Концепция динамической системы - это математическая формализация для любого фиксированного «правила», которое описывает временную зависимость положения точки в ее окружающий пробел. Эта концепция объединяет очень разные типы таких «правил» в математике: различные варианты измерения времени и особые свойства окружающего пространства могут дать представление об обширности класса описываемых объектов. по этой концепции. Время может быть измерено целыми числами, действительными или комплексными числами или может быть более общим алгебраическим объектом, теряющим память о своем физическом происхождении, а окружающее пространство может быть просто набором, без необходимости определенная на нем гладкая пространственно-временная структура.
Есть два класса определений для динамической системы : один мотивируется обыкновенными дифференциальными уравнениями и имеет геометрический оттенок; а другой мотивирован эргодической теорией и является теоретической мерой по вкусу. Теоретические определения меры предполагают существование преобразования, сохраняющего меру. Это, по-видимому, исключает диссипативные системы, поскольку в диссипативной системе небольшая область фазового пространства сжимается при временной эволюции. Простая конструкция (иногда называемая теоремой Крылова – Боголюбова ) показывает, что всегда можно построить меру так, чтобы правило эволюции динамической системы оставалось преобразованием, сохраняющим меру. При построении заданная мера пространства состояний суммируется для всех будущих точек траектории, обеспечивая инвариантность.
Трудность построения естественной меры для динамической системы затрудняет развитие эргодической теории, исходя из дифференциальных уравнений, поэтому становится удобным иметь определение, мотивированное динамическими системами, в рамках эргодической теории, которое уклоняется от выбора меры.
В самом общем смысле динамическая система - это кортеж (T, M, Φ), где T - это моноид, записанный аддитивно, M - непустое множество, а Φ - функция
с
Функция Φ (t, x) называется функцией эволюции динамической системы em: он связывает с каждой точкой в наборе M уникальное изображение, в зависимости от переменной t, называемое параметром эволюции . M называется фазовым пространством или пространством состояний, а переменная x представляет начальное состояние системы.
Мы часто пишем
, если мы возьмем одну из переменных как постоянную.
называется потоком через x и его график . траектория через x. Множество
называется орбитой через x. Обратите внимание, что орбита через x - это изображение потока через x. Подмножество S пространства состояний M называется Φ- инвариантным, если для всех x в S и всех t в T
Таким образом, в частности, если S является инвариантом Φ-, для всех x в S. То есть, поток через x должен быть определен на все время для каждого элемента S.
В следующих случаях M - это многообразие (или его крайний случай - граф ). Динамические системы определяются как кортежи, один элемент которых является многообразием.
Реальная динамическая система, динамическая система в реальном времени, динамическая система в непрерывном времени или поток - это кортеж (T, M, Φ) с T открытым интервалом в вещественных числах R, M многообразием, локально диффеоморфным банахову пространству, и Φ - непрерывная функция. Если T = R, мы называем систему глобальной, если T ограничивается неотрицательными действительными числами, мы называем систему полупотоком. Если Φ непрерывно дифференцируема, мы говорим, что система является дифференцируемой динамической системой. Если многообразие M локально диффеоморфно R, динамическая система конечномерна; в противном случае динамическая система бесконечномерна. Обратите внимание, что здесь не предполагается симплектическая структура.
Дискретная динамическая система, динамическая система с дискретным временем, карта или каскад является кортежем (T, M, Φ), где T - множество целых чисел, M - многообразие, локально диффеоморфное банахову пространству, а Φ - функция. Если T ограничен неотрицательными целыми числами, мы называем систему полукаскадом.
Клеточный автомат - это набор (T, M, Φ), где T a решетка, такая как целые числа или многомерная целочисленная сетка, M - это набор функций из целочисленной решетки (опять же, с одним или несколькими измерениями) к конечному множеству, а Φ - (локально определенная) эволюционная функция. Таким образом, клеточные автоматы являются динамическими системами. Решетка в M представляет собой решетку «пространства», а решетка в T представляет решетку «времени».
Формально динамическая система может быть определена как сохраняющее меру преобразование сигма-алгебры, триплета (T, (X, Σ, μ), Φ) Здесь T - моноид (обычно неотрицательные целые числа), X - множество, а (X, Σ, μ) - вероятностное пространство. Отображение Φ: X → X называется Σ-измеримым тогда и только тогда, когда для любого σ из Σ выполняется Φ (σ) ∈ Σ. Говорят, что отображение Φ сохраняет меру тогда и только тогда, когда для каждого σ из Σ выполняется μ (Φ (σ)) = μ (σ). Комбинируя вышесказанное, отображение Φ называется сохраняющим меру преобразованием X, если это отображение из X в себя, оно Σ-измеримо и сохраняет меру. Тройка (T, (X, Σ, μ), Φ) для такого Φ затем определяется как динамическая система .
Отображение Φ воплощает эволюцию динамической системы во времени. Таким образом, для дискретных динамических систем повторяет для каждого целого n. Для непрерывных динамических систем отображение Φ понимается как отображение эволюции за конечное время, и конструкция более сложна.
Многие различные инвариантные меры могут быть связаны с любым одним правилом эволюции. В эргодической теории предполагается, что выбор сделан, но если динамическая система задается системой дифференциальных уравнений, необходимо определить соответствующую меру. У некоторых систем есть естественная мера, такая как мера Лиувилля в гамильтоновых системах, выбранная по сравнению с другими инвариантными мерами, такими как меры, поддерживаемые на периодических орбитах гамильтоновой системы. Для многих диссипативных хаотических систем выбор инвариантной меры технически более сложен. Мера должна иметь носитель на аттракторе, но аттракторы имеют нулевую меру Лебега, а инвариантные меры должны быть сингулярными по отношению к мере Лебега.
Для гиперболических динамических систем кажется естественным выбором. Они построены на геометрической структуре устойчивых и неустойчивых многообразий динамической системы; они ведут себя физически при малых возмущениях; и они объясняют многие наблюдаемые статистические данные гиперболических систем.
Концепция эволюции во времени занимает центральное место в теории динамических систем, как было показано в предыдущих разделах: основная причина этого факта заключается в том, что исходная мотивация Теория была изучением поведения классических механических систем во времени, то есть изучением задач с начальным значением для их описывающих систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
где
Решением является функция эволюции, уже введенная выше в
Некоторые формальные манипуляции с системой дифференциальных уравнений, показанное выше, дает более общую форму уравнений, которым динамическая система должна удовлетворять
где - это функционал из набора функций эволюции в поле комплексных чисел.
Дана глобальная динамическая система (R, X, Φ) на локально компактном и Хаусдорфе топологическое пространство X, часто бывает полезно изучить непрерывное расширение Φ * пространства Φ до одноточечной компактификации X * пространства X. Хотя мы теряем дифференциальную структуру В исходной системе мы теперь можем использовать аргументы компактности для анализа новой системы (R, X *, Φ *).
В компактных динамических системах предельный набор любой орбиты непустой, компактный и односвязный.