Теорема плотности Лебега

В математике, теорема плотности Лебега утверждает, что для любого измеримого по Лебегу множества, то «Плотность» А равно 0 или 1 в почти каждой точке. Кроме того, «Плотность» A равно 1 почти в каждой точке в A. Интуитивно это означает, что «край» A, множество точек в A, чья «окрестность» частично находится в A, а частично вне A, пренебрежимо мало. ${\ Displaystyle А \ подмножество \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Пусть μ - мера Лебега на евклидовом пространстве R ⁿ и A - измеримое по Лебегу подмножество в R ⁿ. Определить приблизительную плотность от А в е-окрестности точки х в R ^п, как

${\ displaystyle d _ {\ varepsilon} (x) = {\ frac {\ mu (A \ cap B _ {\ varepsilon} (x))} {\ mu (B _ {\ varepsilon} (x))}}}$

где B ε обозначает замкнутый шар радиуса ε с центром x.

Плотность Лебега теорема утверждает, что для почти каждой точки х из А плотности

${\ displaystyle d (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} d _ {\ varepsilon} (x)}$

существует и равен 1.

Другими словами, для любого измеримого множества A плотность A равна 0 или 1 почти всюду в R ⁿ. Однако если μ ( A )gt; 0 и μ ( R ⁿ  \  A )gt; 0, то всегда есть точки R ^n, где плотность не равна ни 0, ни 1.

Например, для квадрата на плоскости плотность в каждой точке внутри квадрата равна 1, по краям - 1/2, а по углам - 1/4. Множество точек на плоскости, в которых плотность не равна ни 0, ни 1, непусто (квадратная граница), но им можно пренебречь.

Теорема Лебега о плотности является частным случаем теоремы Лебега о дифференцировании.

Таким образом, эта теорема также верна для любой конечной борелевской меры на R ⁿ вместо меры Лебега, см. Обсуждение.

• Теорема Лебега дифференцирования

• Халлард Т. Крофт. Три решёточные задачи Штейнхауза. Кварта. J. Math. Оксфорд (2), 33: 71-83, 1982.

Эта статья включает в себя материал из теоремы плотности Лебега на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.