Лемма Бореля – Кантелли

редактировать

В теории вероятностей, лемма Бореля – Кантелли - это теорема о последовательностях событий. В общем, это результат теории меры. Он назван в честь Эмиля Бореля и Франческо Паоло Кантелли, которые сформулировали эту лемму в первые десятилетия 20-го века. Связанный результат, иногда называемый второй леммой Бореля – Кантелли, является частичным обратным первой леммы Бореля – Кантелли. Лемма утверждает, что при определенных условиях вероятность события равна нулю или единице. Соответственно, это самая известная из класса подобных теорем, известных как законы нуля или единицы. Другие примеры включают закон нуля – единицы Колмогорова и закон нуля – единицы Хьюитта – Сэвиджа.

Содержание

1 Формулировка леммы для вероятностных пространств
- 1.1 Пример
2 Доказательство
3 Общие интервалы измерения
4 Результат преобразования
- 4.1 Пример
5 Доказательство
6 Аналог
7 Кочен – Стоун
8 См. Также
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Утверждение леммы для вероятностных пространств

Пусть E 1,E2,... - последовательность событий в некотором вероятностном пространстве. Лемма Бореля – Кантелли утверждает:

Если сумма вероятностей E n конечна

∑ n = 1 ∞ Pr (E n) < ∞, {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty,}

\ s um_ {n = 1} ^ \ infty \ Pr (E_n) <\ infty,

, то вероятность того, что бесконечно много из них встречается 0, то есть

Pr (lim sup n → ∞ E n) = 0. {\ displaystyle \ Pr \ left (\ limsup _ {n \ to \ infty} E_ {n} \ right) = 0.}

{\ displaystyle \ Pr \ left (\ limsup _ {n \ to \ infty} E_ {n} \ right) = 0.}

Здесь «lim sup» обозначает верхний предел последовательности событий, и каждое событие представляет собой набор результатов. То есть lim sup E n - это набор результатов, которые происходят бесконечно много раз в бесконечной последовательности событий (E n). Явно

lim sup n → ∞ E n = ⋂ n = 1 ∞ ⋃ k ≥ n ∞ E k. {\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} E_ {n} = \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {k \ geq n} ^ {\ infty} E_ {k}. }

{\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty } E_ {n} = \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {k \ geq n} ^ {\ infty} E_ {k}.}

Набор lim sup E n иногда обозначается {E n io }. Следовательно, теорема утверждает, что если сумма вероятностей событий E n конечна, то множество всех исходов, которые «повторяются» бесконечно много раз, должно произойти с нулевой вероятностью. Обратите внимание, что никаких предположений о независимости не требуется.

Пример

Предположим, (X n) представляет собой последовательность случайных величин с Pr (X n = 0) = 1 / n для каждого n. Вероятность того, что X n = 0 возникает для бесконечного числа n, эквивалентна вероятности пересечения бесконечно большого числа [X n = 0] событий. Пересечение бесконечного множества таких событий - это совокупность общих для всех них исходов. Однако сумма ∑Pr (X n = 0) сходится к π / 6 ≈ 1,645 < ∞, and so the Borel–Cantelli Lemma states that the set of outcomes that are common to infinitely many such events occurs with probability zero. Hence, the probability of Xn = 0, что происходит для бесконечного числа n равно 0. Почти наверняка (т.е. с вероятностью 1) X n отлично от нуля для всех, кроме конечного числа n.

Доказательство

Пусть (E n) будет последовательностью событий в некотором вероятностном пространстве.

Последовательность событий ${⋃ n = N ∞ E n} N = 1 ∞ {\ textstyle \ left \ {\ bigcup _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} \ right \} _ {N = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ textstyle \ left \ {\ bigcup _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} \ right \} _ {N = 1} ^ {\ infty} }$ не возрастает:

⋃ n = 1 ∞ E n ⊇ ⋃ n = 2 ∞ E n ⊇ ⋯ ⊇ ⋃ n = N ∞ E n ⊇ ⋃ n = N + 1 ∞ E n ⊇ ⋯ ⊇ lim sup n → ∞ E n. {\ displaystyle \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} E_ {n} \ supseteq \ bigcup _ {n = 2} ^ {\ infty} E_ {n} \ supseteq \ cdots \ supseteq \ bigcup _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} \ supseteq \ bigcup _ {n = N + 1} ^ {\ infty} E_ {n} \ supseteq \ cdots \ supseteq \ limsup _ {n \ to \ infty} E_ {n}.}

{\ displaystyle \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} E_ {n} \ supseteq \ bigcup _ {n = 2} ^ {\ infty} E_ {n} \ supseteq \ cdots \ supseteq \ bigcup _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} \ supseteq \ bigcup _ {n = N + 1} ^ {\ infty} E_ {n} \ supseteq \ cdots \ supseteq \ limsup _ {n \ to \ infty} E_ {n}.}

По непрерывности сверху

Pr (lim sup n → ∞ E n) = lim N → ∞ Pr (⋃ n = N ∞ E n). {\ displaystyle \ Pr (\ limsup _ {n \ to \ infty} E_ {n}) = \ lim _ {N \ to \ infty} \ Pr \ left (\ bigcup _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} \ right).}

{\ displaystyle \ Pr (\ limsup _ {n \ to \ infty} E_ {n}) = \ lim _ {N \ to \ infty} \ Pr \ left (\ bigcup _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} \ right).}

По субаддитивности

Pr (⋃ n = N ∞ E n) ≤ ∑ n = N ∞ Pr (E n). {\ displaystyle \ Pr \ left (\ bigcup _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} \ right) \ leq \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} \ Pr (E_ {n}).}

{\ displaystyle \ Pr \ left (\ bigcup _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} \ right) \ leq \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} \ Pr (E_ {n}).}

По исходному предположению, $∑ n = 1 ∞ Pr (E n) < ∞. {\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty.}$ ${\ textstyle \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} \ Pr (E_ {n}) <\ infty.}$ Как ряд $∑ n = 1 ∞ Pr (E n) {\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ Pr (E_ {n})}$ ${\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ Pr (E_ {n})}$ сходится,

lim N → ∞ ∑ n = N ∞ Pr (E n) = 0, {\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} \ Pr (E_ {n}) = 0,}

{\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} \ Pr (E_ {n}) = 0,}

по мере необходимости.

Общие пространства с мерой

Для общих пространств с мерой лемма Бореля – Кантелли принимает следующий вид:

Пусть μ (положительная) мера на множестве X с σ-алгеброй F, и пусть (A n) будет последовательностью в F. Если

∑ n = 1 ∞ μ (A п) < ∞, {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty,}

\ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ mu ( A_n) <\ infty,

затем

μ (lim sup n → ∞ A n) = 0. {\ displaystyle \ mu \ left (\ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n} \ right) = 0. }

{\ displaystyle \ mu \ left (\ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n} \ right) = 0.}

Обратный результат

Связанный результат, иногда называемый второй леммой Бореля – Кантелли, является частичным обращением первой леммы Бореля – Кантелли. Лемма утверждает: если события E n независимы и сумма вероятностей E n расходится до бесконечности, то вероятность того, что бесконечно много из их происходит - 1. То есть:

Если

∑ n = 1 ∞ Pr (E n) = ∞ {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ Pr (E_ {n})) = \ infty}

\ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} \ Pr (E_n) = \ infty

и события

(E n) n = 1 ∞ {\ displaystyle (E_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}

(E_n) ^ { \ infty} _ {n = 1}

независимы, тогда

Pr (lim sup n → ∞ E n) = 1. {\ displaystyle \ Pr (\ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} E_ {n}) = 1.}

\ Pr ( \ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} E_n) = 1.

Предположение о независимости можно ослабить до попарной независимости, но в этом случае доказательство сложнее.

Пример

Теорема о бесконечной обезьяне является частным случаем этой леммы.

Лемму можно применить для получения теоремы о покрытии в R . В частности (Stein 1993, Lemma X.2.1), если E j является набором измеримых по Лебегу подмножеств компакта в R такой, что

∑ j μ (E j) = ∞, {\ displaystyle \ sum _ {j} \ mu (E_ {j}) = \ infty,}

\ sum_j \ mu (E_j) = \ infty,

, тогда существует последовательность F j переводится

F j = E j + xj {\ displaystyle F_ {j} = E_ {j} + x_ {j}}

{\ displaystyle F_ {j} = E_ {j} + x_ {j}}

такая, что

lim sup F J знак равно ⋂ N знак равно 1 ∞ ⋃ К знак равно N ∞ F К знак равно R N {\ Displaystyle \ lim \ sup F_ {j} = \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {k = n } ^ {\ infty} F_ {k} = \ mathbb {R} ^ {n}}

\ lim \ sup F_j = \ bigcap_ {n = 1} ^ \ infty \ bigcup_ {k = n} ^ \ infty F_k = \ mathbb {R} ^ n

кроме набора нулевой меры.

Доказательство

Предположим, что $∑ n = 1 ∞ Pr (E n) = ∞ {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ Pr (E_ {n}) = \ infty}$ $\ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ Pr (E_n) = \ infty$ и события $(E n) n = 1 ∞ {\ displaystyle (E_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ $(E_n) ^ \ infty_ {n = 1}$ независимы. Достаточно показать событие, что E n не произошло для бесконечного числа значений n, имеет вероятность 0. Это просто означает, что достаточно показать, что

1 - Pr (lim sup n → ∞ E n) = 0. {\ displaystyle 1- \ Pr (\ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} E_ {n}) = 0.}

{\ displaystyle 1- \ Pr (\ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} E_ {n}) = 0.}

Отметив, что:

1 - Pr (lim sup n → ∞ E n) = 1 - Pr ({E n io}) = Pr ({E n io} c) = Pr ((⋂ N = 1 ∞ ⋃ n = N ∞ E n) c) Знак равно Pr (⋃ N = 1 ∞ ⋂ N = N ∞ E nc) = Pr (lim inf n → ∞ E nc) = lim N → ∞ Pr (⋂ n = N ∞ E nc) {\ displaystyle {\ begin {выровнено } 1- \ Pr (\ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} E_ {n}) = 1- \ Pr \ left (\ {E_ {n} {\ text {io}} \} \ right) = \ Pr \ left (\ {E_ {n} {\ text {io}} \} ^ {c} \ right) \\ = \ Pr \ left (\ left (\ bigcap _ {N = 1} ^ {\ infty } \ bigcup _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} \ right) ^ {c} \ right) = \ Pr \ left (\ bigcup _ {N = 1} ^ {\ infty} \ bigcap _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} ^ {c} \ right) \\ = \ Pr \ left (\ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} E_ {n} ^ {c} \ right) = \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ Pr \ left (\ bigcap _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} ^ {c} \ right) \ end {aligne d}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 1- \ Pr (\ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} E_ { n}) = 1- \ Pr \ left (\ {E_ {n} {\ text {io}} \} \ right) = \ Pr \ left (\ {E_ {n} {\ text {io}} \ } ^ {c} \ right) \\ = \ Pr \ left (\ left (\ bigcap _ {N = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} \ right) ^ {c} \ right) = \ Pr \ left (\ bigcup _ {N = 1} ^ {\ infty} \ bigcap _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} ^ {c} \ right) \\ = \ Pr \ left (\ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} E_ {n} ^ {c} \ right) = \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ Pr \ left (\ bigcap _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} ^ {c} \ right) \ end {align}}}

достаточно показать: $Pr (⋂ n = N ∞ E nc) = 0 {\ displaystyle \ Pr \ left (\ bigcap _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} ^ {c} \ right) = 0}$ $\ Pr \ left (\ bigcap_ {n = N} ^ {\ infty} E_n ^ {c} \ right) = 0$ . Поскольку $(E n) n = 1 ∞ {\ displaystyle (E_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ $(E_n) ^ { \ infty} _ {n = 1}$ независимы:

Pr (⋂ n = N ∞ E nc) = ∏ n = N ∞ Pr (E nc) = ∏ n = N ∞ (1 - Pr (E n)) ≤ ∏ n = N ∞ exp ⁡ (- Pr (E n)) = exp ⁡ (- ∑ N = N ∞ Pr (E n)) = 0. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ Pr \ left (\ bigcap _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} ^ { c} \ right) = \ prod _ {n = N} ^ {\ infty} \ Pr (E_ {n} ^ {c}) \\ = \ prod _ {n = N} ^ {\ infty} ( 1- \ Pr (E_ {n})) \\ \ leq \ prod _ {n = N} ^ {\ infty} \ exp (- \ Pr (E_ {n})) \\ = \ exp \ left (- \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} \ Pr (E_ {n}) \ right) \\ = 0. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Pr \ left (\ bigcap _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} ^ {c } \ right) = \ prod _ {n = N} ^ {\ infty} \ Pr (E_ {n} ^ { c}) \\ = \ prod _ {n = N} ^ {\ infty} (1- \ Pr (E_ {n})) \\ \ leq \ prod _ {n = N} ^ {\ infty} \ exp (- \ Pr (E_ {n})) \\ = \ exp \ left (- \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} \ Pr (E_ {n}) \ right) \\ = 0. \ Конец {выровнено}}}

Это завершает доказательство. В качестве альтернативы мы можем увидеть $Pr (⋂ N = N ∞ E nc) = 0 {\ displaystyle \ Pr \ left (\ bigcap _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} ^ {c} \ right) = 0}$ ${ \ displaystyle \ Pr \ left (\ bigcap _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} ^ {c} \ right) = 0}$ , взяв отрицательный логарифм обеих частей, чтобы получить:

- log ⁡ (Pr (⋂ n = N ∞ E nc)) = - log ⁡ (∏ n = N ∞ (1 - Pr (E n))) = - ∑ n = N ∞ log ⁡ (1 - Pr (E n)). {\ displaystyle {\ begin {align} - \ log \ left (\ Pr \ left (\ bigcap _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} ^ {c} \ right) \ right) = - \ log \ left (\ prod _ {n = N} ^ {\ infty} (1- \ Pr (E_ {n})) \ right) \\ = - \ sum _ {n = N} ^ {\ infty } \ log (1- \ Pr (E_ {n})). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} - \ log \ left (\ Pr \ left (\ bigcap _ {n = N} ^ {\ infty} E_ {n} ^ {c} \ right) \ right) \ right) = - \ log \ left (\ prod _ { n = N} ^ {\ infty} (1- \ Pr (E_ {n})) \ right) \\ = - \ sum _ { n = N} ^ {\ infty} \ log (1- \ Pr (E_ {n})). \ end {align}}}

Поскольку −log (1 - x) ≥ x для всех x>0, результат аналогично следует из нашего предположения, что $∑ n = 1 ∞ Pr (E n) = ∞. {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ Pr (E_ {n}) = \ infty.}$ $\ sum ^ \ infty_ {n = 1} \ Pr (E_n) = \ infty.$

Counterpart

Другой связанный результат - так называемый аналог леммы Бореля – Кантелли . Это аналог леммы в том смысле, что он дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы limsup был равен 1, заменяя предположение независимости совершенно другим предположением, что $(A n) {\ displaystyle (A_ {n})}$ $(A_ {n})$ монотонно возрастает при достаточно больших индексах. Эта лемма гласит:

Пусть $(A n) {\ displaystyle (A_ {n})}$ $(A_ {n})$ таково, что $A k ⊆ A k + 1 {\ displaystyle A_ {k} \ substeq A_ {k + 1}}$ $A_k \ substeq A_ {k + 1}$ , и пусть $A ¯ {\ displaystyle {\ bar {A}}}$ $\ bar A$ обозначает дополнение $А {\ Displaystyle A}$ $A$ . Тогда вероятность появления бесконечного числа $A k {\ displaystyle A_ {k}}$ $A_ {k}$ (то есть, по крайней мере, одного $A k {\ displaystyle A_ {k}}$ $A_ {k}$ ) является единицей тогда и только тогда, когда существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел $(tk) {\ displaystyle (t_ {k})}$ $(t_k)$ такая, что

∑ k Pr ( A tk + 1 ∣ A ¯ tk) = ∞. {\ displaystyle \ sum _ {k} \ Pr (A_ {t_ {k + 1}} \ mid {\ bar {A}} _ {t_ {k}}) = \ infty.}

{\ displaystyle \ sum _ {k} \ Pr (A_ {t_ {k + 1}} \ mid {\ bar {A}} _ {t_ {k}}) = \ infty.}

Этот простой результат может быть полезным в таких задачах, как, например, те, которые связаны с вероятностями попадания в случайный процесс с выбором последовательности $(tk) {\ displaystyle (t_ {k})}$ $(t_k)$ обычно быть сущностью.

Кочен – Стоун

Пусть $A n {\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ будет последовательностью событий с $∑ Pr (A n) Знак равно ∞ {\ displaystyle \ sum \ Pr (A_ {n}) = \ infty}$ ${\ displaystyle \ sum \ Pr (A_ {n}) = \ infty}$ и $lim inf k → ∞ ∑ 1 ≤ m, n ≤ k Pr (A m ∩ A n) (∑ n = 1 k Pr (A n)) 2 < ∞, {\displaystyle \liminf _{k\to \infty }{\frac {\sum _{1\leq m,n\leq k}\Pr(A_{m}\cap A_{n})}{\left(\sum _{n=1}^{k}\Pr(A_{n})\right)^{2}}}<\infty,}$ ${\ displaystyle \ liminf _ {k \ to \ infty} {\ frac {\ sum _ {1 \ leq m, n \ leq k} \ Pr (A_ {m} \ cap A_ {n})} {\ left (\ sum _ {n = 1} ^ {k} \ Pr (A_ {n}) \ right) ^ {2}}} <\ infty,}$ , тогда существует положительная вероятность того, что $A n {\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ встречается бесконечно часто.

См. Также

Литература

Прохоров А.В. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Феллер, Уильям (1961), Введение в теорию вероятностей и ее применение, John Wiley Sons.
Stein, Elias (1993), Гармонический анализ: методы вещественных переменных, ортогональность и осциллирующие интегралы, Princeton University Press.
Bruss, F. Thomas (1980), «Аналог Borel Cantelli Лемма », J. Appl. Probab., 17 : 1094–1101.
Дарретт, Рик. «Вероятность: теория и примеры». Расширенная серия Даксбери, третье издание, Thomson Brooks / Cole, 2005.

Внешние ссылки

Planet Math Proof См. Простое доказательство леммы Бореля Кантелли