Представимый функтор

редактировать

В математике, особенно в теории категорий, представимый функтор - это определенный функтор из произвольной категории в категорию множеств. Такие функторы представляют абстрактную категорию в терминах известных структур (то есть наборов и функций ), позволяя использовать, насколько это возможно, знания о категории наборов в других параметрах настройки.

С другой точки зрения, представимых функторов для категории С являются функторы данные с C. Их теория является обширным обобщением верхних множеств в множествах и теоремы Кэли в теории групп.

Содержание
  • 1 Определение
  • 2 универсальных элемента
  • 3 Примеры
  • 4 свойства
    • 4.1 Уникальность
    • 4.2 Сохранение лимитов
    • 4.3 Левый сопряженный
  • 5 Связь с универсальными морфизмами и сопряженными
  • 6 См. Также
  • 7 ссылки
Определение

Пусть C - локально малая категория, а Set - категория множеств. Для каждого объекта A из C пусть Hom ( A, -) будет гом-функтором, который отображает объект X на множество Hom ( A, X ).

Функтор F  : C → Set называется представима, если она естественно изоморфна к Hom ( A, -) для некоторого объекта А из С. Представление о F представляет собой пару (, Φ), где

Φ: Hom ( A, -) → F

является естественным изоморфизмом.

Контравариантный функтор G из C в Set это то же самое, как функтор G  : C оп → Набор и обычно называется Предпучок. Предпучок представим, когда она естественно изоморфна контравариантным Хомы -функтор Хомы (-,) для некоторого объекта А из С.

Универсальные элементы

Согласно лемме Йонеды, естественные преобразования из Hom ( A, -) в F находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами F ( A ). Для естественного преобразования Φ: Hom ( A, -) → F соответствующий элемент u ∈ F ( A ) имеет вид

ты знак равно Φ А ( я d А ) . {\ displaystyle u = \ Phi _ {A} (\ mathrm {id} _ {A}). \,}

Наоборот, для любого элемента u ∈ F ( A ) мы можем определить естественное преобразование Φ: Hom ( A, -) → F с помощью

Φ Икс ( ж ) знак равно ( F ж ) ( ты ) {\ Displaystyle \ Phi _ {X} (е) = (Ff) (и) \,}

где f - элемент Hom ( A, X ). Чтобы получить представление F, мы хотим знать, когда естественное преобразование, индуцированное u, является изоморфизмом. Это приводит к следующему определению:

Универсальный элемент из функтора F  : C → Набор представляет собой пару (, у), состоящий из объекта A из C и элемента U ∈ F ( A) такой, что для каждой пары ( X, v) с V ∈ F ( X) существует единственный морфизм f  : A → X такой, что ( Ff) u = v.

Универсальный элемент может рассматриваться в качестве универсального морфизма из одной точки множества {•} к функтору F или в качестве исходного объекта в категории элементов из F.

Естественное преобразование, индуцированное элементом U ∈ F ( A ) является изоморфизмом тогда и только тогда, когда (, у) является универсальным элементом F. Поэтому мы делаем вывод, что представления F находятся во взаимно однозначном соответствии с универсальными элементами F. По этой причине универсальные элементы ( A, u) принято называть представлениями.

Примеры
  • Рассмотрим контравариантный функтор P  : Set → Set, который отображает каждый набор в свой набор мощности и каждую функцию в свою карту обратного изображения. Для представления этого функтора нам нужна пара ( A, u ), где A - множество, а u - подмножество A, то есть элемент P ( A ), такой, что для всех множеств X гом-множество Hom ( X, A ) изоморфна P ( X ) посредством Φ X ( f ) = ( Pf ) u = f −1 ( u ). Возьмем A = {0,1} и u = {1}. Учитывая подмножество S ⊆ X соответствующую функцию из X в A является характеристической функцией из S.
  • Забывчивые функторы для Set очень часто можно представить. В частности, забывчивый функтор представлен ( A, u ) всякий раз, когда A является свободным объектом над одиночным набором с генератором u.
    • Забывающий функтор Grp → Set в категории групп представлен как ( Z, 1).
    • Забывающий функтор Ring → Set в категории колец представлен ( Z [ x ], x ) - кольцом многочленов от одной переменной с целыми коэффициентами.
    • Забывающий функтор Vect → Set в категории вещественных векторных пространств представлен как ( R, 1).
    • Забывающий функтор Top → Set в категории топологических пространств представлен любым одноэлементным топологическим пространством с его уникальным элементом.
  • Группа G можно рассматривать как категорию (даже группоидом ) с одним объектом, который мы обозначим через •. Тогда функтор из G в Set соответствует G -множеству. Единственный гом-функтор Hom (•, -) из G в Set соответствует каноническому G -множеству G с действием левого умножения. Стандартные аргументы из теории групп показывают, что функтор из G в Set представим тогда и только тогда, когда соответствующее G -множество просто транзитивно (т.е. G -торсор или куча ). Выбор представления сводится к выбору идентификатора для кучи.
  • Пусть C - категория CW-комплексов с морфизмами, заданными гомотопическими классами непрерывных функций. Для каждого натурального числа n существует контравариантный функтор H n  : C → Ab, который ставит в соответствие каждому CW-комплексу его n- ю группу когомологий (с целыми коэффициентами). Комбинируя это с функтором забывчивости, мы получаем контравариантный функтор от C к Set. Теорема Брауна о представимости в алгебраической топологии говорит, что этот функтор представлен CW-комплексом K ( Z, n ), называемым пространством Эйленберга – Маклейна.
  • Пусть R - коммутативное кольцо с единицей, и пусть R - Mod - категория R -модулей. Если М и N являются унитарными модулями над R, есть ковариантный функтор B : R - Mod → Набор, который назначает каждый R - модуля P множество из R -bilinear отображает M × N → P и в каждую R - модуль гомоморфизм F  : P → Q функция в ( е ): в ( Р ) → B ( Q ), который посылает каждый билинейное отображение г  : М × N → P к карты билинейной й ∘ г  : М × N → Q. Функтор B представлен R - модуля М ⊗ R N.
Свойства

