Теорема униформизации

Односвязная риманова поверхность эквивалентна открытому диску, комплексной плоскости или сфере

В математике теорема униформизации гласит, что каждая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна одной из трех римановых поверхностей: открытому единичному кругу, комплексная плоскость или сфера Римана. В частности, это означает, что каждая риманова поверхность допускает риманову метрику постоянной кривизны. Для компактных римановых поверхностей поверхности с универсальным покрытием единичным кругом - это в точности гиперболические поверхности рода больше 1, все с неабелевой фундаментальной группой; с универсальным покрытием комплексной плоскости являются римановы поверхности рода 1, а именно комплексные торы или эллиптические кривые с фундаментальной группой Z ; а сферы Римана с универсальным покрытием - это сферы нулевого рода, а именно сама сфера Римана с тривиальной фундаментальной группой.

Теорема униформизации является обобщением теоремы об отображении Римана с правильных односвязных открытых подмножеств плоскости на произвольные односвязные римановы поверхности.. Теорема униформизации также имеет эквивалентное утверждение в терминах замкнутых римановых 2-многообразий: каждое такое многообразие имеет конформно эквивалентную риманову метрику постоянной кривизны.

Многие классические доказательства теоремы об униформизации основаны на построении действительной гармонической функции на односвязной римановой поверхности, возможно, с особенностью в одной или двух точках и часто соответствующей форме из функции Грина. Широко используются четыре метода построения гармонической функции: метод Перрона ; альтернативный метод Шварца ; принцип Дирихле ; и метод ортогональной проекции Вейля. В контексте замкнутых римановых двумерных многообразий в нескольких современных доказательствах используются нелинейные дифференциальные уравнения на пространстве конформно эквивалентных метрик. К ним относятся уравнение Бельтрами из теории Тайхмюллера и эквивалентная формулировка в терминах гармонических отображений ; уравнение Лиувилля, уже изученное Пуанкаре; и поток Риччи вместе с другими нелинейными потоками.

• 1 История
• 2 Классификация связных римановых поверхностей
• 3 Классификация замкнутых ориентированных двумерных римановых многообразий
• 4 Методы доказательства
  • 4.1 Методы гильбертова пространства
  • 4.2 Нелинейные потоки
• 5 Обобщения
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
  • 8.1 Исторические ссылки
  • 8.2 Исторические обзоры
  • 8.3 Гармонические функции
  • 8.4 Нелинейные дифференциальные уравнения
  • 8.5 Общие ссылки
• 9 Внешние ссылки

Феликс Кляйн (1883) и Анри Пуанкаре (1882) предположил теорему об униформизации для (римановых поверхностей) алгебраических кривых. Анри Пуанкаре (1883) распространил это на произвольные многозначные аналитические функции и привел неформальные аргументы в свою пользу. Первые строгие доказательства общей теоремы униформизации были даны Пуанкаре (1907) и Полом Кобе (1907a, 1907b., 1907c). Позже Пол Кобе дал еще несколько доказательств и обобщений. История описана в Gray (1994) ; полный отчет об униформизации вплоть до работ Кёбе и Пуанкаре 1907 года с подробными доказательствами дается в de Saint-Gervais (2016) (псевдоним типа Бурбаки группы пятнадцати математики, совместно подготовившие эту публикацию).

Каждая риманова поверхность является фактором свободного, собственного и голоморфного действия дискретной группы на ее универсальном покрытии. и это универсальное покрытие голоморфно изоморфно (также говорят: «конформно эквивалентно» или «биголоморфно») одному из следующих:

1. сфера Римана
2. комплексная плоскость
3. единица диск в комплексной плоскости.

Теорема Радо показывает, что каждая риманова поверхность автоматически подсчитывает секунды. Хотя теорема Радо часто используется в доказательствах теоремы униформизации, некоторые доказательства были сформулированы так, что теорема Радо становится следствием. Вторая счетность автоматическая для компактных римановых поверхностей.

На ориентированном двумерном многообразии риманова метрика индуцирует сложную структуру с помощью перехода к изотермическим координатам. Если риманова метрика задана локально как

$ds\; 2\; =\; E\; dx\; 2\; +\; 2\; F\; dxdy\; +\; G\; dy\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; E\; \backslash ,\; dx\; ^\; \{2\}\; +\; 2F\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; dy\; +\; G\; \backslash ,\; dy\; ^\; \{2\},\}$

, то в комплексной координате z = x + iy он принимает вид

$ds\; 2\; =\; \lambda \; |\; d\; z\; +\; \mu \; d\; z\; ¯\; |\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; lambda\; |\; dz\; +\; \backslash \; mu\; \backslash ,\; d\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\; |\; ^\; \{2\},\}$

где

$\lambda \; =\; 1\; 4\; (E\; +\; G\; +\; 2\; EG\; -\; F\; 2),\; \mu \; знак\; равно\; (E\; -\; G\; +\; 2\; я\; F)\; /\; 4\; \lambda ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 4\}\; \backslash \; left\; (E\; +\; G\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{EG-F\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; mu\; =\; (E-G\; +\; 2iF)\; /\; 4\; \backslash \; lambda,\}$

так, чтобы λ и μ были гладкими с λ>0 и | μ | < 1. In isothermal coordinates (u, v) the metric should take the form

$d\; s\; 2\; =\; \rho \; (d\; u\; 2\; +\; d\; v\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; rho\; (du\; ^\; \{2\}\; +\; dv\; ^\; \{2\})\}$

с ρ>0 гладким. Комплексная координата w = u + i v удовлетворяет условию

$\rho \; |\; д\; ж\; |\; 2\; =\; \rho \; |\; w\; z\; |\; 2\; |\; d\; z\; +\; w\; z\; ¯\; w\; z\; d\; z\; ¯\; |\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \backslash ,\; |\; dw\; |\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; rho\; |\; w\_\; \{z\}\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; |\; dz\; +\; \{w\; \_\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\; \backslash \; over\; w\_\; \{z\}\}\; \backslash ,\; d\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{2\},\}$

, так что координаты (u, v) будут локально изотермическими при условии уравнения Бельтрами

$\partial \; w\; \partial \; z\; ¯\; =\; \mu \; \partial \; вес\; \partial \; Z\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; partial\; w\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\}\; =\; \backslash \; mu\; \{\backslash \; partial\; w\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; z\}\}$

имеет локально диффеоморфное решение, то есть решение с ненулевым якобианом.

Эти условия можно эквивалентно сформулировать в терминах внешней производной и звездообразного оператора Ходжа ∗. u и v будут изотермическими координатами, если ∗ du = dv, где ∗ определено на дифференциалах как ∗ (p dx + q dy) = −q dx + p dy. Пусть ∆ = ∗ d ∗ d - оператор Лапласа – Бельтрами. Согласно стандартной эллиптической теории, u может быть выбрано как гармоническое вблизи данной точки, то есть Δ u = 0, при этом du не обращается в нуль. По лемме Пуанкаре dv = ∗ du имеет локальное решение v именно тогда, когда d (∗ du) = 0. Это условие эквивалентно ∆ u = 0, поэтому всегда может быть решено локально. Поскольку du отличен от нуля и квадрат оператора звезды Ходжа равен −1 на 1-формах, du и dv должны быть линейно независимыми, так что u и v дают локальные изотермические координаты.

Существование изотермических координат может быть доказано другими методами, например с использованием общей теории уравнения Бельтрами, как в Альфорс (2006), или с помощью прямые элементарные методы, как в Chern (1955) и Jost (2006).

Из этого соответствия с компактными римановыми поверхностями следует классификация замкнутых ориентируемых римановых 2-многообразий. Каждое такое конформно эквивалентно единственному замкнутому двумерному многообразию постоянной кривизны, поэтому частное одного из следующих на свободное действие дискретная подгруппа из группы изометрий :

1. сфера (кривизна +1)
2. евклидова плоскость (кривизна 0)
3. гиперболическая плоскость (кривизна -1).

• 

  род 0

• 

  род 1

• 

  род 2

• 

  род 3

Первый случай дает двумерную сферу, единственное 2-многообразие с постоянной положительной кривизной и, следовательно, положительной эйлеровой характеристикой (равной 2). Второй случай дает все плоские 2-многообразия, то есть торы , которые имеют эйлерову характеристику 0. Третий случай охватывает все 2-многообразия постоянной отрицательной кривизны, т. Е. Гиперболические 2-многообразия, все из которых имеют отрицательную эйлерову характеристику. характеристика. Классификация соответствует теореме Гаусса – Бонне, из которой следует, что для замкнутой поверхности с постоянной кривизной знак этой кривизны должен совпадать со знаком эйлеровой характеристики. Эйлерова характеристика равна 2 - 2g, где g - род 2-многообразия, т. Е. Количество «дырок».

Методы гильбертова пространства

В 1913 году Герман Вейль опубликовал свой классический учебник «Die Idee der Riemannschen Fläche», основанный на его лекциях в Геттингене с 1911 по 1912 год. была первой книгой, представившей теорию римановых поверхностей в современной обстановке, и благодаря своим трем изданиям оставалась влиятельной. Посвященное Феликсу Клейну, первое издание включало гильбертовское рассмотрение проблемы Дирихле с использованием техники гильбертова пространства ; Вклад Брауэра в топологию; и доказательство теоремы об униформизации Кобе и его последующие улучшения. Намного позже Вейль (1940) разработал свой метод ортогональной проекции, который дал упрощенный подход к проблеме Дирихле, также основанный на гильбертовом пространстве; эта теория, в которую входила лемма Вейля об эллиптической регулярности, была связана с теорией гармонических интегралов Ходжа; и обе теории вошли в современную теорию эллиптических операторов и L пространств Соболева. В третьем издании своей книги от 1955 года, переведенной на английский язык в Weyl (1964), Вейль принял современное определение дифференциального многообразия вместо триангуляции, но решил не делать использование его метода ортогональной проекции. Спрингер (1957) следовал изложению Вейля теоремы об униформизации, но использовал метод ортогональной проекции для решения проблемы Дирихле. Этот подход будет описан ниже. Кодайра (2007) описывает подход, описанный в книге Вейля, а также то, как его сократить, используя метод ортогональной проекции. Соответствующий отчет можно найти в Donaldson (2011).

Нелинейные потоки

. Представляя поток Риччи, Ричард С. Гамильтон показал, что Поток Риччи на замкнутой поверхности униформизует метрику (т. Е. Поток сходится к метрике постоянной кривизны). Однако его доказательство опиралось на теорему униформизации. Недостающий шаг связан с потоком Риччи на 2-сфере: метод, позволяющий избежать обращения к теореме униформизации (для рода 0), был предоставлен Chen, Lu Tian (2006) ; краткое самодостаточное описание потока Риччи на двумерной сфере было дано в Andrews Bryan (2010).

Коби доказал общую теорему униформизации, что если Риманова поверхность гомеоморфна открытому подмножеству комплексной сферы (или, что то же самое, если каждая жорданова кривая разделяет ее), то она конформно эквивалентна открытому подмножеству комплексной сферы.

В трех измерениях существует 8 геометрий, которые называются восемью геометриями Терстона. Не каждое трехмерное многообразие допускает геометрию, но гипотеза Терстона о геометризации, доказанная Григорием Перельманом, утверждает, что каждое трехмерное многообразие можно разрезать на части, которые можно геометризовать.

Теорема одновременной униформизации из Липмана Берса показывает, что можно одновременно униформизировать две компактные римановы поверхности одного рода>1 с одним и тем же квази -Группа Фукса.

теорема об измеримом отображении Римана в более общем плане показывает, что отображение в открытое подмножество комплексной сферы в теореме униформизации может быть выбрано как квазиконформное отображение с любой заданный ограниченный измеримый коэффициент Бельтрами.

• .

Исторические ссылки

• Schwarz, HA (1870), "Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren ", Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft в Цюрихе, 15 : 272–286, JFM 02.0214.02.
• Кляйн, Феликс (1883), "Neue Beiträge zur Riemann'schen Functionentheorie", Mathematische Annalen, 21(2): 141–218, doi : 10.1007 / BF01442920, ISSN 0025-5831, JFM 15.0351.01, S2CID 120465625
• Koebe, P. ( 1907a), «Uber die Uniformisierung reeller analytischer Kurven», Göttinger Nachrichten: 177–190, JFM 38.0453.01
• Koebe, P. (1907b), "Über die Uniformisierung trustbiger analytischer Kurven", Göttinger Nachrichten: 191–210, JFM 38.0454.01
• Koebe, P. (1907c), "Über die Uniformisierung trustbiger analytischer Kurven (Zweite Mitteilung) ", Göttinger Nachr ichten: 633–669, JFM 38.0455.02
• Кёбе, Пауль (1910a), «Über die Uniformisierung trustbiger analytischer Kurven», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 138 : 192–253, doi : 10.1515 / crll.1910.138.192, S2CID 120198686
• Кобе, Пол (1910b), «Uber die Hilbertsche Uniformlsierungsmethode» (PDF), Göttinger Nachrichten: 61–65
• Пуанкаре, Х. (1882), «Mémoire sur les fonctions fuchsiennes», Acta Mathematica, 1: 193–294, doi : 10.1007 / BF02592135, ISSN 0001-5962, JFM 15.0342.01
• Пуанкаре, Анри (1883), "Sur un théorème de la théorie générale des fonctions", Bulletin de la Société Mathématique de France, 11 : 112–125, doi : 10.24033 / bsmf.261, ISSN 0037-9484, JFM 15.0348.01
• Пуанкаре, Анри (1907), «Sur l'uniformisation des fonctions analytiques», Acta Mathematica, 31: 1–63, doi : 10.1007 / BF02415442, ISSN 0001-5962, JFM 38.0452.02
• Хилберт, Дэвид (1909), "Zur Theorie der konformen Abbildung" (PDF), Göttinger Nachrichten: 314–323
• Perron, O. (1923), "Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für Δu = 0 ", Mathematische Zeitschrift, 18(1): 42–54, doi : 10.1007 / BF01192395, ISSN 0025- 5874, S2CID 122843531
• Weyl, Hermann (1913), Die Idee der Riemannschen Fläche (переиздание 1997 года немецкого оригинала 1913 года), Teubner, ISBN 978-3-8154-2096-6
• Weyl, Hermann (1940), "Метод ортогональных проекций в теории потенциала", Duke Math. J., 7 : 411–444, doi : 10.1215 / s0012-7094-40-00725-6

Исторические обзоры

• Абикофф, Уильям (1981), «Теорема униформизации», Амер. Математика. Ежемесячно, 88 (8): 574–592, doi : 10.2307 / 2320507, JSTOR 2320507
• Серый, Джереми (1994), «К истории теоремы об отображении Римана» (PDF), Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Серия II. Дополнение (34): 47–94, MR 1295591
• Боттаццини, Умберто; Грей, Джереми (2013), Скрытая гармония - геометрические фантазии: рост теории сложных функций, источники и исследования в истории математики и физических наук, Springer, ISBN 978-1461457251
• де Сен-Жерве, Анри Поль (2016), Униформизация римановых поверхностей: возвращение к теореме столетней давности, перевод Роберта Г. Бернса, Европейское математическое общество, doi : 10.4171 / 145, ISBN 978-3-03719-145-3, перевод французского текста (подготовлен в 2007 г. во время столетия Работы Кёбе и Пуанкаре 1907 г.)

Гармонические функции

Метод Перрона

• М. Хайнс (1949), "Конформное отображение односвязных римановых поверхностей", Ann. of Math., 50 (3): 686–690, doi : 10.2307 / 1969555, JSTOR 1969555
• Хайнс, М. (1951), "Внутреннее отображение ориентируемой поверхности в S", Proc. Амер. Математика. Soc., 2 (6): 951–952, doi : 10.1090 / s0002-9939-1951-0045221-4
• Heins, M. (1957), "Конформное отображение односвязных римановых поверхностей. II", Nagoya Math. J., 12 : 139–143, doi : 10.1017 / s002776300002198x
• Пфлюгер, Альберт (1957), Theorie der Riemannschen Flächen, Springer
• Ahlfors, Ларс В. (2010), Конформные инварианты: вопросы геометрической теории функций, AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-5270-5
• Бердон, AF (1984), «Букварь по римановым поверхностям», Серия лекций Лондонского математического общества, Cambridge University Press, 78, ISBN 978-0521271042
• Форстер, Отто (1991), Лекции по Риману поверхностей, Тексты для выпускников по математике, 81, перевод Брюса Гиллигана, Спрингер, ISBN 978-0-387-90617-1
• Farkas, Hershel M.; Кра, Ирвин (1980), Римановы поверхности (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-90465-8
• Гамелен, Теодор В. (2001), Комплексный анализ, Тексты для студентов по математике, Springer, ISBN 978-0-387-95069-3
• Хаббард, Джон Х. (2006), Теория Тайхмюллера и приложения к геометрии, топологии и динамике. Vol. 1. Теория Тейхмюллера, Matrix Editions, ISBN 978-0971576629
• Schlag, Wilhelm (2014), Курс комплексного анализа и римановых поверхностей., Graduate Studies in Mathematics, 154, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-9847-5

