Неравенство Пу

редактировать

Анимация римской поверхности, представляющая RP ² в R ³

В дифференциальной геометрии, неравенство Pu в, доказано Pao Мин Pu, связывает область произвольной римановой поверхности гомеоморфном вещественной проективной плоскости с длинами замкнутых кривых, содержащихся в ней.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Заявление
2 Доказательство
3 Переформулировка
4 Гипотеза о площади заполнения
5 Изопериметрическое неравенство
6 См. Также
7 ссылки

Заявление

Ученик Чарльза Лёвнера, Пу доказал в своей диссертации 1950 г. ( Pu 1952), что любая риманова поверхность, гомеоморфная вещественной проективной плоскости, удовлетворяет неравенству ${\ displaystyle M}$ $M$

{\ displaystyle \ operatorname {Area} (M) \ geq {\ frac {2} {\ pi}} \ operatorname {Systole} (M) ^ {2},}

{\ displaystyle \ operatorname {Area} (M) \ geq {\ frac {2} {\ pi}} \ operatorname {Systole} (M) ^ {2},}

где это систолы из. Равенство достигается именно тогда, когда метрика имеет постоянную гауссову кривизну. ${\ displaystyle \ operatorname {Systole} (M)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Systole} (M)}$ ${\ displaystyle M}$ $M$

Другими слова, если все нестягиваемые петли в имеют длину, по меньшей мере, то и равенство имеет место тогда и только тогда, когда получаются из евклидовой сферы радиуса путем идентификации каждой точки с ее антиподальным. ${\ displaystyle M}$ $M$ ${\ displaystyle L}$ $L$ ${\ displaystyle \ operatorname {Area} (M) \ geq {\ frac {2} {\ pi}} L ^ {2},}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Area} (M) \ geq {\ frac {2} {\ pi}} L ^ {2},}$ ${\ displaystyle M}$ $M$ ${\ displaystyle r = L / \ pi}$ ${\ displaystyle r = L / \ pi}$

В статье Пу также впервые сформулировано неравенство Лёвнера, аналогичный результат для римановых метрик на торе.

Доказательство

Первоначальное доказательство Пу опирается на теорему униформизации и использует следующий аргумент усреднения.

По униформизация, риманова поверхность является конформно диффеоморфен к круглому проективной плоскости. Это означает, что мы можем предположить, что поверхность получена из евклидовой единичной сферы путем идентификации антиподальных точек, а элемент римановой длины в каждой точке равен ${\ displaystyle (M, g)}$ ${\ displaystyle (M, g)}$ ${\ displaystyle M}$ $M$ ${\ Displaystyle S ^ {2}}$ $S ^ {2}$ ${\ displaystyle x}$ $Икс$

{\ displaystyle \ mathrm {dLength} = f (x) \ mathrm {dLength} _ {\ text {Euclidean}},}

{\ displaystyle \ mathrm {dLength} = f (x) \ mathrm {dLength} _ {\ text {Euclidean}},}

где - элемент евклидовой длины, а функция, называемая конформным множителем, удовлетворяет. ${\ displaystyle \ mathrm {dLength} _ {\ text {евклидово}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {dLength} _ {\ text {евклидово}}}$ ${\ displaystyle f: S ^ {2} \ to (0, + \ infty)}$ ${\ displaystyle f: S ^ {2} \ to (0, + \ infty)}$ ${\ Displaystyle f (-x) = f (x)}$ ${\ Displaystyle f (-x) = f (x)}$

Точнее, универсальная крышка IS, петля несократимо тогда и только тогда, когда его подъем идет от одной точки к его противоположности, и длиной каждому кривой является ${\ displaystyle M}$ $M$ ${\ Displaystyle S ^ {2}}$ $S ^ {2}$ ${\ displaystyle \ gamma \ substeq M}$ ${\ displaystyle \ gamma \ substeq M}$ ${\ Displaystyle {\ widetilde {\ gamma}} \ substeq S ^ {2}}$ ${\ Displaystyle {\ widetilde {\ gamma}} \ substeq S ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\гамма$

{\ displaystyle \ operatorname {Length} (\ gamma) = \ int _ {\ widetilde {\ gamma}} f \, \ mathrm {dLength} _ {\ text {Euclidean}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {Length} (\ gamma) = \ int _ {\ widetilde {\ gamma}} f \, \ mathrm {dLength} _ {\ text {Euclidean}}.}

С учетом ограничения, что каждая из этих длин не меньше, мы хотим найти такой, который минимизирует ${\ displaystyle L}$ $L$ ${\ displaystyle f}$ $ж$

{\ displaystyle \ operatorname {Area} (M, g) = \ int _ {S _ {+} ^ {2}} f (x) ^ {2} \, \ mathrm {dArea} _ {\ text {Euclidean}} (Икс),}

{\ displaystyle \ operatorname {Area} (M, g) = \ int _ {S _ {+} ^ {2}} f (x) ^ {2} \, \ mathrm {dArea} _ {\ text {Euclidean}} (Икс),}

где - верхняя половина сферы. ${\ displaystyle S _ {+} ^ {2}}$ ${\ displaystyle S _ {+} ^ {2}}$

Ключевое наблюдение состоит в том, что если мы усредним несколько различных, которые удовлетворяют ограничению длины и имеют одинаковую площадь, то мы получаем лучший конформный коэффициент, который также удовлетворяет ограничению длины и имеет ${\ displaystyle f_ {i}}$ $е_ {я}$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle f _ {\ text {new}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {0 \ leq i lt;n} f_ {i}}$ ${\ displaystyle f _ {\ text {new}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {0 \ leq i lt;n} f_ {i}}$

{\ displaystyle \ operatorname {Area} (M, g _ {\ text {new}}) = \ int _ {S _ {+} ^ {2}} \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i} f_ {i} (x) \ right) ^ {2} \ mathrm {dArea} _ {\ text {Euclidean}} (x)}

{\ displaystyle \ operatorname {Area} (M, g _ {\ text {new}}) = \ int _ {S _ {+} ^ {2}} \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i} f_ {i} (x) \ right) ^ {2} \ mathrm {dArea} _ {\ text {Euclidean}} (x)}

{\ displaystyle \ qquad \ qquad \ leq {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i} \ left (\ int _ {S _ {+} ^ {2}} f_ {i} (x) ^ { 2} \ mathrm {dArea} _ {\ text {Euclidean}} (x) \ right) = A,}

{\ displaystyle \ qquad \ qquad \ leq {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i} \ left (\ int _ {S _ {+} ^ {2}} f_ {i} (x) ^ { 2} \ mathrm {dArea} _ {\ text {Euclidean}} (x) \ right) = A,}

и неравенство является строгим, если функции не равны. ${\ displaystyle f_ {i}}$ $е_ {я}$

Способ улучшения любого непостоянную, чтобы получить различные функции от использования вращений сферы, определения. Если мы усредним по всем возможным поворотам, то мы получим постоянное значение по всей сфере. Мы можем дополнительно уменьшить эту константу до минимального значения, разрешенного ограничением длины. Тогда мы получаем единственную метрику, которая достигает минимальной площади. ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle f_ {i}}$ $е_ {я}$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle R_ {i} \ в SO ^ {3}}$ ${\ displaystyle R_ {i} \ в SO ^ {3}}$ ${\ Displaystyle е_ {я} (х) = е (R_ {я} (х))}$ ${\ Displaystyle е_ {я} (х) = е (R_ {я} (х))}$ ${\ displaystyle f _ {\ text {новый}}}$ ${\ displaystyle f _ {\ text {новый}}}$ ${\ Displaystyle г = {\ гидроразрыва {L} {\ pi}}}$ ${\ Displaystyle г = {\ гидроразрыва {L} {\ pi}}}$ ${\ displaystyle 2 \ pi r ^ {2} = {\ frac {2} {\ pi}} L ^ {2}}$ ${\ displaystyle 2 \ pi r ^ {2} = {\ frac {2} {\ pi}} L ^ {2}}$

Переформулировка

В качестве альтернативы любая метрика на сфере, инвариантная относительно антиподального отображения, допускает пару противоположных точек на римановом расстоянии, удовлетворяющих ${\ Displaystyle S ^ {2}}$ $S ^ {2}$ ${\ displaystyle p, q \ in S ^ {2}}$ $р, д \ в S ^ {2}$ ${\ displaystyle d = d (p, q)}$ $д = д (р, д)$ ${\ displaystyle d ^ {2} \ leq {\ frac {\ pi} {4}} \ operatorname {area} (S ^ {2}).}$ $d ^ {2} \ leq {\ frac {\ pi} {4}} \ operatorname {area} (S ^ {2}).$

Более подробное объяснение этой точки зрения можно найти на странице Введение в систолическую геометрию.

Гипотеза области заполнения

Альтернативная формулировка неравенства Пу состоит в следующем. Из всех возможных заполнений римановой окружности длины a -мерным диском с сильно изометрическим свойством круглое полушарие имеет наименьшую площадь. ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ пи$ ${\ displaystyle 2}$ $2$

Чтобы объяснить эту формулировку, мы начнем с наблюдения, что экваториальная окружность единичной -сферы является римановой окружностью длины. Точнее, функция риманова расстояния индуцируется из объемлющего риманова расстояния на сфере. Обратите внимание, что это свойство не выполняется при стандартном погружении единичной окружности в евклидову плоскость. Действительно, евклидово расстояние между парой противоположных точек окружности равно только, тогда как в римановой окружности оно равно. ${\ displaystyle 2}$ $2$ ${\ Displaystyle S ^ {2} \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ $S ^ {2} \ subset {\ mathbb R} ^ {3}$ ${\ Displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ пи$ ${\ Displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\Пи$

Мы рассматриваем все заполнения a -мерным диском, такие что метрика, индуцированная включением окружности в качестве границы диска, является римановой метрикой окружности длины. Включение круга в качестве границы тогда называется сильно изометрическим вложением окружности. ${\ Displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ пи$

Громов предположил, что круглая полусфера дает «лучший» способ заполнения круга, даже когда заполняющей поверхности разрешено иметь положительный род ( Громов, 1983).

Изопериметрическое неравенство

Неравенство Пу имеет любопытное сходство с классическим изопериметрическим неравенством

{\ Displaystyle L ^ {2} \ geq 4 \ pi A}

L ^ {2} \ geq 4 \ pi А

для жордановых кривых на плоскости, где - длина кривой, а - площадь ограничиваемой ею области. А именно, в обоих случаях двумерная величина (площадь) ограничена (квадратом) одномерной величины (длины). Однако неравенство идет в обратном направлении. Таким образом, неравенство Пу можно рассматривать как «противоположное» изопериметрическое неравенство. ${\ displaystyle L}$ $L$ ${\ displaystyle A}$ $А$

Смотрите также

использованная литература

Громов, Михаил (1983). «Заполняющие римановы многообразия». J. Differential Geom. 18 (1): 1–147. DOI : 10.4310 / JDG / 1214509283. Руководство по ремонту 0697984.
Громов, Михаил (1996). «Систолы и межсистолические неравенства». В Бессе, Артур Л. (ред.). Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992) [ Материалы круглого стола по дифференциальной геометрии ]. Séminaires et Congrès. 1. Париж: Soc. Математика. Франция. С. 291–362. ISBN 2-85629-047-7. Руководство по ремонту 1427752.
Громов, Миша (1999) [1981]. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств. Успехи в математике. 152. С приложениями М. Каца, П. Пансу и С. Семмеса. Перевод с французского Шона Майкла Бейтса. Бостон, Массачусетс: ISBN Birkhäuser Boston, Inc. 0-8176-3898-9. Руководство по ремонту 1699320.
Кац, Михаил Г. (2007). Систолическая геометрия и топология. Математические обзоры и монографии. 137. С приложением Дж. Соломона. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. DOI : 10,1090 / сур / 137. ISBN 978-0-8218-4177-8. Руководство по ремонту 2292367.
Пу, Пао Мин (1952). «Некоторые неравенства в некоторых неориентируемых римановых многообразиях». Pacific J. Math. 2 (1): 55–71. DOI : 10,2140 / pjm.1952.2.55. Руководство по ремонту 0048886.