Текущий (математика)

редактировать

В математике, в частности в функциональном анализе, дифференциальном топологии и теории геометрической меры, k-ток в смысле Жоржа де Рама является функционалом на пространство компактно поддерживаемых дифференциальных k-форм на гладком многообразии M. Формально токи ведут себя как распределения Шварца в пространстве дифференциальных форм, но в геометрической настройке они могут представлять интегрирование по подмногообразию, обобщая дельта-функцию Дирака или, в более общем смысле, даже производные по направлениям дельта-функций (мультиполей ), распределенные по подмножествам M.

Содержание

1 Определение
2 Гомологическая теория
3 Топология и нормы
4 Примеры
5 См. Также
6 Ссылки

Определение

Пусть $Ом см (M) {\ displaystyle \ Omega _ {c} ^ {m} (M)}$ $\ Omega _ {c} ^ {m} (M)$ обозначает пространство гладких форм m- с компактной опорой на гладком коллекторе $M {\ displaystyle M}$ $M$ . Ток - это линейный функционал на $Ом см (M) {\ displaystyle \ Omega _ {c} ^ {m} (M)}$ $\ Omega _ {c} ^ {m} (M)$ , который является непрерывным в том смысле, что из распределений. Таким образом, линейный функционал

T: Ω cm (M) → R {\ displaystyle T \ Colon \ Omega _ {c} ^ {m} (M) \ to \ mathbb {R}}

T \ двоеточие \ Omega _ {c} ^ {m} (M) \ to {\ mathbb {R}}

является m- размерный ток, если он непрерывный в следующем смысле: Если последовательность $ω k {\ displaystyle \ omega _ {k}}$ $\ omega _ {k}$ гладких форм, все поддерживаются в одном компактный набор, таков, что все производные всех их коэффициентов единообразно стремятся к 0, когда $k {\ displaystyle k}$ $k$ стремится к бесконечности, тогда $T (ω k) {\ displaystyle T ( \ omega _ {k})}$ $T (\ omega _ {k})$ стремится к 0.

Пространство $D m (M) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {m} (M)}$ ${\ mathcal D} _ {m} (M)$ m-мерных токов на $M {\ displaystyle M}$ $M$ - это реальное векторное пространство с операциями, определенными

(T + S) (ω): = T (ω) + S (ω), (λ T) (ω): = λ T (ω). {\ displaystyle (T + S) (\ omega): = T (\ omega) + S (\ omega), \ qquad (\ lambda T) (\ omega): = \ lambda T (\ omega).}

(T + S) (\ omega) : = T (\ omega) + S (\ omega), \ qquad (\ lambda T) (\ omega): = \ lambda T (\ omega).

Большая часть теории распределений переносится на токи с минимальными корректировками. Например, можно определить поддержку текущего $T ∈ D m (M) {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} _ {m} (M)}$ $T \ in {\ mathcal {D}} _ {m} (M)$ как дополнение наибольшего открытого множества $U ⊂ M {\ displaystyle U \ subset M}$ $U \ subset M$ , такого что

T (ω) = 0 { \ displaystyle T (\ omega) = 0}

T (\ omega) = 0

всякий раз, когда

ω ∈ Ω см (U) {\ displaystyle \ omega \ in \ Omega _ {c} ^ {m} (U)}

\ omega \ in \ Omega _ {c} ^ {m} (U)

линейное подпространство в $D m (M) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {m} (M)}$ ${\ mathcal D} _ {m} (M)$ , состоящее из токов с поддержкой (в в приведенном выше смысле), который представляет собой компактное подмножество $M {\ displaystyle M}$ $M$ , обозначается $E m (M) {\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {m} ( M)}$ ${\ mathcal E} _ {m} (M)$ .

Гомологическая теория

Интегрирование над компактным спрямляемым ориентированным подмногообразием M (с границей ) размерности m определяет m -ток, обозначаемый $[[M]] {\ displaystyle [[M]]}$ $[[M]]$ :

[[M]] (ω) = ∫ M ω. {\ displaystyle [[M]] (\ omega) = \ int _ {M} \ omega. \,}

[[M] ] (\ omega) = \ int _ {M} \ omega. \,

Если граница ∂M M является выпрямляемой, то она тоже определяет ток путем интегрирования и в силу теоремы Стокса имеем:

[[∂ M]] (ω) = ∫ ∂ M ω = ∫ M d ω = [[M]] (d ω). {\ displaystyle [[\ partial M]] (\ omega) = \ int _ {\ partial M} \ omega = \ int _ {M} d \ omega = [[M]] (d \ omega).}

[[\ partial M]] (\ omega) = \ int _ {{\ partial M}} \ omega = \ int _ {M} d \ omega = [[M]] (d \ omega).

Это связывает внешнюю производную d с граничным оператором ∂ на гомологии M.

С учетом этой формулы мы можем определить a граничный оператор для произвольных токов

∂: D m + 1 → D m {\ displaystyle \ partial \ двоеточие {\ mathcal {D}} _ {m + 1} \ to {\ mathcal { D}} _ {m}}

\ partial \ двоеточие {\ mathcal D} _ {{m + 1}} \ to {\ mathcal D} _ { m}

через двойственность с внешней производной на

(∂ T) (ω): = T (d ω) {\ displaystyle (\ partial T) (\ omega): = T (d \ omega) \,}

(\ partial T) (\ omega): = T (d \ omega) \,

для всех m-форм ω с компактным носителем.

Определенные подклассы токов, которые закрыты $∂ {\ displaystyle \ partial}$ $\ partial$ , могут использоваться вместо всех токов для создания теории гомологии, которая может удовлетворять Аксиомы Эйленберга – Стинрода в некоторых случаях. Классический пример - подкласс интегральных токов на ретрактах липшицевых окрестностей.

Топология и нормы

Пространство токов естественно наделено слабой * топологией, которую в дальнейшем мы будем просто называть слабой сходимостью. последовательность Tkтоков, сходится к току T, если

T k (ω) → T (ω), ∀ ω. {\ displaystyle T_ {k} (\ omega) \ to T (\ omega), \ qquad \ forall \ omega. \,}

T_ {k} (\ omega) \ to T (\ omega), \ qquad \ forall \ omega. \,

Можно определить несколько норм на подпространствах пространства всех токов. Одна из таких норм - это норма массы. Если ω является m-формой, то определите ее comass как

‖ ω ‖: = sup {| ⟨Ω, ξ⟩ | : ξ - единичный простой m -вектор}. {\ displaystyle \ | \ omega \ |: = \ sup \ {| \ langle \ omega, \ xi \ rangle | \ двоеточие \ xi {\ t_dv {это единица, простая,}} m {\ t_dv {-vector} } \}.}

\ | \ omega \ |: = \ sup \ {| \ langle \ omega, \ xi \ rangle | \ двоеточие \ xi {\ t_dv { является единицей, простой,}} m {\ t_dv {-vector}} \}.

Итак, если ω является простой m-формой, то его массовая норма является обычной L-нормой его коэффициента. масса тока T тогда определяется как

M (T): = sup {T (ω): sup x | | ω (x) | | ≤ 1}. {\ Displaystyle \ mathbf {M} (T): = \ sup \ {T (\ omega) \ двоеточие \ sup _ {x} | \ vert \ omega (x) | \ vert \ leq 1 \}.}

{\ mathbf M} (T): = \ sup \ {T (\ omega) \ двоеточие \ sup _ {x} | \ верт \ omega (x) | \ vert \ leq 1 \}.

Масса тока представляет собой взвешенную площадь обобщенной поверхности. Ток такой, что M (T) < ∞ is representable by integration of a regular Borel measure by a version of the Теорема представления Рисса. Это начальная точка гомологического интегрирования.

Промежуточная норма - это плоская норма Уитни, определяемая как

F (T): = inf {M (T - ∂ A) + M (A): A ∈ E m + 1}. {\ Displaystyle \ mathbf {F} (T): = \ Inf \ {\ mathbf {M} (T- \ partial A) + \ mathbf {M} (A) \ двоеточие A \ in {\ mathcal {E}} _ {m + 1} \}.}

{\ mathbf F} (T): = \ inf \ {{\ mathbf M} (T- \ partial A) + {\ mathbf M} (A) \ двоеточие A \ in {\ math cal E} _ {{m + 1}} \}.

Два тока близки по норме массы, если они совпадают вдали от малой части. С другой стороны, они близки в плоской норме, если совпадают с точностью до небольшой деформации.

Примеры

Напомним, что

Ω c 0 (R n) ≡ C c ∞ (R n) {\ displaystyle \ Omega _ {c} ^ {0} (\ mathbb { R} ^ {n}) \ Equiv C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}) \,}

\ Omega _ {c} ^ {0} ({ \ mathbb {R}} ^ {n}) \ Equiv C_ {c} ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ^ {n}) \,

, так что следующее определяет нулевой ток:

T ( е) = е (0). {\ displaystyle T (f) = f (0). \,}

T(f)=f(0).\,

В частности, каждый signed регулярный показатель $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ является нулевым током:

T (f) = ∫ f (x) d μ (x). {\ displaystyle T (f) = \ int f (x) \, d \ mu (x).}

T (f) = \ int f (x) \, d \ mu (x).

Пусть (x, y, z) будут координатами в ℝ. Тогда следующее определяет 2-ток (один из многих):

T (a d x ∧ d y + b d y ∧ d z + c d x ∧ d z) = ∫ 0 1 ∫ 0 1 b (x, y, 0) d x d y. {\ Displaystyle T (a \, dx \ wedge dy + b \, dy \ wedge dz + c \, dx \ wedge dz) = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} b (x, y, 0) \, dx \, dy.}

T (a \, dx \ wedge dy + b \, dy \ wedge dz + c \, dx \ wedge dz) = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0 } ^ {1} b (x, y, 0) \, dx \, dy.

См. также

Ссылки

де Рам, G. (1973), Variétés Différentiables, Actualites Scientifiques et Industrielles (на французском), 1222 (3-е изд.), Paris: Hermann, pp. X + 198, Zbl 0284.58001.
Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 153, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xiv + 676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325, Zbl 0176.00801.
Whitney, H. (1957), Geometric Integration Theory, Princeton Mathematical Series, 21, Princeton, NJ and London: Princeton University Press и Oxford University Press, стр. XV + 387, MR 0087148, Zbl 0083.28204.
Lin, Fanghua; Ян, Сяопин (2003), Геометрическая теория меры: введение, высшая математика (Пекин / Бостон), 1, Пекин / Бостон: Science Press / International Press, стр. X + 237, ISBN 978-1-57146-125-4, MR 2030862, Zbl 1074.49011

В этой статье использованы материалы из Current по PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.