Кусочно-линейная функция

редактировать

В математике и статистике, кусочно-линейной, PLили сегментированная функция - это функция с действительным знаком вещественной переменной, график которой состоит из прямолинейных сегментов.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Примеры
  • 3 Подгонка к кривой
  • 4 Подгонка к данным
  • 5 Обозначение
  • 6 Приложения
  • 7 См. Также
  • 8 Дополнительная литература
  • 9 Ссылки

Определение

Кусочно-линейная функция - это функция, определенная на (возможно, неограниченном) интервале из действительных чисел, такая, что существует набор интервалов на каждом из которая является аффинной функцией . Если область определения функции компактная, должен существовать конечный набор таких интервалов; если область некомпактна, может потребоваться, чтобы она была либо конечной, либо локально конечной в вещественных числах.

Примеры

Непрерывная кусочно-линейная функция

Функция, определенная как

f (x) = {- x - 3, если x ≤ - 3 x + 3 if - 3 < x < 0 − 2 x + 3 if 0 ≤ x < 3 0.5 x − 4.5 if x ≥ 3 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}-x-3{\text{if }}x\leq -3\\x+3{\text{if }}-3{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} -x-3 {\ text {if}} x \ leq -3 \\ x + 3 {\ text {if}} - 3 <x <0 \\ - 2x + 3 {\ text {if}} 0 \ leq x <3 \\ 0.5x-4.5 {\ text {if} } x \ geq 3 \ end {case}}}

is кусочно-линейный из четырех частей. График этой функции показан справа. Поскольку график линейной функции представляет собой линию линии, график кусочно-линейной функции состоит из отрезков линии и лучей. Значения x (в приведенном выше примере –3, 0 и 3), где изменяется наклон, обычно называют точками останова, точками изменения, пороговыми значениями или узлами. Как и во многих приложениях, эта функция также является непрерывной. График непрерывной кусочно-линейной функции на компактном интервале представляет собой многоугольную цепочку.

Другие примеры кусочно-линейных функций включают функцию абсолютного значения, пилообразную функцию, и нижняя функция.

Подгонка к кривой

Функция (синий) и кусочно-линейная аппроксимация к ней (красный)

Приближение к известной кривой можно найти путем выборки кривой и интерполяции линейно между точками. Был опубликован алгоритм вычисления наиболее значимых точек с учетом заданной устойчивости к ошибкам.

Подгонка к данным

Если разделы, а затем контрольные точки уже известны, линейная регрессия может выполняться независимо на этих разделах. Однако в этом случае не сохраняется преемственность, а также отсутствует уникальная эталонная модель, лежащая в основе наблюдаемых данных. Был получен стабильный алгоритм для этого случая.

Если разделы не известны, остаточная сумма квадратов может использоваться для выбора оптимальных точек разделения. Однако эффективное вычисление и совместная оценка всех параметров модели (включая точки останова) могут быть получены с помощью итеративной процедуры, которая в настоящее время реализована в пакете segmentedдля языка R.

Вариант Обучение дереву решений, которое называется изучением кусочно-линейных функций.

Обозначение

Кусочно-линейная функция в двух измерениях (вверху) и выпуклых многогранниках, на которых она является линейной (внизу)

Понятие кусочно-линейная функция имеет смысл в нескольких различных контекстах. Кусочно-линейные функции могут быть определены в n-мерном евклидовом пространстве или, в более общем смысле, в любом векторном пространстве или аффинном пространстве, а также на кусочно-линейных многообразиях, симплициальных комплексах и т. д. В каждом случае функция может быть вещественной -значной или может принимать значения из векторного пространства, аффинного пространства, кусочно-линейного многообразия или симплициального комплекса. (В этих контекстах термин «линейный» относится не только к линейным преобразованиям, но к более общим аффинным линейным функциям.)

В размерах больше единицы., обычно требуется, чтобы домен каждой части был многоугольником или многогранником. Это гарантирует, что график функции будет состоять из многоугольных или многогранных частей.

Важные подклассы кусочно-линейных функций включают непрерывные кусочно-линейные функции и выпуклые кусочно-линейные функции. В общем, для любой n-мерной непрерывной кусочно-линейной функции f: R n → R {\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}f : {\ mathbb {R}} ^ {n} \ to {\ mathbb {R}} , существует

Π ∈ P (P (R n + 1)) {\ displaystyle \ Pi \ in {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (\ mathbb {R} ^ {n + 1}))}\ Pi \ in {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} ({\ mathbb {R}} ^ {{n + 1}}))

такая, что

f (x →) = min Σ ∈ Π max (a →, b) ∈ Σ a → ⋅ x → + b. {\ displaystyle f ({\ vec {x}}) = \ min _ {\ Sigma \ in \ Pi} \ max _ {({\ vec {a}}, b) \ in \ Sigma} {\ vec {a }} \ cdot {\ vec {x}} + b.}{\ displaystyle f ({\ vec {x}}) = \ min _ {\ Sigma \ in \ Pi} \ max _ {({\ vec {a}}, b) \ in \ Sigma} {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {x}} + b.}

Если f {\ displaystyle f}f выпукло и непрерывно, то существует

Σ ∈ P ( R n + 1) {\ displaystyle \ Sigma \ in {\ mathcal {P}} (\ mathbb {R} ^ {n + 1})}\ Sigma \ in {\ mathcal {P}} ({\ mathbb {R}} ^ {{n + 1}})

такой, что

f (x →) = max (a →, b) ∈ Σ a → ⋅ x → + b. {\ displaystyle f ({\ vec {x}}) = \ max _ {({\ vec {a}}, b) \ in \ Sigma} {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {x}} + b.}{\ displaystyle f ({\ vec {x} }) = \ max _ {({\ vec {a}}, b) \ in \ Sigma} {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {x}} + b.}

Сплайны обобщают кусочно-линейные функции на многочлены более высокого порядка, которые, в свою очередь, входят в категорию кусочно-дифференцируемых функций, PDIFF.

Приложения

Обрезка отклика на глубину водного стола Пример реакции растений на засоление почвы

В сельском хозяйстве кусочно регрессионный анализ измеренных данных используется для определения диапазона, в котором факторы роста влияют на урожайность и диапазон, в котором культура нечувствительна к изменениям этих факторов.

На изображении слева показано, что при неглубоких водосборах урожайность снижается, тогда как на более глубоких (>7 дм) водосборах урожайность не изменяется. График построен с использованием метода наименьших квадратов, чтобы найти два сегмента с наилучшим соответствием.

. График справа показывает, что урожайность допускает a засоление почвы до ECe = 8 dS / m (ECe - электрическая проводимость экстракта из насыщенного образца почвы), при превышении этого значения урожайность снижается. График построен методом частичной регрессии, чтобы найти самый длинный диапазон «отсутствия эффекта», т.е. когда линия является горизонтальной. Два сегмента не обязательно должны соединяться в одной точке. Только для второго сегмента используется метод наименьших квадратов.

См. Также

Дополнительная литература

Источники

Последняя правка сделана 2021-06-02 05:11:57
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте