Систолическая геометрия

Для более доступного и менее технического введения в эту тему см. Введение в систолическую геометрию. Геодезический на футбол, иллюстрирующим доказательство Громова заполнение области гипотезы в гиперэллиптическом случае (см пояснения ниже).

В математике, систолическая геометрия является изучением систолических инвариантов из многообразий и многогранников, как это первоначально задуманные Чарльзы Левнером и разработанный Михаил Громов, Майкл Фридманом, Питер Sarnak, Михаил Кац, Ларри Гуса и другие, в его арифметическом, эргодическом и топологические проявления. См. Также « Введение в систолическую геометрию» в более медленном темпе.

• 1 Понятие систолы
• 2 Свойство центрально-симметричного многогранника в трехмерном пространстве
• 3 концепции
• 4 Систолическое неравенство Громова
• 5 устойчивое неравенство Громова
• 6 Нижние оценки для 2-систол
• 7 проблема Шоттки
• 8 Категория Люстерника – Шнирельмана
• 9 Систолическая гиперболическая геометрия
• 10 Связь с отображениями Абеля – Якоби
• 11 Связанные поля, объемная энтропия
• 12 Гипотеза о площади заполнения
• 13 Обзоров
• 14 См. Также
• 15 заметок
• 16 Ссылки
• 17 Внешние ссылки

Кратчайшая петля на торе

Систолы из компактного метрического пространства X является метрическим инвариантом X, определяется как минимум длиной неуплотняемой петли в X (то есть цикл, который не может быть заключен в точку в окружающем пространстве X). В более техническом языке, мы уменьшаем длину свыше свободных петель, представляющих нетривиальные классы сопряженности в фундаментальной группе из X. Когда X представляет собой график, инвариант обычно называют обхвате, с тех пор, в 1947 году статьи о обхват по WT Татта. Возможно, вдохновленный статьей Тутте, Лёвнер начал думать о систолических вопросах на поверхностях в конце 1940-х годов, в результате чего в 1950 году его ученик Пао Мин Пу написал диссертацию. Сам термин «систола» был введен четвертью века спустя Марселем Бергером.

Это направление исследований, по-видимому, получило дополнительный импульс благодаря замечанию Рене Тома в разговоре с Бергером в библиотеке Страсбургского университета в 1961/62 учебном году, вскоре после публикации статей Р. Акколы и К. Блаттер. Говоря об этом систолическом неравенстве, Том воскликнул: Mais c'est fondamental! [Эти результаты имеют фундаментальное значение!]

Впоследствии Бергер популяризировал эту тему в серии статей и книг, последняя из которых вышла в марте 2008 г. в «Уведомлениях Американского математического общества» (см. Ссылку ниже). Библиография на веб-сайте по систолической геометрии и топологии в настоящее время содержит более 160 статей. Систолическая геометрия - быстро развивающаяся область, в которой недавно был опубликован ряд публикаций в ведущих журналах. Недавно (см. Статью Каца и Рудяка 2006 г. ниже) связь с категорией Люстерника – Шнирельмана появилась. Существование такой связи можно рассматривать как теорему систолической топологии.

Каждая выпуклое центрально - симметричное полиэдр Р в Р ³ допускает пары противоположных (антиподальный) точек и пути длина L, соединяющие их и лежащих на границе ∂ P из P, удовлетворяющий

${\ displaystyle L ^ {2} \ leq {\ frac {\ pi} {4}} \ mathrm {area} (\ partial P).}$

Альтернативная формулировка следующая. Любое центрально-симметричное выпуклое тело с площадью поверхности A можно протянуть через петлю длины, причем наиболее плотное прилегание достигается сферой. Это свойство эквивалентно частному случаю неравенства Пу (см. Ниже), одного из самых ранних систолических неравенств. ${\ displaystyle {\ sqrt {\ pi A}}}$

Чтобы дать предварительное представление о характере поля, можно сделать следующие наблюдения. Цитируемое выше замечание Тома Бергеру, по-видимому, сводится к следующему. Всякий раз, когда встречается неравенство, связывающее геометрические инварианты, такое явление само по себе интересно; тем более, когда неравенство является точным (т. е. оптимальным). Классическое изопериметрическое неравенство - хороший пример.

Тор

В систолических вопросах о поверхностях интегрально-геометрические тождества играют особенно важную роль. Грубо говоря, существует целостная идентичность, относящаяся к области, с одной стороны, и среднее значение энергий подходящего семейства петель, с другой. Согласно неравенству Коши – Шварца, энергия является верхней границей квадрата длины; отсюда получается неравенство между площадью и площадью систолы. Такой подход работает как для неравенства Лёвнера

${\ displaystyle \ mathrm {sys} ^ {2} \ leq {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ cdot \ mathrm {область}}$

для тора, где случай равенства достигается плоским тором, преобразования деки которого образуют решетку целых чисел Эйзенштейна,

Анимация римской поверхности, представляющей P ² ( R) в R ³

и для неравенства Пу для вещественной проективной плоскости P ² ( R):

${\ displaystyle \ mathrm {sys} ^ {2} \ leq {\ frac {\ pi} {2}} \ cdot \ mathrm {область}}$,

с равенством, характеризующим метрику постоянной гауссовой кривизны.

Применение вычислительной формулы для дисперсии фактически дает следующую версию неравенства тора Лёвнера с изосистолическим дефектом:

${\ displaystyle \ mathrm {area} - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ mathrm {sys} ^ {2} \ geq \ mathrm {var} (f),}$

где f - конформный фактор метрики относительно плоской метрики единичной площади в ее конформном классе. Это неравенство можно рассматривать как аналог неравенства Боннезена с изопериметрическим дефектом, усиление изопериметрического неравенства.

Недавно был обнаружен ряд новых неравенств этого типа, в том числе нижние оценки универсального объема. Больше деталей появляется на систолах поверхностей.

Наиболее глубоким результатом в этой области является неравенство Громова для гомотопической 1-систолы существенного n -многообразия M:

${\ displaystyle \ operatorname {sys \ pi} _ {1} {} ^ {n} \ leq C_ {n} \ operatorname {vol} (M),}$

где С п является универсальной константой только в зависимости от размерности М. Здесь гомотопические систолы sysπ 1, по определению, по меньшей мере длиной неуплотняемой петли в M. Многообразие называется существенным, если его фундаментальный класс [M] представляет собой нетривиальный класс в гомологиях своей фундаментальной группы. В доказательстве используется новый инвариант, названный радиусом заполнения, введенный Громовым и определяемый следующим образом.

Обозначим через A кольцо коэффициентов Z или Z 2, в зависимости от того, ориентируемо ли M или нет. Тогда фундаментальный класс, обозначаемый [M], компактного n -мерного многообразия M является образующим. Для вложения M в евклидово пространство E положим ${\ Displaystyle Н_ {п} (М; А) = А}$

${\ displaystyle \ mathrm {FillRad} (M \ subset E) = \ inf \ left \ {\ epsilongt; 0 \ left | \; \ iota _ {\ epsilon} ([M]) = 0 \ in H_ {n} (U _ {\ epsilon} M) \ right. \ Right \},}$

где р о у д amp; epsi ; является включение гомоморфизм, индуцированный включением М в ее е-окрестности U amp; epsi ; M в E.

Чтобы определить абсолютный радиус заполнения в ситуации, когда M снабжено римановой метрикой g, Громов поступает следующим образом. Один использует вложение, принадлежащее К. Куратовски. Вкладывают M в банахово пространство L ^∞ ( M) ограниченных борелевских функций на M, снабженное sup нормой. А именно, мы отображаем точку x ∈ M в функцию f x ∈ L ^∞ ( M), определенную формулой f x (y) = d (x, y) для всех y ∈ M, где d - функция расстояния, определяемая формулой метрика. По неравенству треугольника мы имеем, и поэтому вложение сильно изометрично в том смысле, что внутреннее расстояние и внешнее расстояние совпадают. Такое сильно изометрическое вложение невозможно, если объемлющее пространство является гильбертовым пространством, даже если M - риманова окружность (расстояние между противоположными точками должно быть π, а не 2!). Затем положим E = L ^∞ ( M) в приведенной выше формуле и определим ${\ Displaystyle \ | \; \ |}$${\ displaystyle d (x, y) = \ | f_ {x} -f_ {y} \ |,}$

${\ displaystyle \ mathrm {FillRad} (M) = \ mathrm {FillRad} \ left (M \ subset L ^ {\ infty} (M) \ right).}$

А именно, Громов доказал точное неравенство, связывающее систолу и радиус заполнения:

${\ displaystyle \ mathrm {sys \ pi} _ {1} \ leq 6 \; \ mathrm {FillRad} (M),}$

справедливо для всех существенных многообразий M ; а также неравенство

${\ displaystyle \ mathrm {FillRad} \ leq C_ {n} \ mathrm {vol} _ {n} {} ^ {1 / n} (M),}$

справедливо для всех замкнутых многообразий M.

Краткое изложение доказательства, основанного на недавних результатах в геометрической теории меры С. Венгера, основанном на более ранней работе Л. Амброзио и Б. Кирххейма, приводится в разделе 12.2 книги «Систолическая геометрия и топология», на которую ссылаются ниже. Совершенно иной подход к доказательству неравенства Громова недавно предложил Ларри Гут.

Следует иметь в виду существенное различие между 1-систолическими инвариантами (определяемыми в терминах длины петель) и более высокими, k -систолическими инвариантами (определенными в терминах площадей циклов и т. Д.). Хотя к настоящему времени получен ряд оптимальных систолических неравенств с участием 1-систол, практически единственное оптимальное неравенство с чисто высшими k -систолами - это оптимальное устойчивое 2-систолическое неравенство Громова.

${\ displaystyle \ mathrm {stsys} _ {2} {} ^ {n} \ leq n! \; \ mathrm {vol} _ {2n} (\ mathbb {CP} ^ {n})}$

для комплексного проективного пространства, где оптимальная оценка достигается с помощью симметричной метрики Фубини – Штуди, что указывает на связь с квантовой механикой. Здесь стабильная 2-систола риманова многообразия M определяется положением

${\ displaystyle \ mathrm {stsys} _ {2} = \ lambda _ {1} \ left (H_ {2} (M, \ mathbb {Z}) _ {\ mathbb {R}}, \ | \; \ | \Правильно),}$

где - устойчивая норма, а λ 1 - наименьшая норма ненулевого элемента решетки. Насколько исключительным является устойчивое неравенство Громова, стало ясно только недавно. А именно, было обнаружено, что, вопреки ожиданиям, симметричная метрика на кватернионной проективной плоскости не является ее систолически оптимальной метрикой, в отличие от 2-систолы в сложном случае. В то время как кватернионная проективная плоскость с ее симметричной метрикой имеет стабильное систолическое отношение средней размерности 10/3, аналогичное соотношение для симметричной метрики комплексного проективного 4-пространства дает значение 6, в то время как наилучшая доступная верхняя граница для такого отношение произвольной метрики на обоих этих пространствах равно 14. Эта оценка сверху связана со свойствами алгебры Ли E7. Если существует 8-многообразие с исключительной голономией Spin (7) и 4-м числом Бетти 1, то значение 14 фактически является оптимальным. Многообразия с голономией Spin (7) интенсивно изучал Доминик Джойс. ${\ Displaystyle \ | \; \ |}$

Точно так же почти единственная нетривиальная нижняя оценка k -систолии с k = 2 является результатом недавних работ по калибровочной теории и J-голоморфным кривым. Изучение нижних оценок конформной 2-систолы 4-многообразий привело к упрощенному доказательству плотности изображения отображения периодов Джейком Соломоном.

Возможно, одна из наиболее ярких применений систолы в контексте проблемы Шоттки, П. Buser и П. Sarnak, который отличал якобианы из римановых поверхностей среди главно поляризованных абелевых многообразий, закладывает основу для систолического арифметики.

Задавая систолические вопросы, вы часто задаете вопросы в смежных областях. Таким образом, понятие систолической категории многообразия было определено и исследовано, демонстрируя связь с категорией Люстерника – Шнирельмана (LS-категорией). Обратите внимание, что систолическая категория (а также категория LS) по определению является целым числом. Было показано, что эти две категории совпадают как для поверхностей, так и для 3-многообразий. Более того, для ориентируемых 4-многообразий систолическая категория является нижней границей LS-категории. Как только связь установлена, влияние становится взаимным: известные результаты о категории LS стимулируют систолические вопросы, и наоборот.

