Изотермические координаты

В математике, в частности, в дифференциальной геометрии, изотермические координаты на риманова многообразия являются локальными координатами, где метрика является конформной к евклидовой метрике. Это означает, что в изотермических координатах риманова метрика локально имеет вид

${\ displaystyle g = \ varphi (dx_ {1} ^ {2} + \ cdots + dx_ {n} ^ {2}),}$

где - гладкая функция. (Если риманово многообразие ориентировано, некоторые авторы настаивают на том, что система координат должна согласовываться с этой ориентацией, чтобы быть изотермической.) ${\ displaystyle \ varphi}$

Изотермические координаты на поверхностях были впервые введены Гауссом. Корн и Лихтенштейн доказали, что изотермические координаты существуют вокруг любой точки на двумерном римановом многообразии. О многомерных римановых многообразий является необходимым и достаточным условием для их локального существования является обращение в нуль тензора Вейля и от тензора хлопку.

• 1 Изотермические координаты на поверхностях
  • 1.1 Уравнение Бельтрами
  • 1.2 Звездный оператор Ходжа
  • 1.3 Гауссова кривизна
• 2 См. Также
• 3 Примечания
• 4 ссылки
• 5 Внешние ссылки

Гаусс (1822) доказал существование изотермических координат на произвольной поверхности с вещественной аналитической метрикой, следуя результатам Лагранжа (1779) о поверхностях вращения. Результаты для непрерывных метрик Гёльдера были получены Корном (1916) и Лихтенштейном (1916). Более поздние отчеты были даны Морри (1938), Альфорсом (1955), Берсом (1952) и Черном (1955). Особенно простой отчет с использованием звездного оператора Ходжа дан в DeTurck amp; Kazdan (1981). Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFAhlfors1955 ( справка )

Уравнение Бельтрами

Существование изотермических координат можно доказать, применяя известные теоремы существования для уравнения Бельтров, который опирается на L ^р оценки для сингулярных интегральных операторов из Кальдерона и Зигмунда. Более простой подход к уравнению Бельтрами недавно был предложен Адрианом Дуади.

Если риманова метрика задана локально как

${\ Displaystyle ds ^ {2} = E \, dx ^ {2} + 2F \, dx \, dy + G \, dy ^ {2},}$

то в комплексной координате z = x + i y она принимает вид

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ lambda | \, dz + \ mu \, d {\ overline {z}} | ^ {2},}$

где λ и μ гладкие с λgt; 0 и | μ | lt;1. Фактически

${\ displaystyle \ lambda = {1 \ over 4} (E + G + 2 {\ sqrt {EG-F ^ {2}}}), \, \, \, \ mu = (E-G + 2iF) / 4 \ lambda.}$

В изотермических координатах ( u, v) метрика должна иметь вид

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ rho (du ^ {2} + dv ^ {2})}$

с ρgt; 0 гладкой. Комплексная координата w = u + i v удовлетворяет

${\ displaystyle \ rho \, | dw | ^ {2} = \ rho | w_ {z} | ^ {2} | \, dz + {w _ {\ overline {z}} \ over w_ {z}} \, d {\ overline {z}} | ^ {2},}$

так что координаты ( u, v) будут изотермическими, если уравнение Бельтрами

${\ displaystyle {\ partial w \ over \ partial {\ overline {z}}} = \ mu {\ partial w \ over \ partial z}}$

имеет диффеоморфное решение. Доказано, что такое решение существует в любой окрестности, где || μ || ∞ lt;1.

Звездный оператор Ходжа

Новые координаты u и v изотермичны при условии, что

${\ displaystyle \ star du = dv,}$

где - звездный оператор Ходжа, определяемый метрикой. ${\ displaystyle \ star}$

Пусть - оператор Лапласа – Бельтрами на функциях. ${\ displaystyle \ Delta = d ^ {*} d}$

Тогда в соответствии со стандартной эллиптической теорией u может быть выбрано гармоническим вблизи данной точки, т. Е. Δ u = 0, при этом du не обращается в нуль.

В самом деле, поскольку проблема локальна, достаточно описать решение на торе T ^2, снабженное римановой метрикой. В этом случае Δ f = g может быть решена вблизи 0 с заданными начальными значениями f (0), df (0).

Это можно доказать с помощью L ² пространств Соболева H s ( T ²) для s ≥ 0. Эти гильбертовы пространства могут быть определены в терминах Δ и римановой структуры, но они не зависят от этих структур. Отсюда следует, что I + Δ задает линейный изоморфизм H s +2 ( T ²) на H s ( T ²) и что Δ f = g разрешимо тогда и только тогда, когда g ортогонален константам. С другой стороны, из стандартной техники вытекает аппроксимационная теорема: гладкие функции, обращающиеся в нуль в окрестности точки, плотны в H s ( T ²) при s ≤ 1 (метод доказательства см. Ниже).

В частности, плотность означает, что для любого малого s gt; 0 существуют гладкие функции g, равные 0 около 1, ортогональные константам из H s ( T ²), такие что функции f = ∆ ⁻¹ g плотны в подпространстве H s +2 ( T ²) ортогонален константам. По эллиптической регулярности эти f гладкие. По теореме вложения Соболева H s +2 ( T ²) лежит в C ¹ ( T ²); плотность в пространстве Соболева означает, что f (0), df (0) принимают все возможные значения, как утверждается.

