Теоретико-множественный предел

редактировать

В математике предел последовательность из наборов A1, A 2,... (подмножества общего набора X) - это набор, элементы которого определяются последовательностью в любом из двух эквивалентными способами: (1) верхними и нижними границами последовательности, которые монотонно сходятся к одному и тому же множеству (аналогично сходимости последовательностей с действительными значениями) и (2) посредством сходимости последовательность индикаторных функций, которые сами по себе являются действительными. Как и в случае с последовательностями других объектов, сходимость не является необходимой или даже обычной.

В более общем смысле, опять же аналогично последовательностям с действительным знаком, менее строгие предельная нижняя грань и предельная верхняя грань заданной последовательности всегда существуют и могут использоваться для определения сходимости : предел существует, если предельная нижняя грань и предельная верхняя грань идентичны. (Смотри ниже). Такие установленные пределы необходимы в теории меры и вероятности.

. Распространено заблуждение, что описанные здесь пределы infimum и supremum включают в себя наборы точек накопления, то есть наборы x = lim k → ∞ xk, где каждый x k находится в некотором A nk. Это верно только в том случае, если сходимость определяется дискретной метрикой (то есть x n → x, если существует N такое, что x n = x для всех n ≥ N). Данная статья ограничена этой ситуацией, поскольку она единственная, имеющая отношение к теории меры и вероятности. См. Примеры ниже. (С другой стороны, существуют более общие топологические понятия сходимости множеств, которые действительно включают точки накопления при различных метриках или топологиях.)

Содержание

1 Определения
- 1.1 Два определения
- 1.2 Монотонные последовательности
2 Свойства
3 Примеры
4 Вероятностные применения
- 4.1 Леммы Бореля – Кантелли
- 4.2 Практически гарантированная сходимость
5 Ссылки

Определения

Два определения

Предположим, что ${A n} n = 1 ∞ {\ displaystyle \ {A_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ {A_ { n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ - это последовательность множеств. Два эквивалентных определения следующие.

Используя union и пересечение, определите

lim inf n → ∞ A n = ⋃ n ≥ 1 ⋂ j ≥ n A j {\ displaystyle \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n \ geq 1} \ bigcap _ {j \ geq n} A_ {j}}

\ liminf_ {n \ rightarrow \ infty} A_n = \ bigcup_ {n \ ge 1} \ bigcap_ {j \ geq n} A_j

lim sup n → ∞ A n = ⋂ n ≥ 1 ⋃ J ≥ N A J {\ Displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ bigcap _ {n \ geq 1} \ bigcup _ {j \ geq n} A_ {j}}

{\ displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ bigcap _ {n \ geq 1} \ bigcup _ {j \ geq n} A_ {j}}

Если эти два набора равны, то теоретико-множественный предел последовательности A n существует и равен этому общему набору. Для получения предела можно использовать любой набор, как описано выше, и могут быть другие средства для получения предела.

Используя индикаторные функции, пусть 1An(x) равняется 1, если x находится в A n и 0 в противном случае. Определим

lim inf n → ∞ A n = {x ∈ X: lim inf n → ∞ 1 A n (x) = 1} {\ displaystyle \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ {x \ in X: \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} \ mathbf {1} _ {A_ {n}} (x) = 1 \}}

\ liminf_ {n \ rightarrow \ infty} A_n = \ {x \ in X: \ liminf_ {n \ rightarrow \ infty} \ mathbf {1} _ {A_n} (x) = 1 \}

lim sup n → ∞ A n знак равно {Икс ∈ Икс: lim sup n → ∞ 1 A n (x) = 1}, {\ displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ {x \ in X: \ limsup _ { n \ rightarrow \ infty} \ mathbf {1} _ {A_ {n}} (x) = 1 \},}

\ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} A_n = \ {x \ in X: \ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} \ mathbf {1} _ {A_n} (x) = 1 \},

где выражения в скобках справа, соответственно, предельная нижняя грань и ограничивают верхнюю грань действительной последовательности 1An(x). Опять же, если эти два набора равны, то теоретико-множественный предел последовательности A n существует и равен этому общему набору, и любой набор, как описано выше, может использоваться для получения предела.

Чтобы увидеть эквивалентность определений, рассмотрим предельную нижнюю грань. Использование правила ДеМоргана ниже объясняет, почему этого достаточно для предельного супремума. Поскольку индикаторные функции принимают только значения 0 и 1, lim inf n → ∞ 1An(x) = 1 тогда и только тогда, когда 1An(x) принимает значение 0 только конечное число раз. Эквивалентно, $x ∈ ⋃ N ≥ 1 ⋂ j ≥ n A j {\ displaystyle \ scriptstyle x \ \ in \ \ bigcup _ {n \ geq 1} \ \ bigcap _ {j \ geq n} A_ {j} }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle x \ \ in \ \ bigcup _ {n \ geq 1} \ \ bigcap _ {j \ geq n} A_ {j}}$ тогда и только тогда, когда существует n такое, что элемент находится в A m для каждого m ≥ n, то есть тогда и только тогда, когда x ∉ A n только для конечного числа n.

Следовательно, x находится в lim inf n → ∞ Anтогда и только тогда, когда x находится во всех, кроме конечного числа A n. По этой причине сокращенная фраза для предельного бесконечного числа - «x ∈ A n все, кроме конечного числа» (или «x ∈ A n все, кроме конечного числа часто»), обычно выражается автор "A n aefo" (или "A n a.b.f.o.").

Аналогично, элемент x находится в предельном супремуме, если независимо от того, насколько велико n, существует m ≥ n такое, что элемент находится в A m. То есть x находится в предельном супремуме тогда и только тогда, когда x находится в бесконечном множестве A n. По этой причине сокращенная фраза для предельного супремума - «x ∈ A n бесконечно часто», обычно выражаемая как «A n i.o.».

Другими словами, нижняя граница предела состоит из элементов, которые «в конечном итоге остаются навсегда» (находятся в каждом наборе после некоторого n), а верхняя граница предела состоит из элементов, которые «никогда не уходят навсегда» (находятся в некоторый набор после каждого n).

Монотонные последовательности

Последовательность {A n } называется невозрастающей, если каждая A n + 1 ⊂ A n и неубывающее, если каждое A n ⊂ A n + 1. В каждом из этих случаев существует установленный предел. Рассмотрим, например, невозрастающую последовательность {A n }. Тогда

⋂ j ≥ n A j = ⋂ j ≥ 1 A j и ⋃ j ≥ n A j = A n. {\ displaystyle \ bigcap _ {j \ geq n} A_ {j} = \ bigcap _ {j \ geq 1} A_ {j} {\ text {and}} \ bigcup _ {j \ geq n} A_ {j} = A_ {n}.}

\ bigcap_ {j \ geq n} A_j = \ bigcap_ {j \ geq 1} A_j \ text {и} \ bigcup_ {j \ geq n} A_j = A_n.

Отсюда следует, что

lim inf n → ∞ A n = ⋃ n ≥ 1 ⋂ j ≥ n A j = ⋂ j ≥ 1 A j = ⋂ n ≥ 1 ⋃ j ≥ n A j = lim sup n → ∞ A n. {\ displaystyle \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n \ geq 1} \ bigcap _ {j \ geq n} A_ {j} = \ bigcap _ {j \ geq 1} A_ {j} = \ bigcap _ {n \ geq 1} \ bigcup _ {j \ geq n} A_ {j} = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n}.}

\ liminf_ {n \ rightarrow \ infty} A_n = \ bigcup_ {n \ geq 1} \ bigcap_ {j \ geq n} A_j = \ bigcap_ {j \ geq 1} A_j = \ bigcap_ {n \ geq 1} \ bigcup_ {j \ geq n} A_j = \ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} A_n.

Аналогично, если {A n } не убывает, то

lim n → ∞ A n = ⋃ j ≥ 1 A j. {\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {j \ geq 1} A_ {j}.}

\ lim_ {n \ rightarrow \ infty} A_n = \ bigcup_ {j \ geq 1} A_j.

Свойства

Если предел 1An(x), поскольку n стремится к бесконечности, существует для всех x, то

lim n → ∞ A n = {x ∈ X: lim n → ∞ 1 A n (x) = 1}. {\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ {x \ in X: \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ mathbf {1} _ {A_ {n}} (x) = 1 \}.}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ {х \ в X: \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ mathbf {1} _ {A_ {n}} (x) = 1 \}.}

В противном случае предел для {A n } не существует.