Новый инвариант был введен Кацем и Рудяком (см. Ниже). Поскольку инвариант оказывается тесно связанным с категорией Люстерника-Шнирельмана (категория LS), он был назван систолической категорией.

Систолическая категория многообразия М определяются в терминах различных K -systoles из M. Грубо говоря, идея заключается в следующем. Для данного многообразия M ищется самое длинное произведение систол, которые дают нижнюю оценку «без кривизны» для общего объема M (с константой, не зависящей от метрики). Естественно, включают систолические инварианты обложек М в определении, а также. Число факторов в таком «длинном продукте», по определению, систолическая категория М.

Например, Громов показал, что существенное n -многообразие допускает нижнюю границу объема в терминах n-й степени гомотопической 1-систолы (см. Раздел выше). Отсюда следует, что систолическая категория существенного n -многообразия - это в точности n. Фактически, для замкнутых n -многообразий максимальное значение как категории LS, так и систолической категории достигается одновременно.

Еще один намек на существование интригующей связи между двумя категориями - это отношение к инварианту, называемому длиной куба. Таким образом, реальная длина куба оказывается нижней границей для обеих категорий.

Систолическая категория совпадает с категорией LS в ряде случаев, включая случай многообразий размерностей 2 и 3. В размерности 4 недавно было показано, что систолическая категория является нижней границей для категории LS.

Изучение асимптотического поведения систолы гиперболических поверхностей для большого рода g обнаруживает некоторые интересные константы. Таким образом, для поверхностей Гурвица Σ g, определенных башней главных конгруэнтных подгрупп гиперболической треугольной группы (2, 3, 7), выполняется оценка

${\ displaystyle \ mathrm {sys} \ pi _ {1} (\ Sigma _ {g}) \ geq {\ frac {4} {3}} \ log g,}$

и аналогичная оценка верна для более общих арифметических фуксовых групп. Этот результат 2007 года, сделанный Кацем, Шапсом и Вишне, обобщает результаты Питера Сарнака и Питера Бузера в случае арифметических групп, определенных над Q, из их основополагающей статьи 1994 года (см. Ниже).

Библиография по систолам в гиперболической геометрии в настоящее время насчитывает сорок статей. Интересные примеры дают поверхность Больца, квартика Клейна, поверхность Макбита, Первая тройка Гурвица.

Семейство оптимальных систолических неравенств получается как применение методов Бураго и Иванова с использованием подходящих отображений Абеля – Якоби, определенных следующим образом.

Пусть M - многообразие, π = π 1 ( M), его фундаментальная группа, а f: π → π ^ab - его отображение абелианизации. Пусть tor - подгруппа кручения группы π ^ab. Пусть g: π ^ab → π ^ab / tor - фактор по кручению. Ясно, что π ^ab / tor = Z ^b, где b = b 1 ( M). Пусть φ: π → Z ^b - составной гомоморфизм.

Определение: Покрытие многообразия M, соответствующее подгруппе Ker (φ) ⊂ π, называется универсальным (или максимальным) свободным абелевым покрытием.${\ displaystyle {\ bar {M}}}$

Теперь предположим, что M имеет риманову метрику. Пусть E - пространство гармонических 1-форм на M, сопряженное с E *, канонически отождествляемым с H 1 ( M, R). Интегрируя интегральную гармоническую 1-форму по путям из базовой точки x 0 ∈ M, мы получаем отображение на окружность R / Z = S ¹.

Аналогично, чтобы определить отображение M → H 1 ( M, R) / H 1 ( M, Z) R без выбора базиса для когомологий, мы рассуждаем следующим образом. Пусть х точка в универсальной накрывающей из М. Таким образом, x представлен точкой из M вместе с путем c от x 0 до нее. Интегрируя по пути с, получим линейную форму, на Е. Таким образом, мы получаем карту, которая, кроме того, спускается на карту ${\ displaystyle {\ tilde {M}}}$${\ displaystyle h \ to \ int _ {c} h}$${\ Displaystyle {\ тильда {M}} \ к E ^ {*} = H_ {1} (M, \ mathbf {R})}$

${\ displaystyle {\ overline {A}} _ {M}: {\ overline {M}} \ to E ^ {*}, \; \; c \ mapsto \ left (h \ mapsto \ int _ {c} h \Правильно),}$