Приведенная выше аппроксимационная теорема может быть доказана теми же методами, что и соответствующий одномерный результат: гладкие функции, обращающиеся в нуль в окрестности точки, плотны в H s ( T) при s ≤ 1/2. Для простоты будет описан только этот случай. Достаточно доказать это для точки 1 на единичной окружности Т. По преобразованию Кэли между окружностью и прямым, функция схода с бесконечным порядком на 1 в C ^∞ ( T) может быть идентифицирована с S ( R), в пространстве функций Шварца на R. Гладкие функции компактного носителя плотны в S ( R); и, следовательно, пространство гладких функций, равных нулю в окрестности 1 в C ^∞ ( T) плотно в пространстве гладких функций, равных нулю со всеми своими производными на 1. По теореме Стоуна-Вейерштрасса, равномерно плотно в С 0 ( Т \ {1}). Таким образом, если ч лежит в B, в идеале C ¹ ( T) функций схода с их производной в 1, ч и ч» может быть равномерно аппроксимирована функцией в A. Поэтому плотно в B. С другой стороны, C ¹ ( T) находится в H s ( T), если s ≤ 1/2. Для того, чтобы доказать, что плотно в H сек ( Т), то, следовательно, достаточно показать, что содержит функции в п (q}}) и б п (q), стремящееся к нулю в норме Соболева с в п (0) = 0 в нуль при 1 и ∂ θ a n (0) = 1; и b n (0) = 1 ad ∂ θ b n (0) = 0. Подходящие функции: a n (θ) = sin n θ / n и b n (θ) = c n (θ) / c n (0), где c n (θ) = Σ (1 - n ⁻¹) ^k cos k θ / k log k }}.

По лемме Пуанкаре имеет локальное решение v именно тогда, когда. ${\ displaystyle \ star du = dv}$${\ displaystyle d \ star du = 0}$

С

${\ displaystyle \ star d \ star = d ^ {*},}$

это равносильно Δ  u = 0, а значит, существует локальное решение.

Поскольку du не равен нулю, а квадрат оператора звезды Ходжа равен −1 на 1-формах, du и dv обязательно линейно независимы, и поэтому u и v дают локальные изотермические координаты.

Гауссова кривизна

В изотермических координатах ( u, v) гауссова кривизна принимает более простой вид

${\ displaystyle K = - {\ frac {1} {2}} e ^ {- \ rho} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} \ rho} {\ partial u ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ rho} {\ partial v ^ {2}}} \ right).}$

• Конформная карта
• Уравнение Лиувилля
• Квазиконформная карта

• Альфорс, Ларс В. (1952), "Конформность относительно римановых метрик", Ann. Акад. Sci. Фенн. Сер. А. I, 206: 1–22
• Альфорс, Ларс В. (1966), Лекции о квазиконформных отображениях, Ван Ностранд
• Берс, Липман (1952), Римановы поверхности, 1951–1952, Нью-Йоркский университет, стр. 15–35.
• Берс, Липман; Джон, Фриц; Шехтер, Мартин (1979), Уравнения в частных производных, Лекции по прикладной математике, 3A, Американское математическое общество, ISBN   0-8218-0049-3
• Черн, Шиинг-шен (1955), "Элементарное доказательство существования изотермических параметров на поверхности", Proc. Амер. Математика. Soc., Американское математическое общество, 6 (5): 771-782, DOI : 10,2307 / 2032933, JSTOR   2032933
• ДеТерк, Деннис М.; Каздан, Джерри Л. (1981), "Некоторые теоремы регулярности в римановой геометрии", Анналов Научных де l'Эколь Нормаль, Серия 4, 14 (3): 249-260, DOI : 10,24033 / asens.1405, ISSN   0012- 9593, Руководство по ремонту   0644518.
• ду Карму, Манфредо (1976), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей, Прентис Холл, ISBN   0-13-212589-7
• Дуади, Адриан ; Buff, X. (2000), Le théorème d'intégrabilité des структур престижных комплексов. [Теорема интегрируемости для почти сложных структур], Серия лекций Лондонского математического общества, 274, Cambridge University Press, стр. 307–324
• Гаусс, К.Ф. (1822), О конформном представлении, переводчик Эванс, HP, стр. 463–475
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I, Теория распределений и анализ Фурье, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 256 (второе издание), Springer-Verlag, ISBN   3-540-52345-6
• Imayoshi, Y.; Танигучи, М. (1992), Введение в пространства Тейхмюллера, Springer-Verlag, ISBN   0-387-70088-9
• Korn, A. (1916), Zwei Anwendungen der Methode der sukzessiven Annäherungen, Schwarz Abhandlungen, стр. 215–219
• Лагранж, Ж. (1779 г.), Sur la construction des cartes géographiques
• Лихтенштейн, Л. (1916), "Zur Theorie der konformen Abbildung", Bull. Int. Акад. Sci. Cracovie Cl. Sci. Математика. Nat. Сер. А: 192–217
• Морри, Чарльз Б. (1938), "О решениях квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных", Trans. Амер. Математика. Soc., Американское математическое общество, 43 (1): 126-166, DOI : 10,2307 / 1989904, JSTOR   1989904
• Спивак, Майкл, Комплексное введение в дифференциальную геометрию, 4 (3-е изд.), Publish or Perish, стр. 314–346
• Тейлор, Майкл Э. (1996), Уравнения в частных производных: основная теория, Springer-Verlag, стр. 376–378, ISBN   0-387-94654-3
• Уорнер, Франк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли, Тексты для выпускников по математике, 94, Springer-Verlag, ISBN   0-387-90894-3

• "Изотермические координаты", Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]