Войти
| Ричард Гамильтон | |
|---|---|
 Гамильтон в 1982 году | |
| Родился | ( 1943-12-19)19 декабря 1943 г. (77 лет) Цинциннати, Огайо, США |
| Национальность | Американец |
| Альма-матер | Йельский университет Принстонский университет |
| Известен | Поток Риччи Гамильтона Солитон Риччи Теорема Эрла – Гамильтона о неподвижной точке Теорема Гейджа-Гамильтона-Грейсона Неравенства Ли-Яу-Гамильтона Теорема Нэша-Мозера |
| Награды | Премия Веблена (1996) Премия за исследования глины (2003) Приз Лероя П. Стила (2009) Приз Шоу (2011) |
| Научная карьера | |
| Поля | Математика |
| Учреждения | Корнельский университет Калифорнийский университет, Колумбийский университет Сан-Диего |
| Тезис | Вариация структуры на римановых поверхностях (1969) |
| Докторант | Роберт Ганнинг |
| Докторанты | Мартин Ло |
Ричард Стрейт Гамильтон (родился 19 декабря 1943 г.) - профессор математики в Колумбийском университете Дэвиса. Он известен вкладом в геометрический анализ и уравнения в частных производных. Он сделал вклад в фундаментальные теории Риччи потока и его использование в резолюции гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации в области геометрической топологии.
Он получил степень бакалавра в 1963 году в Йельском университете и докторскую степень. в 1966 году из Принстонского университета. Роберт Ганнинг защитил диссертацию. Гамильтон преподавал в Калифорнийском университете в Ирвине, Калифорнийском университете в Сан-Диего, Корнельском университете и Колумбийском университете.
Вклад Гамильтона в математику в основном относится к области дифференциальной геометрии и, в частности, геометрического анализа. Он лучше всего известен тем, что открыл Риччи поток и начать исследовательскую программу, которая в конечном счете привела к доказательству, по Григорию Перельману, в Терстоном гипотезы геометризации и решение гипотезы Пуанкаре. В августе 2006 года Перельман был награжден медалью Филдса за доказательство, но отказался от нее.
Гамильтон был удостоен премии Освальда Веблена в области геометрии в 1996 году и премии Clay Research в 2003 году. Он был избран членом Национальной академии наук в 1999 году и Американской академии наук и искусств в 2003 году. Он также получил премию AMS Leroy P. Steele. Премия за плодотворный вклад в исследования в 2009 году за его статью 1982 года « Три-многообразия с положительной кривизной Риччи», в которой он представил поток Риччи.
18 марта 2010 года было объявлено, что Перельман соответствует критериям для получения первой премии Clay Millennium Prize за доказательство гипотезы Пуанкаре, впервые опубликованной в 2003 году. 1 июля 2010 года Перельман впоследствии отклонил эту награду и связанные с ней денежный приз, как он сделал с медалью Филдса, заявив, что, по его мнению, его вклад в доказательство гипотезы Пуанкаре не больше, чем у Гамильтона, который первым предложил программу решения. Однако, хотя решение Перельмана действительно основывалось на теории потока Риччи Ричарда Гамильтона, оно включало в себя важные достижения Перельмана и использовало результаты Чигера, Громова и самого Перельмана по пространствам метрик. Перельман также доказал гипотезу геометризации Уильяма Терстона, частным случаем которой является гипотеза Пуанкаре, без которой доказательство гипотезы Пуанкаре было бы невозможным; его обзор был завершен в августе 2006 г.
В июне 2011 года было объявлено, что премия Шоу в миллион долларов будет разделена поровну между Гамильтоном и Деметриосом Христодулу за их чрезвычайно инновационные работы по нелинейным уравнениям с частными производными в лоренцевой и римановой геометрии и их приложениям к общей теории относительности и топологии.
По состоянию на 2020 год Гамильтон является автором около пятидесяти научных статей, около сорока из которых относятся к области геометрических потоков.
В 1986 году Питер Ли и Шинг-Тунг Яу открыли новый метод применения принципа максимума для управления решениями уравнения теплопроводности. Среди других результатов они показали, что если имеется положительное решение u уравнения теплопроводности на замкнутом римановом многообразии неотрицательной кривизны Риччи, то
для любого касательного вектора v. Такие неравенства, известные как «дифференциальные неравенства Гарнака» или «неравенства Ли-Яу», полезны, поскольку их можно интегрировать вдоль путей для сравнения значений u в любых двух точках пространства-времени. Они также напрямую дают поточечную информацию о u, принимая v равным нулю.
В 1993 году Гамильтон показал, что вычисления Ли и Яу можно расширить, чтобы показать, что их дифференциальное неравенство Гарнака является следствием более сильного матричного неравенства. Его результат требовал, чтобы замкнутое риманово многообразие имело неотрицательную секционную кривизну и параллельный тензор Риччи (такой как плоский тор или метрика Фубини-Штуди на комплексном проективном пространстве ), в отсутствие которых он получил несколько более слабый результат. Такие матричные неравенства иногда называют неравенствами Ли-Яу-Гамильтона.
Гамильтон также обнаружил, что методология Ли-Яу может быть адаптирована к потоку Риччи. В случае двумерных многообразий он обнаружил, что вычисление Ли и Яу может быть напрямую адаптировано к скалярной кривизне вдоль потока Риччи. В общих измерениях он показал, что тензор кривизны Римана удовлетворяет сложному неравенству, формально аналогичному его матричному расширению неравенства Ли-Яу, в случае неотрицательности оператора кривизны. Как непосредственное алгебраическое следствие, скалярная кривизна удовлетворяет неравенству, которое почти идентично неравенству Ли и Яу.
В 1956 году Джон Нэш решил проблему гладкого изометрического вложения римановых многообразий в евклидово пространство. Ядром его доказательства был новый результат о "малых возмущениях", показывающий, что если риманова метрика может быть изометрически вложена определенным образом, то любая ближайшая риманова метрика также может быть вложена изометрически. Такой результат очень напоминает теорему о неявной функции, и многие авторы пытались поместить логику доказательства в форму общей теоремы. Такие теоремы теперь известны как теоремы Нэша-Мозера.
В 1982 году Гамильтон опубликовал свою формулировку рассуждений Нэша, применив теорему в контексте ручных пространств Фреше ; Фундаментальное использование Нэшем ограничения преобразования Фурье регуляризацией функций было отвлечено Гамильтоном до установки экспоненциально убывающих последовательностей в банаховых пространствах. Его формулировка широко цитировалась и использовалась в последующее время. Он сам использовал это, чтобы доказать общую теорему существования и единственности геометрических эволюционных уравнений; стандартная теорема о неявной функции не часто применяется в таких условиях из-за вырождений, вносимых инвариантностью относительно действия группы диффеоморфизмов. В частности, корректность потока Риччи следует из общего результата Гамильтона. Хотя Деннис ДеТюрк дал более простое доказательство в частном случае потока Риччи, результат Гамильтона использовался для некоторых других геометрических потоков, для которых метод ДеТюрка недоступен.
В 1964 году Джеймс Иллс и Джозеф Сэмпсон инициировали исследование теплового потока гармонического отображения, используя теорему сходимости для потока, чтобы показать, что любое гладкое отображение из замкнутого многообразия в замкнутое многообразие неположительной кривизны может быть деформировано в гармоническое отображение. В 1975 году Гамильтон рассмотрел соответствующую краевую задачу для этого потока, доказывая аналогичный результат Иллс и Сампсона для условия Дирихле и условия Неймана. Аналитический характер проблемы в этой ситуации более деликатен, поскольку ключевое приложение Илса и Сэмпсона принципа максимума к параболической формуле Бохнера не может быть выполнено тривиально из-за того, что размер градиента на границе не контролируется автоматически. граничными условиями.
Взяв пределы решений Гамильтона краевой задачи для все более крупных границ, Ричард Шон и Шинг-Тунг Яу заметили, что отображение конечной энергии из полного риманова многообразия в замкнутое риманово многообразие неположительной кривизны может быть деформировано в гармоническое отображение конечной энергии. Доказав расширение теоремы Иллса и Сэмпсона об исчезновении в различных геометрических условиях, они смогли сделать поразительные геометрические выводы, например, что если ( M, g) - полное риманово многообразие неотрицательной кривизны Риччи, то для любого предкомпактного открытого множества D с гладкие и односвязно граница, не может существовать нетривиальной гомоморфизм из фундаментальной группы из D в любую группу, которая является фундаментальной группой замкнутого риманова многообразия неположительной кривизны.
В 1986 году Гамильтон и Майкл Гейдж применили теорему Гамильтона Нэша-Мозера и результат о корректности для параболических уравнений, чтобы доказать корректность потока средней кривизны ; они рассмотрели общий случай однопараметрического семейства погружений замкнутого многообразия в гладкое риманово многообразие. Затем они специализировались на случае погружений окружности S 1 в двумерное евклидово пространство ℝ 2, которое является простейшим контекстом для потока сокращения кривой. Используя принцип максимума применительно к расстоянию между двумя точками на кривой, они доказали, что если первоначальное погружение является вложением, то все будущие погружения в поток средней кривизны также являются вложениями. Кроме того, выпуклость кривых сохраняется на будущее.