Можно показать, что нижняя граница предела содержится в предельной верхней грани:

lim inf n → ∞ A n ⊂ lim sup n → ∞ A n, {\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} \ subset \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n},}

\ liminf_ {n \ to \ infty} A_n \ subset \ limsup_ {n \ to \ infty } A_n,

, например, просто наблюдая, что x ∈ A n все, кроме конечного числа часто, подразумевает x ∈ A n бесконечно часто.

Использование монотонности из $B n = ⋂ j ≥ N A j {\ displaystyle \ scriptstyle B_ {n} = \ bigcap _ {j \ geq n} A_ {j}}$ $\ scriptstyle B_n = \ bigcap_ {j \ ge n} A_j$ и из $C n Знак равно ⋃ J ≥ N A J {\ Displaystyle \ scriptstyle C_ {n} = \ bigcup _ {j \ geq n} A_ {j}}$ $\ scriptstyle C_n = \ bigcup_ {j \ ge n} A_j$ ,

lim inf n → ∞ A n = lim n → ∞ ⋂ j ≥ n A j и lim sup n → ∞ A n = lim n → ∞ ⋃ j ≥ n A j. {\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ bigcap _ {j \ geq n} A_ {j} {\ text {and}} \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ bigcup _ {j \ geq n} A_ {j}.}

\ liminf_ {n \ to \ infty} A_n = \ lim_ {n \ to \ infty} \ bigcap_ {j \ ge n} A_j \ text {и} \ limsup_ {n \ to \ infty} A_n = \ lim_ {n \ to \ infty} \ bigcup_ {j \ ge n} A_j.

Используя правило ДеМоргана дважды с дополнением по множеству A = X \ A,

lim inf n → ∞ A n = ⋃ n (⋃ j ≥ n A jc) c = (⋂ n ⋃ j ≥ n A jc) c = (lim sup n → ∞ A nc) c. {\ displaystyle \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n} {\ Bigl (} \ bigcup _ {j \ geq n} A_ {j} ^ {c} {\ Bigr) } ^ {c} = {\ Bigl (} \ bigcap _ {n} \ bigcup _ {j \ geq n} A_ {j} ^ {c} {\ Bigr)} ^ {c} = {\ Bigl (} \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} ^ {c} {\ Bigr)} ^ {c}.}

{\ displaystyle \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n} {\ Bigl (} \ bigcup _ {j \ geq n} A_ {j} ^ {c} {\ Bigr)} ^ {c} = {\ Bigl (} \ bigcap _ {n} \ bigcup _ {j \ geq n} A_ {j} ^ {c} {\ Bigr)} ^ {c} = {\ Bigl (} \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} ^ {c} {\ Bigr)} ^ {c}.}

То есть x ∈ A n все, кроме конечного числа часто, являются то же, что x ∉ A n, но часто.

Из второго определения, приведенного выше, и определений для предельной инфимума и предельной верхней грани вещественнозначной последовательности,

1 lim inf n → ∞ A n (Икс) знак равно lim inf n → ∞ 1 A J (x) = sup n ≥ 1 inf j ≥ n 1 A J (x) {\ displaystyle {\ textbf {1}} _ {\ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n}} (x) = \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} {\ textbf {1}} _ {A_ {j}} (x) = \ sup _ {n \ geq 1} \ inf _ {j \ geq n} {\ textbf {1}} _ {A_ {j}} (x)}

\ textbf {1} _ {\ liminf_ {n \ rightarrow \ infty} A_n} ( x) = \ liminf_ {n \ rightarrow \ infty} \ textbf {1} _ {A_j} (x) = \ sup_ {n \ ge 1} \ inf_ {j \ ge n} \ textbf {1} _ {A_j} (х)

1 lim sup n → ∞ A n (x) = lim sup n → ∞ 1 A j (x) = inf n ≥ 1 sup j ≥ n 1 A j (x). {\ displaystyle {\ textbf {1}} _ {\ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n}} (x) = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ textbf {1}} _ { A_ {j}} (x) = \ inf _ {n \ geq 1} \ sup _ {j \ geq n} {\ textbf {1}} _ {A_ {j}} (x).}

\ textbf {1} _ {\ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} A_n} (x) = \ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} \ textbf {1} _ {A_j} (x) = \ inf_ {n \ ge 1} \ sup_ {j \ ge n} \ textbf {1} _ {A_j} (x).

Предположим $F {\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {F}}}$ $\ scriptstyle {\ mathcal { F}}$ - это σ-алгебра подмножеств X. То есть $F {\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {F}}}$ $\ scriptstyle {\ mathcal { F}}$ непусто и замкнуто при дополнении, объединениях и пересечениях счетного множества множеств. Тогда, согласно первому определению, приведенному выше, если каждое из A n∈ $F {\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {F}}}$ $\ scriptstyle {\ mathcal { F}}$ , то оба lim inf n → ∞ Anи lim sup n → ∞ An- элементы $F {\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {F}}}$ $\ scriptstyle {\ mathcal { F}}$ .

Примеры

Пусть A n = (−1 / n, 1 - 1 / n]. Тогда

lim inf n → ∞ A n = ⋃ n ⋂ j ≥ n (- 1 j, 1 - 1 j] = ⋃ n [0, 1 - 1 n] = [ 0, 1) {\ displaystyle \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n} \ bigcap _ {j \ geq n} {\ Bigl (} - {\ frac {1} { j}}, 1 - {\ frac {1} {j}} {\ Bigr]} = \ bigcup _ {n} {\ Bigl [} 0,1 - {\ frac {1} {n}} {\ Bigr ]} = [0,1)}

\ liminf_ {n \ rightarrow \ infty} A_n = \ bigcup_n \ bigcap_ { j \ ge n} \ Bigl (- \ frac {1} {j}, 1- \ frac {1} {j} \ Bigr] = \ bigcup_n \ Bigl [0, 1- \ frac {1} {n} \ Bigr] = [0, 1)

lim sup n → ∞ A n = ⋂ n ⋃ j ≥ n (- 1 j, 1 - 1 j] = ⋂ n (- 1 n, 1) = [0, 1). {\ Displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ bigcap _ {n} \ bigcup _ {j \ geq n} {\ Bigl (} - {\ frac { 1} {j}}, 1 - {\ frac {1} {j}} {\ Bigr]} = \ bigcap _ {n} {\ Bigl (} - {\ frac {1} {n}}, 1 { \ Bigr)} = [0,1).}

\ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} A_n = \ bigcap_n \ bigcup_ {j \ ge n} \ Bigl (- \ frac {1} {j}, 1- \ frac {1} {j} \ Bigr] = \ bigcap_n \ Bigl (- \ frac {1} {п}, 1 \ Bigr) = [0, 1).

Значит, lim n → ∞ An= [0, 1) существует.

Измените предыдущий пример на A n = ((−1) / n, 1 - (−1) / n]. Тогда

lim inf n → ∞ A n = ⋃ n ⋂ J ≥ N ((- 1) JJ, 1 - (- 1) JJ] = ⋃ N (1 2 N, 1-1 2 N] = (0, 1) {\ Displaystyle \ liminf _ {п \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n} \ bigcap _ {j \ geq n} {\ Bigl (} {\ frac {(-1) ^ {j}} {j}}, 1 - {\ frac {(-1) ^ {j}} {j}} {\ Bigr]} = \ bigcup _ {n} {\ Bigl (} {\ frac {1} {2n}}, 1 - {\ frac {1} {2n}} {\ Bigr]} = (0,1)}

\ liminf_ { n \ rightarrow \ infty} A_n = \ bigcup_n \ bigcap_ {j \ ge n} \ Bigl (\ frac {(- 1) ^ j} {j}, 1- \ frac {(- 1) ^ j} {j} \ Bigr] = \ bigcup_n \ Bigl (\ frac {1} {2n}, 1- \ frac {1} {2n} \ Bigr] = (0, 1)

lim sup n → ∞ A n = ⋂ n ⋃ j ≥ n ((- 1) jj, 1 - (- 1) jj] = ⋂ n (- 1 2 n - 1, 1 + 1 2 n - 1] = [0, 1]. {\ displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ bigcap _ {n} \ bigcup _ {j \ geq n} {\ Bigl (} {\ frac {(-1) ^ {j} } {j}}, 1 - {\ frac {(-1) ^ {j}} {j}} {\ Bigr]} = \ bigcap _ {n} {\ Bigl (} - {\ frac {1} { 2n-1}}, 1 + {\ frac {1} {2n-1}} {\ Bigr]} = [0,1].}

\ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} A_n = \ bigcap_n \ bigcup_ {j \ ge n} \ Bigl (\ frac {(- 1) ^ j} {j}, 1- \ frac {(- 1) ^ j} {j} \ Bigr] = \ bigcap_n \ Bigl (- \ frac {1} {2n-1}, 1 + \ frac {1} {2n-1} \ Bigr] = [0, 1].

Значит, lim n → ∞ Anне существует, несмотря на то, что левый и правый концы интервалов сходятся к 0 и 1 соответственно.

Пусть A n = {0, 1 / n, 2 / n,..., ( n − 1) / n, 1}. Тогда

⋃ j ≥ n A j = Q ∩ [0, 1] {\ displaystyle \ bigcup _ {j \ geq n} A_ {j} = \ mathbb {Q} \ cap [0,1]}

\ bigcup_ {j \ geq n} A_j = \ mathbb {Q} \ cap [0,1]

(это все рациональные числа от 0 до 1 включительно), поскольку даже для j < n and 0 ≤ k ≤ j, k/j = (n×k)/(n×j) is an element of the above. Therefore,

lim sup n → ∞ A n = Q ∩ [0, 1]. {\ displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ mathbb {Q} \ cap [0,1].}

\ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} A_n = \ mathbb {Q} \ cap [ 0,1].

С другой стороны,

⋂ j ≥ n A j = {0, 1}, {\ displaystyle \ bigcap _ {j \ geq n} A_ {j} = \ {0,1 \},}

\ bigcap_ {j \ geq n} A_j = \ {0,1 \},

, что подразумевает

lim inf n → ∞ A n = {0, 1}. {\ displaystyle \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ {0,1 \}.}

\ liminf_ {n \ rightarrow \ infty} A_n = \ {0,1 \}.

В этом случае последовательность A 1, A 2,.... не имеет предела. Обратите внимание, что lim sup n → ∞ Anне является набором точек накопления, который был бы целым интервалом [0, 1] (согласно обычной евклидовой метрике ).

Вероятность использует

Установленные пределы, в частности нижняя граница предела и верхняя грань предела, необходимы для вероятности и теории меры. Такие пределы используются для расчета (или доказательства) вероятностей и мер другие, более целеустремленные наборы. Для следующего, $(X, F, P) {\ displaystyle \ scriptstyle (X, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$ $\ scriptstyle (X, \ mathcal {F}, \ mathbb {P})$ является вероятностным пространством, что означает, что $F {\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {F}}}$ $\ scriptstyle {\ mathcal { F}}$ является σ-алгеброй подмножеств $X {\ displaystyle \ scriptstyle X}$ $\ scriptstyle X$ и $P {\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P}}$ $\ scriptstyle \ mathbb {P}$ - это мера вероятности. на этой σ-алгебре. Множества в σ-алгебре известны как события.

Если A 1, A 2,... является монотонным последовательность событий в $F {\ displaystyl е \ scriptstyle {\ mathcal {F}}}$ $\ scriptstyle {\ mathcal { F}}$ , тогда существует lim n → ∞ Anи

P (lim n → ∞ A n) = lim n → ∞ P (A п). {\ displaystyle \ mathbb {P} (\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n}) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ mathbb {P} (A_ {n}).}

\ mathbb {P} (\ lim_ {n \ rightarrow \ infty} A_n) = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ mathbb {P} (A_n).

Леммы Бореля – Кантелли

С точки зрения вероятности, две леммы Бореля – Кантелли могут быть полезны для демонстрации того, что limsup последовательности событий имеет вероятность, равную 1 или 0. Утверждение первой (исходной) леммы Бореля – Кантелли является

, если ∑ n = 1 ∞ P (A n) < ∞ then P ( lim sup n → ∞ A n) = 0. {\displaystyle {\text{if }}\sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} (A_{n})<\infty {\text{ then }}\mathbb {P} (\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n})=0.}

\ text {if} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {P} (A_n) <\ infty \ text {then} \ mathbb {P} (\ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} A_n) = 0.

Вторая лемма Бореля – Кантелли является частичным обращением:

если A 1, A 2,… являются независимыми событиями и ∑ N = 1 ∞ P (A n) = ∞, тогда P (lim sup n → ∞ A n) = 1. {\ displaystyle {\ text {if}} A_ {1}, A_ {2}, \ dots {\ text {- независимые события, а}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {P} (A_ {n}) = \ infty {\ text {then}} \ mathbb {P } (\ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n}) = 1.}

\ text {if} A_1, A_2, \ dots \ text {являются независимыми событиями, а} \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ mathbb {P} (A_n) = \ infty \ text {then} \ mathbb {P} (\ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} A_n) = 1.

Почти надежная сходимость

Одно из наиболее важных приложений к вероятности - демонстрация почти гарантированная сходимость последовательности случайных величин. Событие, в котором последовательность случайных величин Y 1, Y 2,... сходится к другой случайной величине Y, формально выражается как ${lim sup n → ∞ | Д н - Г | = 0} {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ limsup _ {n \ to \ infty} | Y_ {n} -Y | = 0 \}}$ $\ scriptstyle \ {\ limsup_ {n \ to \ infty} | Y_n - Y | = 0 \}$ . Однако было бы ошибкой писать это просто как набор событий. То есть это не событие $lim sup n → ∞ {| Д н - Г | = 0} {\ displaystyle \ scriptstyle \ limsup _ {n \ to \ infty} \ {| Y_ {n} -Y | = 0 \}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ limsup _ {n \ to \ infty} \ {| Y_ {n} -Y | = 0 \}}$ ! Вместо этого дополнение к событию

{lim sup n → ∞ | Д н - Г | ≠ 0} = {lim sup n → ∞ | Д н - Г |>1 k для некоторого k} {\ displaystyle \ {\ limsup _ {n \ to \ infty} | Y_ {n} -Y | \ neq 0 \} = \ {\ limsup _ {n \ to \ infty} | Y_ {n} -Y |>{\ frac {1} {k}} {\ text {для некоторых}} k \}}

\{\limsup_{n\to\infty}|Y_n - Y| \neq 0\} = \{\limsup_{n\to\infty}|Y_n - Y|>\ frac {1} {k} \ text {для некоторых} k \}

= ⋃ k ≥ k 1 ⋂ N ≥ 1 ⋃ J ≥ N {| Y J - Y |>1 k} = lim k → ∞ lim sup n → ∞ {| Y n - Y |>1 k}. {\ Displaystyle = \ bigcup _ { k \ geq 1} \ bigcap _ {n \ geq 1} \ bigcup _ {j \ geq n} \ {| Y_ {j} -Y |>{\ frac {1} {k}} \} = \ lim _ {k \ to \ infty} \ limsup _ {n \ to \ infty} \ {| Y_ {n} -Y |>{\ frac {1} {k}} \}.}

=\bigcup _{k\geq 1}\bigcap _{n\geq 1}\bigcup _{j\geq n}\{|Y_{j}-Y|>{\ frac {1} {k}} \} = \ lim _ {k \ to \ infty} \ limsup _ {n \ to \ infty} \ {| Y_ {n} -Y |>{\ frac {1} {k }} \}.

Следовательно,

P ({lim sup n → ∞ | Y n - Y | ≠ 0}) = lim k → ∞ P (lim sup n → ∞ {| Y n - Y |>1 k}). {\ displaystyle \ mathbb {P} (\ {\ limsup _ {n \ to \ infty} | Y_ {n} -Y | \ neq 0 \}) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ mathbb {P } (\ limsup _ {n \ to \ infty} \ {| Y_ {n} -Y |>{\ frac {1} {k}} \}).}

\mathbb{P}(\{\limsup_{n\to\infty}|Y_n - Y| \neq 0\}) = \lim_{k\to\infty} \mathbb{P}(\limsup_{n\to\infty} \{|Y_n - Y|>\ frac {1} { k} \}).

<25 Ссылки