В математике, особенно в теории категорий, представимый функтор - это определенный функтор из произвольной категории в категорию множеств. Такие функторы представляют абстрактную категорию в терминах известных структур (то есть наборов и функций ), позволяя использовать, насколько это возможно, знания о категории наборов в других параметрах настройки.
С другой точки зрения, представимых функторов для категории С являются функторы данные с C. Их теория является обширным обобщением верхних множеств в множествах и теоремы Кэли в теории групп.
Пусть C - локально малая категория, а Set - категория множеств. Для каждого объекта A из C пусть Hom ( A, -) будет гом-функтором, который отображает объект X на множество Hom ( A, X ).
Функтор F : C → Set называется представима, если она естественно изоморфна к Hom ( A, -) для некоторого объекта А из С. Представление о F представляет собой пару (, Φ), где
является естественным изоморфизмом.
Контравариантный функтор G из C в Set это то же самое, как функтор G : C оп → Набор и обычно называется Предпучок. Предпучок представим, когда она естественно изоморфна контравариантным Хомы -функтор Хомы (-,) для некоторого объекта А из С.
Согласно лемме Йонеды, естественные преобразования из Hom ( A, -) в F находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами F ( A ). Для естественного преобразования Φ: Hom ( A, -) → F соответствующий элемент u ∈ F ( A ) имеет вид
Наоборот, для любого элемента u ∈ F ( A ) мы можем определить естественное преобразование Φ: Hom ( A, -) → F с помощью
где f - элемент Hom ( A, X ). Чтобы получить представление F, мы хотим знать, когда естественное преобразование, индуцированное u, является изоморфизмом. Это приводит к следующему определению:
Универсальный элемент может рассматриваться в качестве универсального морфизма из одной точки множества {•} к функтору F или в качестве исходного объекта в категории элементов из F.
Естественное преобразование, индуцированное элементом U ∈ F ( A ) является изоморфизмом тогда и только тогда, когда (, у) является универсальным элементом F. Поэтому мы делаем вывод, что представления F находятся во взаимно однозначном соответствии с универсальными элементами F. По этой причине универсальные элементы ( A, u) принято называть представлениями.
Представления функторов единственны с точностью до единственного изоморфизма. То есть, если ( A 1, Φ 1 ) и ( A 2, Φ 2 ) представляют один и тот же функтор, то существует единственный изоморфизм φ: A 1 → A 2 такой, что
как естественные изоморфизмы из Hom ( A 2, -) в Hom ( A 1, -). Этот факт легко следует из леммы Йонеды.
В терминах универсальных элементов: если ( A 1, u 1 ) и ( A 2, u 2 ) представляют один и тот же функтор, то существует единственный изоморфизм φ: A 1 → A 2 такой, что
Представимые функторы естественно изоморфны функторам Hom и, следовательно, обладают своими свойствами. В частности, (ковариантные) представимые функторы сохраняют все пределы. Отсюда следует, что любой функтор, не сохраняющий некоторого предела, непредставим.
Контравариантные представимые функторы доводят копределы до пределов.
Любой функтор K : C → Set с сопряженным слева F : Set → C представлен как ( FX, η X (•)), где X = {•} - одноэлементное множество, а η - единица присоединения.
И наоборот, если К представлена парой ( A, U ) и всех малых copowers из А существует в С, то К имеет левый сопряженный F, который посылает каждый набор I к I - й костепени из A.
Следовательно, если C - категория со всеми малыми копровыми степенями, функтор K : C → Set представим тогда и только тогда, когда он имеет левый сопряженный.
Категорные понятия универсальных морфизмов и присоединенных функторов могут быть выражены с помощью представимых функторов.
Пусть G : D → C функтор, и пусть Х быть объектом C. Тогда ( A, φ) является универсальным морфизмом из X в G тогда и только тогда, когда ( A, φ) является представлением функтора Hom C ( X, G -) из D в Set. Отсюда следует, что G имеет левую сопряженный F тогда и только тогда, когда Hom C ( X, G -) представим для всех X в C. Естественный изоморфизм Φ X : Hom D ( FX, -) → Hom C ( X, G -) влечет сопряженность; то есть
биекция для всех X и Y.
Двойственные утверждения также верны. Пусть F : C → D функтор, и пусть Y быть объектом D. Тогда ( A, φ) является универсальным морфизмом из F в Y тогда и только тогда, когда ( A, φ) является представлением функтора Hom D ( F -, Y ) из C в Set. Отсюда следует, что F имеет право сопряженного G тогда и только тогда, когда Хомы D ( F -, Y ) представим для всех Y в D.