В математике набор Витали является элементарным примером набора действительных чисел, который не является измеримым по Лебегу, найденным с помощью Джузеппе Витали в 1905 году. Теорема Витали - это теорема существования, что такие множества существуют. Существует несчетное количество множеств Витали, и их существование зависит от аксиомы выбора. В 1970 году Роберт Соловей построил модель теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора, в которой все наборы действительных чисел измеримы по Лебегу, предполагая существование недоступной cardinal (см. модель Соловея ).
Некоторые наборы имеют определенную «длину» или «массу». Например, интервал [0, 1] считается имеющим длину 1; в более общем случае, интервал [a, b], a ≤ b, считается имеющим длину b - a. Если мы думаем о таких интервалах как о металлических стержнях с однородной плотностью, они также имеют четко определенные массы. Набор [0, 1] ∪ [2, 3] состоит из двух интервалов длины один, поэтому мы принимаем его общую длину равной 2. Что касается массы, у нас есть два стержня с массой 1, поэтому общая масса равна 2.
Возникает естественный вопрос: если E - произвольное подмножество реальной прямой, имеет ли она «масса» или «общая длина»? В качестве примера мы можем спросить, какова масса набора рациональных чисел, учитывая, что масса интервала [0, 1] равна 1. Рациональные числа плотные в реалов, поэтому любое неотрицательное значение может показаться разумным.
Однако наиболее близким обобщением к массе является сигма-аддитивность, которая дает начало мере Лебега. Он присваивает меру b - a интервалу [a, b], но присваивает меру 0 набору рациональных чисел, потому что он счетный. Любое множество, имеющее четко определенную меру Лебега, называется "измеримым", но конструкция меры Лебега (например, с использованием теоремы о расширении Каратеодори ) не делает очевидным, существуют ли неизмеримые множества.. Ответ на этот вопрос включает аксиому выбора .
Множество Витали - это подмножество из интервал [0, 1] из вещественных чисел такой, что для каждого действительного числа существует ровно одно число так, что является рациональным числом. Наборы Vitali существуют потому, что рациональные числа Q образуют нормальную подгруппу действительных чисел R при сложении, и это позволяет построить аддитивная факторгруппа R/Qэтих двух групп, которая является группой, образованной смежными классами рациональных чисел как подгруппа действительных чисел при сложении. Эта группа R/Qсостоит из непересекающихся «сдвинутых копий» Q в том смысле, что каждый элемент этой фактор-группы представляет собой набор формы Q + r для некоторого r в R . Несчетное количество элементов в R/Qразделе R, и каждый элемент плотный в R . Каждый элемент R/Qпересекает [0, 1], и аксиома выбора гарантирует существование подмножества [0, 1], содержащего ровно одного представителя из каждого элемента R/Q. Сформированный таким образом набор называется набором Витали.
Каждый набор Витали неисчислим, а иррационален для любого .
множество Витали не является -измеримый. Чтобы показать это, мы предполагаем, что V измеримо, и получаем противоречие. Пусть q 1, q 2,... будет перечислением рациональных чисел в [−1, 1] (напомним, что рациональные числа счетны ). Из конструкции V обратите внимание, что переведенные множества , k = 1, 2,... попарно не пересекаются, и далее обратите внимание, что
Чтобы увидеть первое включение, рассмотрим любое действительное число r в [ 0, 1] и пусть v - представитель в V класса эквивалентности [r]; тогда rv = q i для некоторого рационального числа q i в [-1, 1], что означает, что r находится в V i.
Примените меру Лебега к этим включениям, используя аддитивность сигмы :
Поскольку мера Лебега инвариантна относительно сдвига, и, следовательно,
Но это невозможно. Суммирование бесконечного числа копий константы λ (V) дает либо ноль, либо бесконечность, в зависимости от того, равна ли константа нулю или положительна. Ни в том, ни в другом случае сумма в [1, 3] не является суммой. Таким образом, V не может быть измеримым в конце концов, т.е. мера Лебега λ не должна определять какое-либо значение для λ (V).