Сплайн-интерполяция

Математический метод

В поле Mathematical в числовом анализе, сплайн-интерполяция - это форма интерполяции, где интерполянт - это особый тип пошагового полинома, называемый сплайн. Сплайн-интерполяция часто предпочтительнее, чем полиномиальная интерполяция , потому что ошибку интерполяции можно сделать небольшой даже при использовании полиномов низкой степени для сплайна. Сплайн-интерполяция позволяет избежать проблемы явления Рунге, при котором колебания могут возникать между точками при интерполяции с использованием многочленов высокой степени.

• 1 Введение
• 2 Алгоритм для поиска интерполирующего кубического сплайна
• 3 Пример
• 4 См. Также
• 5 Компьютерный код
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Первоначально сплайн был термином для упругих линейок, которые были изогнуты, чтобы проходить через несколько заранее определенных точек («узлов»). Они использовались для создания технических чертежей для судостроения и строительства вручную, как показано на Рисунке 1.

Рисунок 1: Интерполяция кубическими шлицами между восемью точками. Нарисованные от руки технические чертежи были сделаны для судостроения и т. Д. С использованием гибких линейок, которые были изогнуты в соответствии с заранее заданными точками

Подход к математическому моделированию формы таких упругих линейок, закрепленных n + 1 узлами $\{(xi,\; yi):\; я\; знак\; равно\; 0,\; 1,\; \cdots ,\; n\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{(x\_\; \{i\},\; y\_\; \{i\}):\; i\; =\; 0,1,\; \backslash \; cdots,\; n\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$- интерполировать между всеми парами узлов $(xi\; -\; 1,\; yi\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{i-1\},\; y\_\; \{i-1\})\}$и $(xi,\; yi)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{i\},\; y\_\; \{i\})\}$с многочленами $y\; =\; qi\; (x),\; i\; =\; 1,\; 2,\; \cdots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; q\_\; \{i\}\; (x),\; i\; =\; 1,2,\; \backslash \; cdots,\; n\}$.

кривизна кривой $y\; =\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; f\; (x)\}$определяется как:

$\kappa \; =\; y\; ″\; (1\; +\; y\; \prime \; 2)\; 3/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; =\; \{\backslash \; frac\; \{y\; \text{'}\text{'}\}\; \{(\; 1\; +\; y\; \text{'}^\; \{2\})\; ^\; \{3/2\}\}\}\}$

Поскольку сплайн примет форму, минимизирующую изгиб (при ограничении прохождения через все узлы), оба $y\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}\}$и $y\; ″\; \{\backslash \; displaystyle\; y\text{'}\; \text{'}\}$будет непрерывным везде и в узлах. Для этого нужно иметь

$\{qi\; \prime \; (xi)\; =\; qi\; +\; 1\; \prime \; (xi)\; qi\; ″\; (xi)\; =\; qi\; +\; 1\; ″\; (xi)\; 1\; \le \; i\; \le \; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; q\; \text{'}\_\; \{i\}\; (x\_\; \{i\})\; =\; q\text{'}\; \_\; \{i\; +\; 1\}\; (x\_\; \{i\})\; \backslash \backslash \; q\; \text{'}\text{'}\; \_\; \{i\}\; (x\_\; \{i\})\; =\; q\; \text{'}\text{'}\; \_\; \{i\; +\; 1\}\; (x\_\; \{i\})\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\; \backslash \; qquad\; 1\; \backslash \; leq\; i\; \backslash \; leq\; n-1\}$

Этого можно достичь, только если используются многочлены степени 3 или выше. Классический подход заключается в использовании полиномов степени 3 - случай кубических сплайнов.

полином третьего порядка $q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; (x)\}$, для которого

$q\; (x\; 1)\; =\; y\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; (x\_\; \{1\})\; =\; y\_\; \{1\}\}$

$q\; (x\; 2)\; =\; y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; (x\_\; \{2\})\; =\; y\_\; \{2\}\}$

$q\; \prime \; (x\; 1)\; =\; k\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \text{'}(x\_\; \{1\})\; =\; k\_\; \{1\}\}$

$q\; \prime \; (X\; 2)\; =\; k\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \text{'}(x\_\; \{2\})\; =\; k\_\; \{2\}\}$

можно записать в симметричной форме

$q\; (x)\; =\; (1\; -\; t\; (x))\; Y\; 1\; +\; T\; (Икс)\; Y\; 2\; +\; T\; (Икс)\; (1\; -\; T\; (Икс))\; ((1\; -\; T\; (Икс))\; а\; +\; T\; (Икс)\; б)\; \{\backslash \; Displaystyle\; д\; (х)\; =\; \{\backslash \; big\; (\}\; 1-t\; (x)\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash ,\; y\_\; \{1\}\; +\; t\; (x)\; \backslash ,\; y\_\; \{2\}\; +\; t\; (x)\; \{\backslash \; big\; (\}\; 1-t\; (x)\; \{\backslash \; big)\}\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; 1-t\; (x)\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash ,\; a\; +\; t\; (x)\; \backslash ,\; b\; \{\backslash \; Big)\}\}$

(1)

где

$t\; (x)\; =\; x\; -\; x\; 1\; x\; 2\; -\; x\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x-x\_\; \{1\}\}\; \{x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\}\},\; \}$

(2)

$a\; =\; k\; 1\; (x\; 2\; -\; x\; 1)\; -\; (y\; 2\; -\; y\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; k\_\; \{1\}\; (x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\; -\; (y\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\}),\}$

(3)

$b\; =\; -\; k\; 2\; (x\; 2\; -\; x\; 1)\; +\; (y\; 2\; -\; y\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; -k\_\; \{2\}\; (x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\; +\; (y\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\}).\}$

(4)

As

$q\; \prime \; =\; dqdx\; =\; dqdtdtdx\; =\; dqdt\; 1\; x\; 2\; -\; x\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{dq\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dq\}\; \{dt\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dt\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dq\}\; \{dt\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\}\}\}$

получается, что:

$q\; \prime \; =\; y\; 2\; -\; y\; 1\; x\; 2\; -\; Икс\; 1\; +\; (1-2\; t)\; a\; (1\; -\; t)\; +\; btx\; 2\; -\; x\; 1\; +\; t\; (1\; -\; t)\; b\; -\; ax\; 2\; -\; x\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\}\}\; \{x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\}\}\; +\; (1-2t)\; \{\backslash \; frac\; \{a\; (1-t)\; +\; bt\}\; \{x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\}\}\; +\; t\; (1-t)\; \{\backslash \; frac\; \{ba\}\; \{x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\}\},\}$

(5)

$q\; ″\; =\; 2\; b\; -\; 2\; a\; +\; (a\; -\; b)\; 3\; т\; (х\; 2\; -\; х\; 1)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \text{'}\text{'}\; =\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{b-2a\; +\; (ab)\; 3t\}\; \{\{(x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\}\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

(6)

Устанавливая t = 0 и t = 1 соответственно в уравнениях (5) и (6), из (2) получаем, что действительно первые производные q ′ (x 1) = k 1 и q ′ (x 2) = k 2, а также вторые производные

$q\; ″\; (x\; 1)\; =\; 2\; b\; -\; 2\; a\; (x\; 2\; -\; x\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \text{'}\text{'}\; (x\_\; \{1\})\; =\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{b-2a\}\; \{\{(x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$

(7)

$q\; ″\; (x\; 2)\; =\; 2\; a\; -\; 2\; b\; (x\; 2\; -\; x\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \text{'}\text{'}\; (x\_\; \{2\})\; =\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{a-2b\}\; \{\; \{(x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$

(8)

Если сейчас (x i, y i), i = 0, 1,..., n - это n + 1 точка и

$qi\; =\; (1\; -\; t)\; yi\; -\; 1\; +\; tyi\; +\; t\; (1\; -\; t)\; ((1\; -\; t)\; ai\; +\; tbi)\; \{\backslash \; Displaystyle\; д\_\; \{я\}\; =\; (1-т)\; \backslash ,\; у\_\; \{я-1\}\; +\; т\; \backslash ,\; у\_\; \{я\}\; +\; т\; (1-т)\; \{\backslash \; большой\; (\}\; (1-т)\; \backslash ,\; а\_\; \{\; i\}\; +\; t\; \backslash ,\; b\_\; \{i\}\; \{\backslash \; big)\}\}$

(9)

где i = 1, 2,..., n и $t\; =\; x\; -\; xi\; -\; 1\; xi\; -\; xi\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{x-x\_\; \{i-1\}\}\; \{x\_\; \{i\}\; -x\_\; \{i-1\}\}\}\}$- n многочленов третьей степени, интерполирующих y в интервал x i − 1 ≤ x ≤ x i для i = 1,..., n таких, что q ′ i(xi) = q ′ i + 1 (xi) для i = 1,..., n − 1, тогда n многочленов вместе определяют дифференцируемая функция в интервале x 0 ≤ x ≤ x n и

$ai\; =\; ki\; -\; 1\; (xi\; -\; xi\; -\; 1)\; -\; (yi\; -\; yi\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\; =\; k\_\; \{i-1\}\; (x\_\; \{i\}\; -x\_\; \{i-1\})\; -\; (y\_\; \{i\}\; -y\_\; \{i-1\})\}$

(10)

$bi\; =\; -\; ки\; (xi\; -\; xi\; -\; 1)\; +\; (yi\; -\; yi\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{i\}\; =\; -\; k\_\; \{i\}\; (x\_\; \{i\}\; -x\_\; \{i-1\})\; +\; (y\_\; \{i\}\; -y\_\; \{i-1\})\}$

(11)

для i = 1,..., n, где

$k\; 0\; =\; q\; 1\; \prime \; (x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{0\}\; =\; q\_\; \{1\}\; \text{'}(x\_\; \{0\})\}$

(12)

$ki\; =\; qi\; \prime \; (xi)\; =\; qi\; +\; 1\; \prime \; (xi)\; i\; =\; 1,\dots ,\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{\; i\}\; =\; q\_\; \{i\}\; \text{'}(x\_\; \{i\})\; =\; q\_\; \{i\; +\; 1\}\text{'}\; (x\_\; \{i\})\; \backslash \; qquad\; i\; =\; 1,\; \backslash \; dotsc,\; n-1\}$

(13)

$kn\; =\; qn\; \prime \; (xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{n\}\; =\; q\_\; \{n\}\; \text{'}(x\_\; \{n\})\}$

(14)

Если последовательность k 0, k 1,..., k n таково, что, кроме того, q ′ ′ i(xi) = q ′ ′ i + 1 (xi) выполняется для i = 1,..., n-1, то полученная функция будет даже иметь непрерывную вторую производную.

Из (7), (8), (10) и (11) следует, что это так, если и только если

$ki\; -\; 1\; xi\; -\; xi\; -\; 1\; +\; (1\; xi\; -\; xi\; -\; 1\; +\; 1\; xi\; +\; 1\; -\; xi)\; 2\; ki\; +\; ki\; +\; 1\; xi\; +\; 1\; -\; xi\; =\; 3\; (yi\; -\; yi\; -\; 1\; (xi\; -\; xi\; -\; 1)\; 2\; +\; yi\; +\; 1\; -\; yi\; (xi\; +\; 1\; -\; xi)\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{k\_\; \{i-1\}\}\; \{x\_\; \{i\}\; -x\_\; \{i-1\}\}\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{\; i\}\; -x\_\; \{i-1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{i\; +\; 1\}\; -x\_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right)\; 2k\_\; \{i\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{k\_\; \{i\; +\; 1\}\; \}\; \{x\_\; \{i\; +\; 1\}\; -x\_\; \{i\}\}\}\; =\; 3\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{i\}\; -y\_\; \{i-1\}\}\; \{(x\_\; \{i\}\; -x\_\; \{i-1\}))\}\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{i\; +\; 1\}\; -y\_\; \{i\}\}\; \{\{(x\_\; \{i\; +\; 1\}\; -x\_\; \{i\})\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \}$

(15)

для i = 1,..., n-1. Соотношения (15) представляют собой n - 1 линейных уравнений для n + 1 значений k 0, k 1,..., k n.

Для упругих линейок, находящихся модель для интерполяции сплайном гласит, что слева от самого левого «узла» и справа от самого правого «узла» линейка может свободно перемещаться и, следовательно, принимает форму прямой с q ′ ′ = 0. Поскольку q ′ ′ должен быть непрерывной функцией от x, получается, что для «Естественных сплайнов» одно в дополнение к n - 1 линейным уравнениям (15) должно иметь это

$q\; 1\; ″\; (x\; 0)\; Знак\; равно\; 2\; 3\; (y\; 1\; -\; y\; 0)\; -\; (k\; 1\; +\; 2\; k\; 0)\; (x\; 1\; -\; x\; 0)\; (x\; 1\; -\; x\; 0)\; 2\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \text{'}\text{'}\; \_\; \{1\}\; (x\_\; \{0\})\; =\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{3\; (y\_\; \{1\}\; -y\_\; \{0\})\; -\; (k\_\; \{1\}\; +\; 2k\_\; \{0\})\; (x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\})\}\; \{\{(x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\})\}\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 0,\}$

$qn\; ″\; (xn)\; =\; -\; 2\; 3\; (yn\; -\; yn\; -\; 1)\; -\; (2\; kn\; +\; kn\; -\; 1)\; (xn\; -\; xn\; -\; 1)\; (xn\; -\; xn\; -\; 1)\; 2\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \text{'}\text{'}\; \_\; \{n\}\; (x\_\; \{n\})\; =\; -\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{3\; (y\_\; \{n\}\; -y\_\; \{n-\; 1\})\; -\; (2k\_\; \{n\}\; +\; k\_\; \{n-1\})\; (x\_\; \{n\}\; -x\_\; \{n-1\})\}\; \{\{(x\_\; \{n\}\; -x\_\; \{n-1\})\}\; ^\; \{2\; \}\}\}\; =\; 0,\}$

т.е. что

$2\; x\; 1\; -\; x\; 0\; k\; 0\; +\; 1\; x\; 1\; -\; x\; 0\; k\; 1\; =\; 3\; y\; 1\; -\; y\; 0\; (x\; 1\; -\; x\; 0)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{x\_\; \{1)\; \}\; -x\_\; \{0\}\}\}\; k\_\; \{0\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\}\}\}\; k\_\; \{1\}\; =\; 3\; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{1\}\; -y\_\; \{0\}\; \}\; \{(x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\})\; ^\; \{2\}\}\},\}$

(16)

$1\; xn\; -\; xn\; -\; 1\; kn\; -\; 1\; +\; 2\; xn\; -\; xn\; -\; 1\; kn\; =\; 3\; yn\; -\; yn\; -\; 1\; (xn\; -\; xn\; -\; 1)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{n\}\; -x\_\; \{n-1\}\}\}\; k\_\; \{n-1\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{x\_\; \{n\}\; -x\_\; \{n-1\}\}\}\; k\_\; \{n\}\; =\; 3\; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{n\}\; -y\_\; \{n-1\}\}\; \{(x\_\; \{n\}\; -x\_\; \{n-1\})\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

(17)

В конечном итоге (15) вместе с (16) и (17) составляют n + 1 линейных уравнений, которые однозначно определяют n + 1 параметров k 0, k 1,..., k n.

Существуют и другие конечные условия: «Фиксированный шлиц», который задает наклон на концах шлицевого соединения, и популярный «шлиц без узлов», который требует, чтобы третья производная также непрерывна в точках x 1 и x N-1. Для сплайна «без узла» дополнительные уравнения будут выглядеть так:

$q\; 1\; ‴\; (x\; 1)\; =\; q\; 2\; ‴\; (x\; 1)\; \Rightarrow \; 1\; \Delta \; x\; 1\; 2\; k\; 0\; +\; (1\; \Delta \; x\; 1\; 2\; -\; 1\; \Delta \; Икс\; 2\; 2)\; К\; 1\; -\; 1\; \Delta \; Икс\; 2\; 2\; К\; 2\; =\; 2\; (\Delta \; Y\; 1\; \Delta \; Икс\; 1\; 3\; -\; \Delta \; Y\; 2\; \Delta \; Икс\; 2\; 3)\; \{\backslash \; Displaystyle\; q\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\_\; \{1\}\; (x\_\; \{\; 1\})\; =\; q\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\_\; \{2\}\; (x\_\; \{1\})\; \backslash \; Rightarrow\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\}\}\; k\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; k\_\; \{1\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\}\}\; k\_\; \{2\}\; =\; 2\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; y\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; Delta\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{3\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; y\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; Delta\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

$qn\; -\; 1\; ‴\; (xn\; -\; 1)\; =\; qn\; ‴\; (xn\; -\; 1)\; \Rightarrow \; 1\; \Delta \; xn\; -\; 1\; 2\; kn\; -\; 2\; +\; (1\; \Delta \; xn\; -\; 1\; 2-1\; \Delta \; xn\; 2)\; kn\; -\; 1-1\; \Delta \; xn\; 2\; kn\; =\; 2\; (\Delta \; yn\; -\; 1\; \Delta \; xn\; -\; 1\; 3\; -\; \Delta \; yn\; \Delta \; xn\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\_\; \{n-1\}\; (x\_\; \{n-1\})\; =\; q\text{'}\; \text{'}\text{'}\; \_\; \{n\}\; (x\_\; \{n-1\})\; \backslash \; Rightarrow\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; x\_\; \{n-\; 1\}\; ^\; \{2\}\}\}\; k\_\; \{n-2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; x\_\; \{n-1\}\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; x\_)\; \{n\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; k\_\; \{n-1\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; x\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\}\}\; k\_\; \{n\}\; =\; 2\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; y\_\; \{n-1\}\}\; \{\backslash \; Delta\; x\_\; \{n-1\}\; ^\; \{3\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; y\_\; \{n\}\}\; \{\backslash \; Delta\; x\_\; \{n\}\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

где $\Delta \; xi\; =\; xi\; -\; xi\; -\; 1,\; \Delta \; yi\; =\; yi\; -\; yi\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; x\_\; \{i\}\; =\; x\_\; \{i\}\; -x\_\; \{i-1\},\; \backslash \; Delta\; y\_\; \{i\; \}\; =\; y\_\; \{i\}\; -y\_\; \{i-1\}\}$.

Рисунок 2: Интерполяция кубическими «естественными» сплайнами между тремя точками.

В случае трех точек значения для $k\; 0,\; k\; 1,\; k\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{0\},\; k\_\; \{1\},\; k\_\; \{2\}\}$находятся путем решения системы трехдиагональных линейных уравнений

$[a\; 11\; a\; 12\; 0\; a\; 21\; a\; 22\; a\; 23\; 0\; a\; 32\; a\; 33]\; [k\; 0\; k\; 1\; k\; 2]\; =\; [b\; 1\; b\; 2\; b\; 3]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; a\_\; \{11\}\; a\_\; \{12\}\; 0\; \backslash \; \backslash \; a\_\; \{21\}\; a\_\; \{22\}\; a\_\; \{23\}\; \backslash \backslash \; 0\; a\_\; \{32\}\; a\_\; \{33\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; k\_\; \{0\}\; \backslash \backslash \; k\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; k\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; b\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; b\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; b\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

с

$a\; 11\; =\; 2\; x\; 1\; -\; x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{11\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\}\}\}\}$

$a\; 12\; =\; 1\; x\; 1\; -\; x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{12\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\}\}\}\}$

$a\; 21\; =\; 1\; x\; 1\; -\; x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{21\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\}\}\}\}$

$a\; 22\; =\; 2\; (1\; x\; 1\; -\; x\; 0\; +\; 1\; x\; 2\; -\; x\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{22\}\; =\; 2\; \backslash \; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{1\}\; -\; x\_\; \{0\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

$a\; 23\; =\; 1\; x\; 2\; -\; x\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{23\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\}\}\}$

$a\; 32\; =\; 1\; x\; 2\; -\; x\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{32\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{2\}\; -\; x\_\; \{1\}\}\}\}$

$a\; 33\; =\; 2\; x\; 2\; -\; x\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{33\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\}\}\}$

$b\; 1\; =\; 3\; y\; 1\; -\; y\; 0\; (x\; 1\; -\; x\; 0)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{1\}\; =\; 3\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{1\}\; -y\_\; \{0\}\}\; \{(x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0)\; \})\; ^\; \{2\}\}\}\}$

$b\; 2\; =\; 3\; (y\; 1\; -\; y\; 0\; (x\; 1\; -\; x\; 0)\; 2\; +\; y\; 2\; -\; y\; 1\; (x\; 2\; -\; x\; 1)\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{\; 2\}\; =\; 3\; \backslash \; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{1\}\; -y\_\; \{0\}\}\; \{\{(x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\})\}\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{2\; \}\; -y\_\; \{1\}\}\; \{\{(x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

$b\; 3\; =\; 3\; y\; 2\; -\; y\; 1\; (x\; 2\; -\; x\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{3\}\; =\; 3\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\}\}\; \{(x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Для трех точки

$(-\; 1,\; 0,5),\; (0,\; 0),\; (3,\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; (-1,0,5)\; \backslash ,\; \backslash \; (0,0)\; \backslash ,\; \backslash \; (3,3)\}$,

получаем, что

$k\; 0\; =\; -\; 0,6875,\; k\; 1\; =\; -\; 0,1250,\; k\; 2\; =\; 1,5625\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{0\}\; =\; -\; 0,6875\; \backslash ,\; \backslash \; k\_\; \{1\}\; =\; -\; 0,1250\; \backslash ,\; \backslash \; k\_\; \{2\}\; =\; 1,5625\}$

и из (10) и (11), что

$a\; 1\; =\; k\; 0\; (x\; 1\; -\; x\; 0)\; -\; (y\; 1\; -\; y\; 0)\; =\; -\; 0,1875\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; =\; k\_\; \{0\}\; (x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\})\; -\; (y\_\; \{1\}\; -y\_\; \{0\})\; =\; -\; 0,1875\}$

$b\; 1\; =\; -\; k\; 1\; (\; Икс\; 1\; -\; Икс\; 0)\; +\; (Y\; 1\; -\; Y\; 0)\; =\; -\; 0,3750\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{1\}\; =\; -\; k\_\; \{1\}\; (x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\})\; +\; (y\_\; \{1\}\; -y\_\; \{\; 0\})\; =\; -\; 0,3750\}$

$a\; 2\; =\; k\; 1\; (x\; 2\; -\; x\; 1)\; -\; (y\; 2\; -\; y\; 1)\; =\; -\; 3,3750\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{2\}\; =\; k\_\; \{1\}\; (x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\; -\; (y\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\})\; =\; -\; 3.3750\}$

$b\; 2\; =\; -\; k\; 2\; (x\; 2\; -\; x\; 1)\; +\; (y\; 2\; -\; y\; 1)\; =\; -\; 1.6875\; \{\; \backslash \; displaystyle\; b\_\; \{2\}\; =\; -\; k\_\; \{2\}\; (x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\})\; +\; (y\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\})\; =\; -\; 1.6875\}$

На рисунке 2 сплайн-функция, состоящая из двух кубических многочленов $q\; 1\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{1\}\; (x)\}$и $q\; 2\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{2\}\; (x)\}\; Отображается$, заданный как (9).

• Кубический сплайн Эрмита
• Центростремительный сплайн Катмулла – Рома
• Дискретная сплайн-интерполяция
• Монотонная кубическая интерполяция
• NURBS
• Многомерная интерполяция
• Полиномиальная интерполяция
• Сглаживающий сплайн
• Сплайн-вейвлет
• Тонкая пластина-сплайн
• Полигармонический сплайн

TinySpline: C-библиотека с открытым исходным кодом для сплайнов, которая реализует кубическую сплайн-интерполяцию

SciPy Spline Interpolation: Python пакет, реализующий интерполяцию

Кубическая интерполяция: библиотека C # с открытым исходным кодом для интерполяции кубическим сплайном

• Schoenberg, Isaac J. (1946). «Вклад в проблему аппроксимации эквидистантных данных аналитическими функциями: Часть A. - О проблеме сглаживания или градуировки. Первый класс формул аналитической аппроксимации». Квартал прикладной математики. 4 (2): 45–99. doi : 10.1090 / qam / 15914. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Schoenberg, Isaac J. (1946). " Вклад в проблему аппроксимации эквидистантных данных аналитическими функциями: Часть B. - О проблеме осскуляторной интерполяции. Второй класс формул аналитического приближения ». Quarterly of Applied Mathematics. 4 (2): 112–141. doi : 10.1090 / qam / 16705. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

• Кубический сплайн Инструмент онлайн-расчета и визуализации интерполяции (с исходным кодом JavaScript)
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Динамические кубические сплайны с JSXGraph
• Лекции по теории и практика сплайн-интерполяции
• Документ, в котором шаг за шагом объясняется, как выполняется кубическая сплайн-интерполяция, но только для равноудаленных узлов.
• Числовые рецепты на C, переход к главе 3, раздел 3-3
• Замечание о кубической сплайны
• Информация об интерполяции сплайнами (включая код в Fortran 77)