Эрмитский коллектор

В математике, а более конкретно в дифференциальной геометрии, эрмитово многообразие является комплексным аналогом риманова многообразия. Точнее, эрмитово многообразие - это комплексное многообразие с плавно меняющимся эрмитовым внутренним произведением на каждом (голоморфном) касательном пространстве. Можно также определить эрмитово многообразие как вещественное многообразие с римановой метрикой, сохраняющей комплексную структуру.

Комплексная структура - это, по сути, почти комплексная структура с интегрируемостью условие, и это условие дает унитарную структуру (U (n) структура ) на многообразии. Отбросив это условие, мы получим почти эрмитово многообразие .

На любом почти эрмитовом многообразии мы можем ввести фундаментальную 2-форму (или косимплектическую структуру ), которая зависит от только на выбранной метрике и почти сложной конструкции. Эта форма всегда невырожденная. С дополнительным условием интегрируемости, что она замкнута (т.е. это симплектическая форма ), мы получаем почти кэлерову структуру . Если и почти комплексная структура, и фундаментальная форма интегрируемы, то мы имеем кэлерову структуру.

• 1 Формальное определение
• 2 Риманова метрика и связанная форма
• 3 Свойства
• 4 Кэлеровы многообразия
  • 4.1 Интегрируемость
• 5 Ссылки

A Эрмитова метрика на комплексном векторном расслоении E над гладким многообразием M является плавно изменяющаяся положительно-определенная эрмитова форма на каждом волокне. Такую метрику можно записать в виде гладкого участка

$h\; \in \; \Gamma \; (E\; \otimes \; E\; ¯)\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \backslash \; in\; \backslash \; Gamma\; (E\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; bar\; \{E\}\})\; ^\; \{*\}\}$

такое, что

$hp\; (\eta ,\; \zeta \; ¯)\; =\; hp\; (\zeta ,\; \eta \; ¯)\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{p\}\; (\backslash \; eta,\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; zeta\}\})\; =\; \{\backslash \; overline\; \{h\_\; \{p\; \}\; (\backslash \; zeta,\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; eta\}\})\}\}\}$

для всех ζ, η в E p и

$hp\; (\zeta ,\; \zeta \; ¯)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{p\}\; (\backslash \; zeta,\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; zeta\}\})>0\}$

для всех ненулевых ζ в E p.

A Эрмитово многообразие является комплексным многообразием с эрмитовой метрикой его голоморфное касательное пространство. Аналогично, почти эрмитово многообразие является почти комплексным многообразием с эрмитовой метрикой на голоморфном касательном пространстве.

На эрмитовом многообразии метрика может быть записана в локальных голоморфных координатах (z) как

$h\; =\; h\; \alpha \; \beta \; ¯\; dz\; \alpha \; \otimes \; dz\; ¯\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; h\; =\; h\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; beta\}\; \}\}\; \backslash ,\; dz\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; otimes\; d\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}$

где $h\; \alpha \; \beta \; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; beta\}\; \}\}\}\}$- компоненты положительно определенной эрмитовой матрицы.

Эрмитова метрика h на (почти) комплексном многообразии M определяет a риманова метрика g на подлежащем гладком многообразии. Метрика g определяется как действительная часть h:

$g\; =\; 1\; 2\; (h\; +\; h\; ¯).\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 2\}\; (h\; +\; \{\backslash \; bar\; \{h\}\}).\}$

Форма g является симметричной билинейной формой на TM, комплексифицированном касательном расслоении. Поскольку g равен своему сопряженному, это комплексификация вещественной формы на TM. Симметрия и положительная определенность g на TM следуют из соответствующих свойств h. В локальных голоморфных координатах метрика g может быть записана как

$g\; =\; 1\; 2\; h\; \alpha \; \beta \; ¯\; (d\; z\; \alpha \; \otimes \; d\; z\; ¯\; \beta \; +\; d\; z\; ¯\; \beta \; \otimes \; d\; z\; \alpha ).\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 2\}\; h\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; beta\}\}\}\; \backslash ,\; (dz\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; otimes\; d\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; +\; d\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; otimes\; dz\; ^\; \{\backslash \; alpha\}).\}$

Можно также сопоставить ha комплексную дифференциальную форму ω степени (1,1). Форма ω определяется как минус мнимая часть h:

$\omega \; =\; i\; 2\; (h\; -\; h\; ¯).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; \{i\; \backslash \; over\; 2\}\; (h\; -\; \{\backslash \; bar\; \{h\}\}).\}$

Опять же, поскольку ω равно своему сопряженному, это комплексификация вещественной формы на TM. Форма ω называется по-разному: ассоциированной (1,1) формой, основной формой или эрмитовой формой . В локальных голоморфных координатах ω можно записать

$\omega \; =\; i\; 2\; h\; \alpha \; \beta \; ¯\; d\; z\; \alpha \; \wedge \; d\; z\; ¯\; \beta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; \{i\; \backslash \; over\; 2\}\; h\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; beta\}\}\}\; \backslash ,\; dz\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; wedge\; d\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}.\}$

Из координатных представлений ясно, что любая из трех форм h, g и ω однозначно определяет две другие. Риманова метрика g и ассоциированная (1,1) форма ω связаны почти комплексной структурой J следующим образом:

$\omega \; (u,\; v)\; =\; g\; (J\; u,\; v)\; g\; (u,\; v)\; знак\; равно\; \omega \; (U,\; J\; v)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; omega\; (u,\; v)\; =\; g\; (Ju,\; v)\; \backslash \backslash \; g\; (u,\; v)\; =\; \backslash \; omega\; (u,\; Jv)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

для всех комплексных касательных векторов u и v. Эрмитову метрику h можно восстановить по g и ω с помощью тождества

$h\; =\; g\; -\; i\; \omega .\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; =\; g-i\; \backslash \; omega.\; \backslash ,\}$

Все три формы h, g и ω сохраняют почти сложную структуру J. То есть

$h\; (J\; u,\; J\; v)\; =\; h\; (u,\; v)\; g\; (J\; u,\; J\; v)\; =\; g\; (u,\; v)\; \omega \; (J\; u,\; J\; v)\; =\; \omega \; (u,\; v)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; h\; (Ju,\; Jv)\; =\; h\; (u,\; v)\; \backslash \backslash \; g\; (Ju,\; Jv)\; =\; g\; (u,\; v)\; \backslash \backslash \backslash \; omega\; (Ju,\; Jv)\; =\; \backslash \; omega\; (u,\; v)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

для всех комплексных касательных векторов u и v.

Таким образом, эрмитова структура на (почти) комплексном многообразии M может быть задана либо

1. эрмитова метрика h, как указано выше,
2. риманова метрика g, сохраняющая почти комплексную структуру J, или
3. a невырожденную 2-форму ω, сохраняющую J и положительно определенную в в смысле, что ω (u, Ju)>0 для всех ненулевых вещественных касательных векторов u.

Отметим, что многие авторы называют саму g эрмитовой метрикой.

Каждое (почти) комплексное многообразие допускает эрмитову метрику. Это непосредственно следует из аналогичного утверждения для римановой метрики. Для произвольной римановой метрики g на почти комплексном многообразии M можно очевидным образом построить новую метрику g ′, совместимую с почти комплексной структурой J:

$g\; \prime \; (u,\; v)\; =\; 1\; 2\; (g\; (u,\; v)\; +\; g\; (J\; u,\; J\; v)).\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \text{'}(u,\; v)\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 2\}\; \backslash \; left\; (g\; (u,\; v)\; +\; g\; (Ju,\; Jv)\; \backslash \; right).\}$

Выбор эрмитовой метрики на почти комплексном многообразии M эквивалентно выбору U (n) -структуры на M; то есть сокращение структурной группы из пакета кадров M с GL (n, C ) до унитарной группы ООН). унитарный репер на почти эрмитовом многообразии - это комплексный линейный репер, который ортонормирован относительно эрмитовой метрики. унитарный пакет кадра M является основным U (n) -бандлом всех унитарных кадров.

Каждое почти эрмитово многообразие M имеет каноническую форму объема, которая является просто римановой формой объема, определяемой g. Эта форма задается в терминах ассоциированной (1,1) -формы ω следующим образом:

$v\; o\; l\; M\; =\; \omega \; n\; n!\; \in \; \Omega \; N,\; N\; (M)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{vol\}\; \_\; \{M\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; \backslash \; In\; \backslash \; Omega\; ^\; \{n,\; n\}\; (M)\; \}$

где ω - произведение клина ω на себя n раз. Форма объема, следовательно, является вещественной (n, n) -формой на M. В локальных голоморфных координатах форма объема задается как

$vol\; M\; =\; (i\; 2)\; n\; det\; (h\; \alpha \; \beta \; ¯)\; dz\; 1\; \wedge \; dz\; ¯\; 1\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; dzn\; \wedge \; dz\; ¯\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{vol\}\; \_\; \{M\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; det\; (h\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; beta\}\}\})\; \backslash ,\; dz\; ^\; \{1\}\; \backslash \; wedge\; d\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; cdots\; \backslash \; wedge\; dz\; ^\; \{n\}\; \backslash \; wedge\; d\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; ^\; \{n\}.\}$

Можно также рассматривать эрмитову метрику на голоморфном векторном расслоении.

Самым важным классом эрмитовых многообразий являются кэлеровы многообразия. Это эрмитовы многообразия, для которых эрмитова форма ω замкнута :

$d\; \omega \; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; omega\; =\; 0\; \backslash ,.\}$

В этом случае форма ω называется формой Кэлера . Кэлерова форма - это симплектическая форма, поэтому кэлеровы многообразия естественным образом являются симплектическими многообразиями.

Почти эрмитово многообразие, ассоциированная (1,1) -форма которого замкнута, естественно называется почти кэлерово многообразие . Любое симплектическое многообразие допускает согласованную почти комплексную структуру, превращающую его в почти кэлерово многообразие.

Интегрируемость

Кэлерово многообразие - это почти эрмитово многообразие, удовлетворяющее условию интегрируемости. Об этом можно сказать несколькими эквивалентными способами.

Пусть (M, g, ω, J) - почти эрмитово многообразие вещественной размерности 2n, и пусть ∇ - связность Леви-Чивиты алгебры g. Следующие условия эквивалентны для того, чтобы M было кэлеровым:

• ω замкнуто и J интегрируемо
• ∇J = 0,
• ∇ω = 0,
• группа голономии элемента ∇ содержится в унитарной группе U (n), связанной с J.

Эквивалентность этих условий соответствует «2 из 3 "свойство унитарной группы.

В частности, если M - эрмитово многообразие, условие dω = 0 эквивалентно, по-видимому, гораздо более сильным условиям ∇ω = ∇J = 0. Богатство кэлеровской теории частично из-за этих свойств.

• Гриффитс, Филипп; Джозеф Харрис (1994) [1978]. Основы алгебраической геометрии. Библиотека Wiley Classics. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 0-471-05059-8.
• Кобаяси, Шошичи; Кацуми Номидзу (1996) [1963]. Основы дифференциальной геометрии, Вып. 2. Библиотека Wiley Classics. Нью-Йорк: Wiley Interscience. ISBN 0-471-15732-5.
• Кодаира, Кунихико (1986). Сложные многообразия и деформации сложных структур. Классика по математике. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-22614-1.