y называются правым и левым обратными R соответственно. Обратимые вправо и влево отношения называются обратимыми . Для обратимых однородных отношений все обратные справа и слева совпадают; используется понятие инверсия R. Тогда R = R.

Обратное отношение функции

A function является обратимым тогда и только тогда, когда его обратное отношение является функцией, и в этом случае обратное отношение является обратной функцией.

Обратное отношение функции $f: X → Y {\ displaystyle f: X \ to Y}$ $е: от X \ до Y$ - это отношение $f - 1: Y → X { \ displaystyle f ^ {- 1}: от Y \ до X}$ $f ^ {{- 1}}: Y \ to X$ определяется $графиком f - 1 = {(y, x) ∣ y = f (x)} {\ displaystyle \ operatorname { graph} \, f ^ {- 1} = \ left \ {(y, x) \ mid y = f (x) \ right \}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {graph} \, f ^ {- 1} = \ left \ {(y, x) \ mid y = f (x) \ right \}}$ .

Это не обязательно функция: одно необходимое условие - чтобы f была injective, поскольку else $f - 1 {\ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ является многозначным. Этого условия достаточно, если $f - 1 {\ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ является частичной функцией, и ясно, что $f - 1 { \ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ then является (итоговой) функцией тогда и только тогда, когда f является сюръективным. В этом случае, т.е. если f равно bijective, $f - 1 {\ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ может называться обратной функцией. из ф.

Например, функция $f (x) = 2 x + 2 {\ displaystyle f (x) = 2x + 2}$ ${\ displaystyle f (x) = 2x + 2}$ имеет обратную функцию $f - 1 (x) = x 2 - 1 {\ displaystyle f ^ {- 1} (x) = {\ frac {x} {2}} - 1}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (x) = {\ гидроразрыва {х} {2}} - 1}$ .

Однако функция $g (x) = x 2 {\ displaystyle g (x) = x ^ {2}}$ $g (х) = х ^ 2$ имеет обратную связь $g - 1 (x) = ± x 1 2 {\ displaystyle g ^ {- 1} ( x) = \ pm x ^ {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle g ^ {- 1} (x) = \ pm x ^ {\ frac {1} {2}}}$ , которая не является функцией, будучи многозначной.

См. Также

Ссылки

Халмос, Пол Р. (1974), Наивная теория множеств, стр. 40, ISBN 978-0-387-90092-6