Альтернативный метод Шварца

• Неванлинна, Рольф (1953), Uniformisierung, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, 64, Springer
• Бенке, Генрих; Зоммер, Фридрих (1965), Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 77 (3-е изд.), Springer
• Freitag, Eberhard (2011), Комплексный анализ. 2. Римановы поверхности, несколько комплексных переменных, абелевы функции, высшие модулярные функции, Springer, ISBN 978-3-642-20553-8

Принцип Дирихле

• Weyl, Hermann (1964)), Концепция римановой поверхности, переведенная Джеральдом Р. Маклейном, Эддисон-Уэсли, MR 0069903
• Курант, Ричард (1977), принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности, Springer, ISBN 978-0-387-90246-3
• Зигель, К.Л. (1988), Темы теории сложных функций. Vol. I. Эллиптические функции и теория униформизации, перевод А. Шеницера; Д. Солитэр, Вили, ISBN 978-0471608448

Метод ортогональной проекции Вейля

• Спрингер, Джордж (1957), Введение в римановы поверхности, Аддисон-Уэсли, MR 0092855
• Кодаира, Кунихико (2007), Комплексный анализ, Кембриджские исследования в области высшей математики, 107, Cambridge University Press, ISBN 9780521809375
• Дональдсон, Саймон (2011), Римановы поверхности, Oxford Graduate Texts in Mathematics, 22, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-960674-0

Операторы Sario

• Сарио, Лео (1952), "Метод линейных операторов на произвольных римановых поверхностях", Trans. Амер. Математика. Soc., 72 (2): 281–295, doi : 10.1090 / s0002-9947-1952-0046442-2
• Ahlfors, Lars V.; Сарио, Лео (1960), Римановы поверхности, Princeton Mathematical Series, 26, Princeton University Press

Нелинейные дифференциальные уравнения

Уравнение Бельтрами

• Альфорс, Ларс В. (2006), Лекции по квазиконформные отображения, Серия университетских лекций, 38 (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3644-6
• Альфорс, Ларс В..; Берс, Липман (1960), "Теорема Римана об отображении для переменных метрик", Ann. of Math., 72 (2): 385–404, doi : 10.2307 / 1970141, JSTOR 1970141
• Берс, Липман (1960), «Одновременная униформизация», Бюл. Амер. Математика. Soc., 66 (2): 94–97, doi : 10.1090 / s0002-9904-1960-10413-2
• Берс, Липман (1961), «Униформизация уравнениями Бельтрами», Comm. Pure Appl. Math., 14 (3): 215–228, doi : 10.1002 / cpa.3160140304
• Берс, Липман (1972), «Униформа, moduli и клейновские группы ", Бюллетень Лондонского математического общества, 4 (3): 257–300, doi : 10.1112 / blms / 4.3.257, ISSN 0024-6093, MR 0348097

Гармонические карты

• Йост, Юрген (2006), Компактные римановы поверхности: введение в современную математику (3-е изд.), Springer, ISBN 978-3-540-33065-3

Уравнение Лиувилля

• Бергер, Мелвин С. (1971), "Римановы структуры заданной гауссовой кривизны для компактных двумерных многообразий", Journal of Differential Geometry, 5 (3–4): 325–332, doi : 10.4310 / jdg / 1214429996
• Бергер, Мелвин С. (1977), Нелинейность и функциональный анализ, Academic Press, ISBN 978-0-12-090350-4
• Тейлор, Майкл Э. (2011), Уравнения в частных производных III. Нелинейные уравнения, Прикладные математические науки, 117 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-4419-7048-0

Потоки на римановых метриках

• Гамильтон, Ричард С. (1988), «Поток Риччи на поверхностях», Математика и общая теория относительности (Санта-Крус, Калифорния, 1986), Contemp. Math., 71, Американское математическое общество, стр. 237–262
• Чоу, Беннет (1991), «Поток Риччи на двумерной сфере», J. Differential Geom., 33 (2): 325–334, doi : 10.4310 / jdg / 1214446319
• Osgood, B.; Phillips, R.; Сарнак, П. (1988), "Экстремали определителей лапласианов", J. Funct. Анал., 80 : 148–211, CiteSeerX 10.1.1.486.558, doi : 10.1016 / 0022-1236 (88) 90070-5
• Chrusciel, P. (1991), "Полуглобальное существование и сходимость решений уравнения Робинсона-Траутмана (двумерного уравнения Калаби)", Сообщения в области математической физики, 137 (2): 289–313, Bibcode : 1991CMaPh.137..289C, CiteSeerX 10.1.1.459.9029, doi : 10.1007 / bf02431882, S2CID 53641998
• Чанг, Шу-Ченг (2000), «Глобальное существование и конвергенция решений Калаби поток на поверхностях рода h ≥ 2 ", J. Math. Kyoto Univ., 40 (2): 363–377, doi : 10.1215 / kjm / 1250517718
• Брендл, Саймон (2010), Поток Риччи и сфера теорема, Аспирантура по математике, 111, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4938-5
• Chen, Xiuxiong; Лу, Пэн; Тиан, Ганг (2006), «Заметка об униформизации римановых поверхностей потоком Риччи», Труды Американского математического общества, 134 (11): 3391–3393, doi : 10.1090 / S0002-9939-06-08360-2, ISSN 0002-9939, MR 2231924
• Эндрюс, Бен; Брайан, Пол (2010), "Границы кривизны путем изопериметрического сравнения для нормализованного потока Риччи на двумерной сфере", Calc. Вар. Уравнения в частных производных, 39 (3–4): 419–428, arXiv : 0908.3606, doi : 10.1007 / s00526-010-0315-5, S2CID 1095459
• Маццео, Рейф; Тейлор, Майкл (2002), «Кривизна и униформизация», Israel J. Math., 130 : 323–346, arXiv : math / 0105016, doi : 10.1007 / bf02764082, S2CID 7192529
• Майкл Струве (2002), «Кривизна течет по поверхностям», Ann. Sc. Норма. Супер. Пиза Cl. Sci., 1 : 247–274

Общие ссылки

• Chern, Shiing-shen (1955), «Элементарное доказательство существования изотермических параметров на поверхности», Proc.. Амер. Математика. Soc., 6 (5): 771–782, doi : 10.2307 / 2032933, JSTOR 2032933
• ДеТерк, Деннис М.; Каздан, Джерри Л. (1981), «Некоторые теоремы регулярности в римановой геометрии», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 14 ( 3): 249–260, doi : 10.24033 / asens.1405, ISSN 0012-9593, MR 0644518.
• Гусевский Н.А. (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press
• Крушкал, С.Л.; Апанасов, Б. Н.; Гусевский Н.А. (1986) [1981], Кляйновы группы и униформизация в примерах и задачах, Переводы математических монографий, 62, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4516-5, MR 0647770
• Тейлор, Майкл Э. (1996), Уравнения в частных производных I: Базовая теория, Springer, С. 376–378, ISBN 978-0-387-94654-2
• Тейлор, Майкл Э. (1996), Уравнения в частных производных II: Качественные исследования линейных уравнений, Springer, ISBN 978-0-387-94651-1
• Берс, Липман; Джон, Фриц; Шехтер, Мартин (1979), Уравнения в частных производных (перепечатка оригинала 1964 года), Лекции по прикладной математике, 3A, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218 -0049-2
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9
• Уорнер, Франк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и Группы Ли, Тексты для выпускников по математике, 94, Springer, ISBN 978-0-387-90894-6

• Конформное преобразование: из круга в квадрат.