Первая тройка Гурвица

В математической теории римановых поверхностей первая тройка Гурвица является тройкой различных поверхностей Гурвица с идентичной группой автоморфизмов наименьшего возможного рода, а именно 14 (роды 3 и 7 каждый допускают уникальную поверхность Гурвица, соответственно квартика Клейна и Поверхность Макбита ). Объяснение этому явлению арифметическое. А именно, в кольце целых чисел соответствующего числового поля рациональное простое число 13 распадается как произведение трех различных простых идеалов. Основные конгруэнтные подгруппы, определенные тройкой простых чисел, порождают фуксовы группы, соответствующие тройке римановых поверхностей.

• 1 Арифметическое построение
• 2 Граница для систолической длины и систолического отношения
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Пусть $K\; \{\; \backslash \; displaystyle\; K\}$быть действительным подполем $Q\; [\rho ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; [\backslash \; rho]\}$где $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$- это 7-й примитивный корень единицы. Кольцо целых чисел числа K равно $Z\; [\eta ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash \; eta]\}$, где $\eta \; =\; 2\; cos\; \; (\; 2\; \pi \; 7)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; =\; 2\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; tfrac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\})\}$. Пусть $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$будет алгеброй кватернионов или алгеброй символов $(\eta ,\; \eta )\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; eta,\; \backslash \; eta)\; \_\; \{K\}\}$. Также пусть $\tau \; =\; 1\; +\; \eta \; +\; \eta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; 1\; +\; \backslash \; eta\; +\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\}$и $j\; \prime \; =\; 1\; 2\; (1\; +\; \eta \; я\; +\; \tau \; j)\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \text{'}=\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (1+\; \backslash \; eta\; i\; +\; \backslash \; tau\; j)\}$. Пусть $QH\; ur\; =\; Z\; [\eta ]\; [i,\; j,\; j\; \text{'}]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{Hur\}\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash \; eta]\; [i,\; j,\; j\; \text{'}]\}$. Тогда $QH\; ur\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{Hur\}\}\}$- это максимальный порядок из $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \}$(см. кватернионный порядок Гурвица ), явно описанный Ноамом Элкисом [1].

Чтобы построить первую тройку Гурвица, рассмотрим разложение числа 13 на простые числа в $Z\; [\eta ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash \; eta]\}$, а именно

$13\; знак\; равно\; \eta \; (\eta \; +\; 2)\; (2\; \eta \; -\; 1)\; (3-2\; \eta )\; (\eta \; +\; 3),\; \{\backslash \; displaystyle\; 13\; =\; \backslash \; eta\; (\backslash \; eta\; +2)\; (2\; \backslash \; eta\; -1)\; (\; 3-2\; \backslash \; eta)\; (\backslash \; eta\; +3),\}$

где $\eta \; (\eta \; +\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (\backslash \; eta\; +2)\}$обратимо. Также рассмотрите простые идеалы, порожденные необратимыми множителями. Основная подгруппа конгруэнции, определяемая таким простым идеалом I, по определению является группой

$QH\; ur\; 1\; (I)\; =\; \{x\; \in \; QH\; ur\; 1:\; x\; \equiv \; 1\; (mod\; IQH\; ur)\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; Q\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{Hur\}\}\; ^\; \{1\}\; (I)\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{Hur\}\}\; ^\; \{1\}:\; x\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; pmod\; \{I\; \{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{Hur\}\}\}\}\; \backslash \},\}$

а именно, группа элементов уменьшенной нормы 1 в $QH\; ur\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{Hur\}\}\}$эквивалентно 1 по модулю идеального $IQH\; ur\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\; ur\}\}$. Соответствующая фуксова группа получается как образ главной конгруэнтной подгруппы при представлении в P SL (2, R).

Каждая из трех римановых поверхностей в первой тройке Гурвица может быть образована как Фуксова модель, фактор гиперболической плоскости по одной из этих трех фуксовых групп.

Теорема Гаусса – Бонне утверждает, что

$\chi \; (\Sigma )\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; \Sigma \; K\; (u)\; d\; A,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (\backslash \; Sigma)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; K\; (u)\; \backslash ,\; dA,\}$

где $\chi \; (\; \Sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (\backslash \; Sigma)\}$- эйлерова характеристика поверхности и $K\; (u)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (u)\}$- это гауссова кривизна. В случае $g\; =\; 14\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; 14\}$имеем

$\chi \; (\Sigma )\; =\; -\; 26\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (\backslash \; Sigma)\; =\; -\; 26\}$и $K\; (u)\; =\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (u)\; =\; -\; 1,\}$

таким образом мы получаем, что площадь этих поверхностей составляет

$52\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 52\; \backslash \; pi\}$.

Нижняя граница систолы, как указано в [2], а именно

$4\; 3\; log\; \; (g\; (\Sigma )),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{3\; \}\}\; \backslash \; log\; (g\; (\backslash \; Sigma)),\}$

равно 3,5187.

Некоторые подробные сведения о каждой из поверхностей представлены в следующих таблицах (количество систолических петель взято из [3]). Термин «систолический след» относится к наименее редуцированному следу элемента в соответствующей подгруппе $QH\; ur\; 1\; (I)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\}\; \_\; \{Hur\}\; ^\; \{1\}\; (I)\}$. Систолическое соотношение - это отношение площади систолы к площади.

Идеально	$3\; -\; 2\; \eta \; ⊲\; OK\; \{\backslash \; displaystyle\; 3-2\; \backslash \; eta\; \backslash \; vartriangleleft\; O\_\; \{K\}\}$
Систола	5.9039
Систолический след	$-\; 4\; \eta \; 2-8\; \eta \; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; -4\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; -8\; \backslash \; eta\; -3\}$
Систолическое соотношение	0,2133
Количество систолических петель	91

Идеально	$\eta \; +\; 3\; ⊲\; OK\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; +3\; \backslash \; vartriangleleft\; O\_\; \{K\}\}$
Систола	6,3933
Систолический след	$5\; \eta \; 2\; +\; 11\; \eta \; +\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 5\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; +11\; \backslash \; eta\; +3\}$
Систолическое соотношение	0,2502
Количество систолических петель	78

Идеально	$2\; \eta \; -\; 1\; ⊲\; OK\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; eta\; -1\; \backslash \; vartriangleleft\; O\_\; \{K\}\}$
Систола	6,8879
Систолический след	$-\; 7\; \eta \; 2\; -\; 14\; \eta \; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; -7\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; -14\; \backslash \; eta\; -3\}$
Систолическое соотношение	0,2904
Количество систолических петель	364

• (2,3,7) треугольная группа

• Elkies, N. (1999). Квартика Клейна в теории чисел. Восьмеричный путь. Математика. Sci. Res. Inst. Publ. 35 . Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. С. 51–101.
• Кац, М.; Schaps, M.; Вишне, У. (2007). «Логарифмический рост систолы арифметических римановых поверхностей по подгруппам конгруэнций». J. Differential Geom. 76 : 399–422. arXiv : math.DG / 0505007.
• Фогелер Р. (2003). «О геометрии поверхностей Гурвица». Тезис. Университет штата Флорида. Cite journal требует |journal=()