Уникальность

Представления функторов единственны с точностью до единственного изоморфизма. То есть, если ( A 1, Φ 1 ) и ( A 2, Φ 2 ) представляют один и тот же функтор, то существует единственный изоморфизм φ: A 1 → A 2 такой, что

Φ 1 - 1 Φ 2 знак равно ЧАС о м ( φ , - ) {\ Displaystyle \ Phi _ {1} ^ {- 1} \ circ \ Phi _ {2} = \ mathrm {Hom} (\ varphi, -)}

как естественные изоморфизмы из Hom ( A 2, -) в Hom ( A 1, -). Этот факт легко следует из леммы Йонеды.

В терминах универсальных элементов: если ( A 1, u 1 ) и ( A 2, u 2 ) представляют один и тот же функтор, то существует единственный изоморфизм φ: A 1 → A 2 такой, что

( F φ ) ты 1 знак равно ты 2 . {\ displaystyle (F \ varphi) u_ {1} = u_ {2}.}

Сохранение лимитов

Представимые функторы естественно изоморфны функторам Hom и, следовательно, обладают своими свойствами. В частности, (ковариантные) представимые функторы сохраняют все пределы. Отсюда следует, что любой функтор, не сохраняющий некоторого предела, непредставим.

Контравариантные представимые функторы доводят копределы до пределов.

Левый смежный

Любой функтор K  : C → Set с сопряженным слева F  : Set → C представлен как ( FX, η X (•)), где X = {•} - одноэлементное множество, а η - единица присоединения.

И наоборот, если К представлена парой ( A, U ) и всех малых copowers из А существует в С, то К имеет левый сопряженный F, который посылает каждый набор I к I - й костепени из A.

Следовательно, если C - категория со всеми малыми копровыми степенями, функтор K  : C → Set представим тогда и только тогда, когда он имеет левый сопряженный.

Связь с универсальными морфизмами и сопряженными

Категорные понятия универсальных морфизмов и присоединенных функторов могут быть выражены с помощью представимых функторов.

Пусть G  : D → C функтор, и пусть Х быть объектом C. Тогда ( A, φ) является универсальным морфизмом из X в G тогда и только тогда, когда ( A, φ) является представлением функтора Hom C ( X, G -) из D в Set. Отсюда следует, что G имеет левую сопряженный F тогда и только тогда, когда Hom C ( X, G -) представим для всех X в C. Естественный изоморфизм Φ X  : Hom D ( FX, -) → Hom C ( X, G -) влечет сопряженность; то есть

Φ Икс , Y : ЧАС о м D ( F Икс , Y ) ЧАС о м C ( Икс , г Y ) {\ displaystyle \ Phi _ {X, Y} \ двоеточие \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {D}} (FX, Y) \ to \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (X, GY)}

биекция для всех X и Y.

Двойственные утверждения также верны. Пусть F  : C → D функтор, и пусть Y быть объектом D. Тогда ( A, φ) является универсальным морфизмом из F в Y тогда и только тогда, когда ( A, φ) является представлением функтора Hom D ( F -, Y ) из C в Set. Отсюда следует, что F имеет право сопряженного G тогда и только тогда, когда Хомы D ( F -, Y ) представим для всех Y в D.

Смотрите также
Рекомендации
  1. ^ Хангерфорд, Томас. Алгебра. Springer-Verlag. п. 470. ISBN   3-540-90518-9.
Последняя правка сделана 2023-03-29 07:23:30
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте