Виталий установил

редактировать
Набор действительных чисел, который не поддается измерению по Лебегу

В математике набор Витали является элементарным примером набора действительных чисел, который не является измеримым по Лебегу, найденным с помощью Джузеппе Витали в 1905 году. Теорема Витали - это теорема существования, что такие множества существуют. Существует несчетное количество множеств Витали, и их существование зависит от аксиомы выбора. В 1970 году Роберт Соловей построил модель теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора, в которой все наборы действительных чисел измеримы по Лебегу, предполагая существование недоступной cardinal (см. модель Соловея ).

Содержание

  • 1 Измеримые множества
  • 2 Конструкция и доказательство
    • 2.1 Неизмеримость
  • 3 См. также
  • 4 Ссылки
  • 5 Библиография

Измеримые множества

Некоторые наборы имеют определенную «длину» или «массу». Например, интервал [0, 1] считается имеющим длину 1; в более общем случае, интервал [a, b], a ≤ b, считается имеющим длину b - a. Если мы думаем о таких интервалах как о металлических стержнях с однородной плотностью, они также имеют четко определенные массы. Набор [0, 1] ∪ [2, 3] состоит из двух интервалов длины один, поэтому мы принимаем его общую длину равной 2. Что касается массы, у нас есть два стержня с массой 1, поэтому общая масса равна 2.

Возникает естественный вопрос: если E - произвольное подмножество реальной прямой, имеет ли она «масса» или «общая длина»? В качестве примера мы можем спросить, какова масса набора рациональных чисел, учитывая, что масса интервала [0, 1] равна 1. Рациональные числа плотные в реалов, поэтому любое неотрицательное значение может показаться разумным.

Однако наиболее близким обобщением к массе является сигма-аддитивность, которая дает начало мере Лебега. Он присваивает меру b - a интервалу [a, b], но присваивает меру 0 набору рациональных чисел, потому что он счетный. Любое множество, имеющее четко определенную меру Лебега, называется "измеримым", но конструкция меры Лебега (например, с использованием теоремы о расширении Каратеодори ) не делает очевидным, существуют ли неизмеримые множества.. Ответ на этот вопрос включает аксиому выбора .

Построение и доказательство

Множество Витали - это подмножество V {\ displaystyle V}V из интервал [0, 1] из вещественных чисел такой, что для каждого действительного числа r {\ displaystyle r}r существует ровно одно число v ∈ V {\ displaystyle v \ in V}v \ in V так, что v - r {\ displaystyle vr}{\ displaystyle vr} является рациональным числом. Наборы Vitali существуют потому, что рациональные числа Q образуют нормальную подгруппу действительных чисел R при сложении, и это позволяет построить аддитивная факторгруппа R/Qэтих двух групп, которая является группой, образованной смежными классами рациональных чисел как подгруппа действительных чисел при сложении. Эта группа R/Qсостоит из непересекающихся «сдвинутых копий» Q в том смысле, что каждый элемент этой фактор-группы представляет собой набор формы Q + r для некоторого r в R . Несчетное количество элементов в R/Qразделе R, и каждый элемент плотный в R . Каждый элемент R/Qпересекает [0, 1], и аксиома выбора гарантирует существование подмножества [0, 1], содержащего ровно одного представителя из каждого элемента R/Q. Сформированный таким образом набор называется набором Витали.

Каждый набор Витали V {\ displaystyle V}V неисчислим, а v - u {\ displaystyle vu}{\ displaystyle vu} иррационален для любого u, v ∈ V, u ≠ v {\ displaystyle u, v \ in V, u \ neq v}и, v \ in V, u \ neq v .

неизмеримость

Возможное перечисление рациональных чисел

множество Витали не является -измеримый. Чтобы показать это, мы предполагаем, что V измеримо, и получаем противоречие. Пусть q 1, q 2,... будет перечислением рациональных чисел в [−1, 1] (напомним, что рациональные числа счетны ). Из конструкции V обратите внимание, что переведенные множества V k = V + qk = {v + qk: v ∈ V} {\ displaystyle V_ {k} = V + q_ {k} = \ {v + q_ {k}: v \ in V \}}V_ {k} = V + q_ {k} = \ {v + q_ {k}: v \ in V \} , k = 1, 2,... попарно не пересекаются, и далее обратите внимание, что

[0, 1] ⊆ ⋃ k V k ⊆ [ - 1, 2] {\ displaystyle [0,1] \ substeq \ bigcup _ {k} V_ {k} \ substeq [-1,2]}[0,1] \ substeq \ bigcup _ {k} V_ {k} \ substeq [-1,2] .

Чтобы увидеть первое включение, рассмотрим любое действительное число r в [ 0, 1] и пусть v - представитель в V класса эквивалентности [r]; тогда rv = q i для некоторого рационального числа q i в [-1, 1], что означает, что r находится в V i.

Примените меру Лебега к этим включениям, используя аддитивность сигмы :

1 ≤ ∑ k = 1 ∞ λ (V k) ≤ 3. {\ displaystyle 1 \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ lambda (V_ {k}) \ leq 3.}1 \ leq \ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} \ lambda (V_ {k}) \ leq 3.

Поскольку мера Лебега инвариантна относительно сдвига, λ (V k) = λ (V) {\ displaystyle \ lambda (V_ {k}) = \ lambda (V)}\ lambda (V_ {k}) = \ лямбда (В) и, следовательно,

1 ≤ ∑ k = 1 ∞ λ (V) ≤ 3. {\ displaystyle 1 \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ lambda (V) \ leq 3.}1 \ leq \ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} \ лямбда (V) \ leq 3.

Но это невозможно. Суммирование бесконечного числа копий константы λ (V) дает либо ноль, либо бесконечность, в зависимости от того, равна ли константа нулю или положительна. Ни в том, ни в другом случае сумма в [1, 3] не является суммой. Таким образом, V не может быть измеримым в конце концов, т.е. мера Лебега λ не должна определять какое-либо значение для λ (V).

См. Также

Ссылки

Библиография

Последняя правка сделана 2021-06-18 04:06:52
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте