Полная мера

измерения пространства, где каждое подмножество набора с нулевой мерой измеримо (и имеет нулевую меру)

В математике полная мера (или, точнее, полная мера space ) - это пространство измерений, в котором каждое подмножество каждого нулевого набора является измеримым (имеющим нулевую меру ). формально пространство меры (X, Σ, μ) является полным тогда и только тогда, когда

$S\; \subseteq \; N\; \in \; \Sigma \; и\; \mu \; (N)\; =\; 0\; \Rightarrow \; S\; \in \; \Sigma .\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; substeq\; N\; \backslash \; in\; \backslash \; Sigma\; \{\; \backslash \; t\_dv\; \{and\}\}\; \backslash \; mu\; (N)\; =\; 0\; \backslash \; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; S\; \backslash \; in\; \backslash \; Sigma.\}$

• 1 Мотивация
• 2 Построение полной меры
• 3 Примеры
• 4 объекта
• 5 Ссылки

Необходимость рассмотрения вопросов полноты может быть проиллюстрирована рассмотрением проблемы пространств продуктов.

Предположим, что мы уже построили меру Лебега на вещественной прямой : обозначим это пространство мер через (R, B, λ). Теперь мы хотим построить некоторую двумерную меру Лебега λ на плоскости R как меру произведения. Наивно, мы бы взяли σ-алгебру на R как B ⊗ B, наименьшую σ-алгебру, содержащую все измеримые «прямоугольники» A 1 × A 2 для A i ∈ B.

Хотя этот подход действительно определяет пространство измерения, он имеет недостаток. Поскольку каждый одноэлементный набор имеет одномерную нулевую меру Лебега,

$\lambda \; 2\; (\{0\}\; \times \; A)\; =\; \lambda \; (\{0\})\; \cdot \; \lambda \; (A)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; \{0\; \backslash \}\; \backslash \; times\; A)\; =\; \backslash \; lambda\; (\backslash \; \{0\; \backslash \})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; lambda\; (A)\; =\; 0\}$

для "любого" подмножества A из R . Однако предположим, что A - это неизмеримое подмножество реальной линии, такое как набор Витали. Тогда λ-мера для {0} × A не определена, но

$\{0\}\; \times \; A\; \subseteq \; \{0\}\; \times \; R,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\; \backslash \; times\; A\; \backslash \; substeq\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{R\},\}$

и это большее множество имеет нулевую λ-меру. Итак, эта «двумерная мера Лебега», как только что определено, не является полной, и требуется некоторая процедура завершения.

Для (возможно неполного) пространства с мерой (X, Σ, μ) существует расширение (X, Σ 0, μ 0) этого полного пространства мер. Наименьшее такое расширение (то есть наименьшая σ-алгебра Σ 0) называется пополнением пространства меры.

Пополнение может быть построено следующим образом:

• пусть Z будет множеством всех подмножеств подмножеств X с нулевой μ-мерой (интуитивно те элементы Z, которые еще не входят в Σ, являются те, которые препятствуют соблюдению полноты);
• пусть Σ 0 будет σ-алгеброй, порожденной Σ и Z (то есть наименьшей σ-алгеброй, которая содержит каждый элемент Σ и Z);
• μ имеет расширение до Σ 0 (которое уникально, если μ является σ-конечным ), которое называется внешней мерой μ, заданное точной нижней гранью

$\mu \; 0\; (C):\; =\; inf\; \{\mu \; (D)\; \mid \; C\; \subseteq \; D\; \in \; \Sigma \}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; (C):\; =\; \backslash \; inf\; \backslash \; \{\backslash \; mu\; (D)\; \backslash \; mid\; C\; \backslash \; substeq\; D\; \backslash \; in\; \backslash \; Sigma\; \backslash \}.\}$

Тогда (X, Σ 0, μ 0) является полным пространством с мерой и является пополнением (X, Σ, μ).

В приведенной выше конструкции можно показать, что каждый член Σ 0 имеет вид A ∪ B для некоторого A ∈ Σ и некоторого B ∈ Z, и

$\mu \; 0\; (A\; \cup \; B)\; =\; \mu \; (A).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; (A\; \backslash \; cup\; B)\; =\; \backslash \; mu\; (A).\}$

• мера Бореля, как определено на борелевской σ-алгебре, генерируемой открытым интервалы реальной прямой не завершены, поэтому для определения полной меры Лебега необходимо использовать описанную выше процедуру завершения. Это иллюстрируется тем фактом, что множество всех борелевских множеств над действительными числами имеет ту же мощность, что и действительные числа. В то время как множество Кантора является борелевским, имеет нулевую меру, а его набор мощности имеет мощность, строго превышающую мощность действительных чисел. Таким образом, существует подмножество канторова множества, которое не содержится в борелевских множествах. Следовательно, мера Бореля неполна.
• n-мерная мера Лебега - это пополнение n-кратного произведения одномерного пространства Лебега на себя. Это также завершение меры Бореля, как и в одномерном случае.

Теорема Махарама утверждает, что каждое полное пространство с мерой разложимо в меру на континууме, и конечной или счетной счетной мерой.

• Терехин, А.П. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press