где - универсальное свободное абелево покрытие. ${\ displaystyle {\ overline {M}}}$

Определение: многообразие Якоби (Jacobi тор) из М является тором J 1 ( M) = H 1 ( M, R) / Н 1 ( М, Z) R

Определение: Абеля-Якоби получается из карты выше, переходя к дробей. Отображение Абеля – Якоби единственно с точностью до сдвигов тора Якоби.${\ displaystyle A_ {M}: от M \ до J_ {1} (M),}$

В качестве примера можно привести следующее неравенство, принадлежащее Д. Бураго, С. Иванову и М. Громову.

Пусть M - n -мерное риманово многообразие с первым числом Бетти n такое, что отображение M на его тор Якоби имеет ненулевую степень. Тогда M удовлетворяет оптимальному устойчивому систолическому неравенству

${\ displaystyle \ mathrm {stsys} _ {1} {} ^ {n} \ leq \ gamma _ {n} \ mathrm {vol} _ {n} (M),}$

где - классическая постоянная Эрмита. ${\ displaystyle \ gamma _ {n}}$

Было показано, что асимптотические явления для систолы поверхностей большого рода связаны с интересными эргодическими явлениями и свойствами конгруэнтных подгрупп арифметических групп.

Неравенство Громова 1983 г. для гомотопической систолы подразумевает, в частности, единую нижнюю границу для площади асферической поверхности с точки зрения ее систолы. Такая оценка обобщает неравенства Лёвнера и Пу, хотя и неоптимальным образом.

Основополагающая статья Громова 1983 года также содержит асимптотические оценки, связывающие систолу и площадь, которые улучшают равномерную оценку (действительную во всех измерениях).

Недавно было обнаружено (см. Статью Каца и Сабурау ниже), что объемная энтропия h вместе с оптимальным неравенством А. Катока для h является «правильным» посредником в прозрачном доказательстве асимптотической границы М. Громова для систолического отношения поверхности большого рода.

Классический результат А. Катока утверждает, что каждая метрика на замкнутой поверхности M с отрицательной эйлеровой характеристикой удовлетворяет оптимальному неравенству, связывающему энтропию и площадь.

Оказывается, минимальная энтропия замкнутой поверхности может быть связана с ее оптимальным систолическим соотношением. А именно, существует верхняя граница энтропии систолически экстремальной поверхности в терминах ее систолы. Комбинируя эту верхнюю оценку с оптимальной нижней оценкой Катока по объему, можно получить более простое альтернативное доказательство асимптотической оценки Громова для оптимального систолического отношения поверхностей большого рода. Кроме того, такой подход дает улучшенную мультипликативную константу в теореме Громова.

В качестве приложения этот метод подразумевает, что каждая метрика на поверхности рода не менее 20 удовлетворяет торовому неравенству Лёвнера. Это улучшает лучшую предыдущую оценку в 50, которая следовала из оценки Громова.

Основная статья: гипотеза области заполнения

Гипотеза Громова о заполнении области была доказана в гиперэллиптической ситуации (см. Ссылку Бангерта и др. Ниже).

Гипотеза о заполнении площади утверждает, что среди всех возможных заполнений римановой окружности длины 2π поверхностью с сильно изометрическим свойством круглое полусфера имеет наименьшую площадь. Здесь риманова окружность относится к единственному замкнутому одномерному риманову многообразию полного 1-объема 2π и риманова диаметра π.

Чтобы объяснить гипотезу, мы начнем с наблюдения, что экваториальная окружность единичной 2-сферы, S ² ⊂ R ³, является римановой окружностью S ¹ длины 2π и диаметра π.

Точнее, функция риманова расстояния S ¹ является ограничением окружающего риманова расстояния на сфере. Это свойство не удовлетворяется стандартным вложением единичной окружности в евклидову плоскость, где пара противоположных точек находится на расстоянии 2, а не π.

Мы рассматриваем все заполнения S ¹ поверхностью, такие, что ограниченная метрика, определяемая включением окружности в качестве границы поверхности, является римановой метрикой окружности длины 2π. Включение круга в качестве границы тогда называется сильно изометрическим вложением окружности.

В 1983 году Громов предположил, что круглая полусфера дает «лучший» способ заполнения круга среди всех заполняющих поверхностей.

Случай односвязных заполнений эквивалентен неравенству Пу. Недавно положительно был решен и случай пломб рода -1 (см. Ссылку Bangert et al. Ниже). А именно, оказывается, что можно использовать формулу Дж. Герша полувековой давности из интегральной геометрии. А именно, рассмотрим семейство петель в форме восьмерки на футбольном мяче с точкой самопересечения на экваторе (см. Рисунок в начале статьи). Формула Херша выражает площадь метрики в конформном классе футбольного мяча как среднее значение энергии петель в виде восьмерки из семейства. Применение формулы Херша к гиперэллиптическому фактору римановой поверхности доказывает гипотезу о площади заполнения в этом случае.

Другие систолические ответвления гиперэллиптичности были идентифицированы в роде 2.

Обзоры в этой области включают обзор М. Бергера (1993), обзор Громова (1996), книгу Громова (1999), панорамную книгу Бергера (2003), а также книгу Каца (2007). Эти ссылки могут помочь новичку войти в эту область. Они также содержат открытые проблемы, над которыми нужно работать.

• Систолы поверхностей
• Неравенство тора Лёвнера
• Неравенство Пу
• Гипотеза о площади заполнения
• Неравенство Громова для комплексного проективного пространства
• Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий
• Первая тройка Гурвица
• Список тем по дифференциальной геометрии
• Систолическая свобода
• Обхват (функциональный анализ)

• Бангерт, В. ; Croke, C.; Иванов, С.; Кац, М.: Гипотеза области заполнения и безовальные реальные гиперэллиптические поверхности. Геометрический и функциональный анализ (ГАФА) 15 (2005), вып. 3, 577–597.
• Бергер, М.: Systoles et applications selon Gromov. (Французский. Французское резюме) [Систолы и их приложения по Громову] Séminaire Bourbaki, Vol. 1992/93. Astérisque No. 216 (1993), Exp. №771, 5, 279—310.
• Бергер, М.: Панорамный вид римановой геометрии. Springer-Verlag, Берлин, 2003.
• Бергер, М.: Что такое... систола? Уведомления AMS 55 (2008), нет. 3, 374–376.
• Buser, P.; Сарнак, П.: О матрице периодов римановой поверхности большого рода. С приложением Дж. Х. Конвея и Н. Дж. А. Слоана. Изобретать. Математика. 117 (1994), нет. 1, 27–56.
• Громов, М.: Заполняющие римановы многообразия, Журн. Геом. 18 (1983), 1–147.
• Громов М. Систолы и межсистолические неравенства. (Английский, французский резюме) Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992), 291–362, Sémin. Congr., 1, Soc. Математика. Франция, Париж, 1996 год.
• Громов М. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств. Основано на французском оригинале 1981 года. С приложениями Михаила Каца, Пьера Пансу и Стивена Семмеса. Перевод с французского Шона Майкла Бейтса. Прогресс в математике, 152. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1999.
• Кац, М.: Радиус заполнения двухточечных однородных пространств. Журнал дифференциальной геометрии 18, номер 3 (1983), 505-511.
• Кац, М. Систолическая геометрия и топология. С приложением Дж. Соломона. Математические обзоры и монографии, том 137. Американское математическое общество, 2007.
• Кац, М.; Рудяк, Ю. Систолическая категория и категория Люстерника – Шнирельмана многообразий малой размерности. Сообщения по чистой и прикладной математике 59 ('06), 1433–1456.
• Кац, М.; Сабурау, С.: Энтропия систолически экстремальных поверхностей и асимптотические границы. Ergo. Чт. Dynam. Sys. 25 (2005), 1209–1220.
• Кац, М.; Schaps, M.; Вишне, У.: Логарифмический рост систолы арифметических римановых поверхностей вдоль подгрупп сравнения. J. Differential Geom. 76 (2007), нет. 3, 399–422. Доступно на arXiv : math / 0505007
• Pu, PM: Некоторые неравенства в некоторых неориентируемых римановых многообразиях. Pacific J. Math. 2 (1952), 55—71.

• Веб-страница AMS для книги Михаила Каца.
• Сайт по систолической геометрии и топологии