Главный результат Гейджа и Гамильтона состоит в том, что для любого гладкого вложения S 1 → ℝ 2, которое является выпуклым, соответствующий поток средней кривизны существует в течение конечного количества времени, и по мере того, как время приближается к своему максимальному значению, кривые асимптотически становятся все более мелкими и круговой. Они использовали предыдущие результаты Гейджа, а также некоторые специальные результаты для кривых, такие как неравенство Боннесена.
В 1987 году Мэтью Грейсон доказал дополнительный результат, показавший, что для любого гладкого вложения S 1 → ℝ 2 соответствующий поток средней кривизны в конечном итоге становится выпуклым. В сочетании с результатом Гейджа и Гамильтона можно получить полное описание асимптотического поведения потока средней кривизны вложенных окружностей в ℝ 2. Этот результат иногда называют теоремой Гейджа – Гамильтона – Грейсона. Это несколько удивительно, что есть такие систематические и геометрический определенные средства деформации произвольного цикла в ℝ 2 в круглый круг.
Современное понимание результатов Гейджа-Гамильтона и Грейсона обычно рассматривает оба параметра одновременно, без необходимости показывать, что произвольные кривые становятся выпуклыми, и отдельно изучать поведение выпуклых кривых. Их результаты также могут быть распространены на параметры, отличные от расхода средней кривизны.
Гамильтон распространил принцип максимума для параболических уравнений в частных производных на симметричные 2-тензоры, которые удовлетворяют параболическим уравнениям в частных производных. Он также поместил это в общую настройку зависящего от параметра сечения векторного расслоения над замкнутым многообразием, которое удовлетворяет уравнению теплопроводности, дав как сильные, так и слабые формулировки.
Частично благодаря этим фундаментальным техническим разработкам Гамильтон смог дать по существу полное понимание того, как поток Риччи ведет себя на трехмерных замкнутых римановых многообразиях положительной кривизны Риччи и неотрицательной кривизны Риччи, четырехмерных замкнутых римановых многообразиях с положительным или неотрицательным оператором кривизны., и двумерные замкнутые римановы многообразия неположительной эйлеровой характеристики или положительной кривизны. В каждом случае после соответствующей нормализации поток Риччи деформирует данную риманову метрику до метрики постоянной кривизны. Это имеет поразительно простые непосредственные следствия, такие как тот факт, что любое замкнутое гладкое 3-многообразие, допускающее риманову метрику положительной кривизны, также допускает риманову метрику постоянной положительной секционной кривизны. Такие результаты примечательны тем, что сильно ограничивают топологию таких многообразий; что пространственные формы положительной кривизны в значительной степени поняты. Есть и другие следствия, например, тот факт, что топологическое пространство римановых метрик положительной кривизны Риччи на замкнутом гладком трехмерном многообразии линейно связно. Эти «теоремы сходимости» Гамильтона были расширены более поздними авторами в 2000-х, чтобы дать доказательство теоремы о дифференцируемой сфере, которая была главной гипотезой в римановой геометрии с 1960-х годов.
В 1995 году Гамильтон расширил теорию компактности Джеффа Чигера для римановых многообразий, чтобы получить теорему компактности для последовательностей потоков Риччи. Учитывая поток Риччи на замкнутом многообразии с сингулярностью за конечное время, Гамильтон разработал методы масштабирования вокруг особенности, чтобы создать последовательность потоков Риччи; Теория компактности гарантирует существование предельного потока Риччи, который моделирует мелкомасштабную геометрию потока Риччи вокруг особой точки. Гамильтон использовал свои принципы максимума, чтобы доказать, что для любого потока Риччи на замкнутом трехмерном многообразии наименьшее значение секционной кривизны мало по сравнению с наибольшим значением. Это известно как оценка Гамильтона-Айви; это чрезвычайно важно как неравенство кривизны, которое выполняется без каких-либо условных предположений за пределами трехмерности. Важным следствием является то, что в трех измерениях предельный поток Риччи, создаваемый теорией компактности, автоматически имеет неотрицательную кривизну. Таким образом, неравенство Гарнака Гамильтона применимо к предельному потоку Риччи. Эти методы были расширены Григорием Перельманом, который благодаря своей «теореме о несгибаемости» смог применить теорию компактности Гамильтона в ряде расширенных контекстов.
В 1997 году Гамильтон смог объединить методы, которые он разработал, чтобы определить «поток Риччи с хирургией» для четырехмерных римановых многообразий положительной изотропной кривизны. Для потоков Риччи с начальными данными в этом классе он смог классифицировать возможности мелкомасштабной геометрии вокруг точек с большой кривизной и, следовательно, систематически модифицировать геометрию, чтобы продолжить поток Риччи. Как следствие, он получил результат, который классифицирует гладкие четырехмерные многообразия, поддерживающие римановы метрики положительной изотропной кривизны. Шинг-Тунг Яу охарактеризовал эту статью как «самое важное событие» в геометрическом анализе в период после 1993 года, отметив ее как точку, в которой стало ясно, что можно доказать гипотезу Терстона о геометризации с помощью методов потока Риччи. Существенным нерешенным вопросом было проведение аналогичной классификации для мелкомасштабной геометрии вокруг точек высокой кривизны на потоках Риччи на трехмерных многообразиях без каких-либо ограничений кривизны; оценка кривизны Гамильтона-Айви является аналогом условия положительной изотропной кривизны. Это было разрешено Григорием Перельманом в его знаменитой «теореме о канонических окрестностях». Основываясь на этом результате, Перельман модифицировал форму процедуры перестройки Гамильтона, чтобы определить «поток Риччи с перестройкой» для произвольной гладкой римановой метрики на замкнутом трехмерном многообразии. Это привело к разрешению гипотезы о геометризации в 2003 году.
| H75. | Ричард С. Гамильтон. Гармонические отображения многообразий с краем. Конспект лекций по математике, Vol. 471 (1975). Спрингер-Верлаг, Берлин-Нью-Йорк. i + 168 с. doi: 10.1007 / BFb0087227 |
| H82a. | Ричард С. Гамильтон. Теорема Нэша и Мозера об обратной функции. Бык. Амер. Математика. Soc. (NS) 7 (1982), вып. 1, 65–222. DOI: 10.1090 / s0273-0979-1982-15004-2 |
| H82b. | Ричард С. Гамильтон. Трехмерные многообразия положительной кривизны Риччи. J. Differential Geom. 17 (1982), нет. 2, 255–306. DOI: 10.4310 / jdg / 1214436922 |
| GH86. | М. Гейдж и Р.С. Гамильтон. Уравнение теплопроводности сокращает выпуклые плоские кривые. J. Differential Geom. 23 (1986), нет. 1, 69–96. DOI: 10.4310 / jdg / 1214439902 |
| H86. | Ричард С. Гамильтон. Четырехмерные многообразия с оператором положительной кривизны. J. Differential Geom. 24 (1986), нет. 2, 153–179. DOI: 10.4310 / jdg / 1214440433 |
| H88. | Ричард С. Гамильтон. Поток Риччи на поверхностях. Современная математика, Vol. 71 (1988), стр. 237-262. Математика и общая теория относительности (Санта-Крус, Калифорния, 1986). Амер. Математика. Soc., Providence, RI. Под редакцией Джеймса А. Изенберга. DOI: 10.1090 / conm / 071 |
| H93a. | Ричард С. Гамильтон. Матричная оценка Харнака для уравнения теплопроводности. Comm. Анальный. Геом. 1 (1993), нет. 1, 113–126. DOI: 10.4310 / CAG.1993.v1.n1.a6 |
| H93b. | Ричард С. Гамильтон. Оценка Гарнака для потока Риччи. J. Differential Geom. 37 (1993), нет. 1, 225–243. DOI: 10.4310 / jdg / 1214453430 |
| H95a. | Ричард С. Гамильтон. Свойство компактности решений потока Риччи. Амер. J. Math. 117 (1995), нет. 3, 545–572. DOI: 10.2307 / 2375080 |
| H95b. | Ричард С. Гамильтон. Образование особенностей в потоке Риччи. Обзоры по дифференциальной геометрии. II (1995), стр. 7-136. Материалы конференции по геометрии и топологии, состоявшейся в Гарвардском университете, Кембридж, Массачусетс, 1993. Int. Press, Кембридж, Массачусетс. Под редакцией К.-К. Сюн и С.-Т. Яу. DOI: 10.4310 / SDG.1993.v2.n1.a2 |
| H97. | Ричард С. Гамильтон. Четырехмерные многообразия положительной изотропной кривизны. Comm. Анальный. Геом. 5 (1997), нет. 1, 1–92. DOI: 10.4310 / CAG.1997.v5.n1.a1 |
Коллекция
содержит,,,,,, и, помимо пяти других статей Гамильтона и десяти статей других авторов.
СМИ, связанные с Ричардом Гамильтоном (математиком) на Викискладе?
